高二期末联考数学（理）参考答案.doc

武汉市部分重点中学2013-2014学年度下学期期末联考
高二数学试卷（理科）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
A
B
B
D
B
C
A
二、填空题
11. 12． 13．(－2，0)∪(0,2)
14． 15．
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）C1是圆，C2是直线． 2分
C1的普通方程为x2＋y2＝1，圆心C1(0，0)，半径r＝1.
C2的普通方程为x－y＋＝0. 4分
因为圆心C1到直线x－y＋＝0的距离为1，
所以C2与C1只有一个公共点． 6分
（Ⅱ）压缩后参数方程为C′1：(θ为参数)，C′2：(t为参数)，
化为普通方程为C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝x＋， 10分
联立消元得2x2＋2x＋1＝0， 其判别式Δ＝(2)2－4×2×1＝0，
所以压缩后的直线C′2与椭圆C′1仍然只有一个公共点，
和C1与C2公共点的个数相同． 12分
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当=-2时,不等式<化为,
设函数=
=, 其图像如图所示

从图像可知,当且仅当时,<0,∴原不等式解集是. 6分
(Ⅱ)当∈[,)时,=,不等式≤化为,
∴对∈[,)都成立,故,即≤,
∴的取值范围为(-1,]. 12分
18．（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）

6分
（Ⅱ）由（1）得
12分

19.（本小题满分12分）
解：（1) 2分
又 4分
7分
(2) 9分
当，即取“=”
所以时，费用最小 12分
用求导和函数单调性得时导数为也是函数最小值同上给分。

20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）…. 3分
（2）可知 可推测为递减数列,
下面用数学归纳法证明:
①当时,猜想成立；
②假设时命题成立,即,,

即,
也就是说当时猜想成立,综合①和②知(). 8分
（3）当时易知,
则 11分

综上可知,原不等式成立. 13分
21．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由，则．
当时，对，有，所以函数在区间上单调递增；
当时，由，得；由，得，
此时函数的单调增区间为，单调减区间为．
综上所述，当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为． 5分
（Ⅱ）函数的定义域为，由，得（）
令（），则， 7分
由于，，可知当，；当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，故． 8分
又由（Ⅰ）知当时，对，有，即，
（随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢．则当且无限接近于0时，趋向于正无穷大.）
当时，函数有两个不同的零点；
当时，函数有且仅有一个零点；
当时，函数没有零点． 10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当时，，故对，
先分析法证明：，．
要证，，只需证，即证，
构造函数，则，
故函数在单调递增，所以，则成立．
当时，由（Ⅰ），在单调递增，则在上恒成立；
当时，由（Ⅰ），函数在单调递增，在单调递减，
故当时，，所以，则不满足题意．
所以满足题意的的取值范围是． 14分
4