九年级上册数学知识要点.doc

第21章 一元二次方程考点
知识点1．一元二次方程的判断标准：
（1）方程是整式方程
（2）只有一个未知数——（一元）
（3）未知数的最高次数是2——（二次）
三个条件同时满足的方程就是一元二次方程
练习：
1、下面关于x的方程中：①ax2+bx+c=0；②3x2-2x=1；③x+3=；④x2-y=0；④（x+1）2= x2-1．一元二次方程的个数是 .
2、若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是_________．
3、若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是_________．
4、若方程（m-1）x|m|+1-2x=4是一元二次方程，则m=______．
知识点 2．一元二次方程一般形式及有关概念
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成一元二次方程的一般形式 是二次项，为二次项系数，bx是一次项，为一次项系数，为常数项。注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号
练习：
1、将一元二次方程化成一般形式为_____________，其中二次项系数=________，一次项系数b=__________，常数项c=__________
知识点3．完全平方式
a2+2ab+b2 a2-2ab+b2
练习：
1、说明代数式总大于
2、已知,求的值.
3、若x2+mx+9是一个完全平方式，则m= ，
若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是 。若是完全平方式，则= 。

知识点4．整体运算
思路：把一个代数式看成一个整体来求值，然后代入去求另一个代数式的值。
练习：
1、已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为
2、已知实数x满足则代数式的值为____________
知识点5．方程的解
练习：
1、已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是x=-1，则k=_ __．
2、求以为两根的关于x的一元二次方程 。
知识点6．方程的解法
⑴ 方 法：①接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法；⑤十字相乘法；
⑵关键点：降次
练习：
1、直接开方解法方程
(x-6)2 -3=0
2、用配方法解方程

3、用公式法解方程

4、用因式分解法解方程

5、用十字相乘法解方程

知识点7．一元二次方程根的判别式：
练习：
1、 关于的一元二次方程. 求证：方程有两个不相等的实数根
2、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。
3、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是
知识点8．韦达定理
(a≠0, Δ=b2-4ac≥0)
使用的前提：（1）不是一般式的要先化成一般式；
（2）定理成立的条件
练习：
1、 已知方程的一个根为x=3,求它的另一个根及m的值。
2、 已知的两根是x1 ,x2 ，利用根于系数的关系求下列各式的值

3、已知关于x的一元二次方程x2－（m+2）x+m2－2=0．（1）当m为何值时，这个方程有两个的实数根．（2）如果这个方程的两个实数根x1，x2满足x12+x22=18，求m的值．

知识点9．一元二次方程与实际问题
1、 病毒传播问题
2、 树干问题
3、 握手问题（单循环问题）
4、 贺卡问题（双循环问题）
5、 围栏问题
6、 几何图形（道路、做水箱）
7、 增长率、折旧、降价率问题
8、 利润问题（注意减少库存、让顾客受惠等字样）
9、 数字问题
10、折扣问题

第22章 二次函数考点
考点1、二次函数的定义
定义： y=ax2＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ）
定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式
练习：
1、y=-x²，y=2x²-2/x，y=100-5 x²，y=3 x²-2x³+5,其中是二次函数的有____个。

2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是二次函数？

考点2、二次函数的图像及性质
表达式、对称轴、顶点坐标、位置、增减性、最值、
练习：
1、已知二次函数

（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
2、直线y＝ax＋c 与抛物线y＝ax2＋bx＋c 在同一坐标系内大致的图象是……（ ）

考点3、求抛物线解析式的三种方法
1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式y=ax2+bx+c(a≠0)
2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式y=a(x-h)2+k(a≠0)
3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
练习：
1、根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。
2、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。

考点4、a，b，c符号的确定
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
(1)a的符号：上正下负（2）b的符号：左同右异（3）C的符号：上正下负原点零
（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定

（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。
(6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时，对应的y值决定。
(7)4a+2b+c的符号：因为x=2时,y=4a+2b+c,所以4a+2b+c的符号由x=2时，对应的y值决定。
(8)4a-2b+c的符号：因为x=-2时,y=4a-2b+c,所以4a-2b+c的符号由x=-1时，对应的y值决定。
以此类推.
练习：
１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（　　）
A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0
C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（　　）
A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0
C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0
3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c 、 △的符号为（ 　）
A、a>0,b=0,c>0,△>0 B、a<0,b>0,c<0,△=0
C、a>0,b=0,c<0,△>0 D、a<0,b=0,c<0,△<0
要点：熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系(上正、下负）(左同、右异)

4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和 二、三、四象限，
判断a、b、c的符号情况：a 0,b 0,c 0.

5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,且它的顶点在第三象限，
则a、b、c满足 的条件是：a 0,b 0,c 0.

6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，那么这个二次函数
图象的顶点必在第 象限

要点：先根据题目的要求画出函数的草图，再根据图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论。⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。

考点5、抛物线的平移
左加右减，上加下减；左右平移看自变量，上下平移看常数项。
练习：
⑴二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象；
二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2(x-3)2的图象。
⑵二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。
引申：y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)2+2
（3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.

y=x2-5x+6
y=x2

考点6二次函数与一元二次方程的关系
1、一元二次方程根的情况与b²-4ac的关系
我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.

2、二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和x轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程ax²＋bx＋c=0的解。
3、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
(1)有两个交点 b2 – 4ac > 0
(2)有一个交点 b2 – 4ac= 0
(3)没有交点 b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点, b2 – 4ac ≥0
练习：
(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点.
(2)已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿＿＿＿.
(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿.
(4)已知函数y＝x2－（2m＋4）x＋m2－10与x 轴的两个交点间的距离为2，则m＝___________．
(5)若函数y＝kx2＋2（k＋1）x＋k－1与x 轴只有一个交点，求k 的值．

考点7二次函数的综合运用
例题：已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:Q抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
\ a=1或-1
又Q顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
\ 顶点为(1,5)或(1,-5)
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5
展开成一般式即可.
练习：
1．直线y＝3 x－1与y＝x－k 的交点在第四象限，则k 的范围是………………（ ）
（A）k＜ （B）＜k＜1 （C）k＞1 （D）k＞1或k＜1
2、若a+b+c=0,a¹0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
分析:
(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)
(2) 新抛物线向右平移5个单位,
再向上平移4个单位即得原抛物线

3、 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象抛物线G 经过（－5，0），（0，），（1，6）三点，直线l 的解析式为y＝2 x－3．（1）求抛物线G 的函数解析式；
（2）求证抛物线G 与直线l 无公共点；
（3）若与l 平行的直线y＝2 x＋m 与抛物线G 只有一个公共点P，求P 点的坐标．
【分析】（1）略；
（2）要证抛物线G 与直线l 无公共点，就是要证G 与l 的解析式组成的方程无实数解；
（3）直线y＝2 x＋m 与抛物线G 只有一个公共点，就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解，求出这组解，就得P 点的坐标．

第23章 旋转考点

知识点1．
旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.
旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度
练习：
1、如图，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，回答下列问题：（1）旋转中心为 ，旋转角度为 度（2）△AD D′的形状是 。

2、16:50的时候，时针和分针的夹角是 度

知识点2．旋转的性质：
1、 图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；
2、 每一对对应点到旋转中心的距离相等；
3、 每一对对应点与旋转中心的连线所成的夹角为旋转角；
4、旋转只改变图形的位置，旋转前后的图形全等；
练习：
1、如图，，可以看作是由绕点顺时针旋转角度得A
O
B

到的．若点在上。（1）求旋转角大小；
（2）判断OB与的位置关系，并说明理由。

2、将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点逆时针旋转后得到，则图中阴影部分A
C
B

的面积是多少？

3、如图，在△中, . 在同一平面内, 将△绕点旋转到△的位置, 使得, 求 的度数。

4、如图6，四边形是边长为1的正方形，点、分别在边和上，是由 逆时针旋转得到的图形。
图6
（1）旋转中心是点__________；
（2）旋转角是________度，=_________度；
（2）若，求证.并求此时的周长.

5、△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转一定角度后能与△ACQ重合，AP＝3.（1）求△APQ的面积；（2）判断BQ与CQ的位置关系，并说明理由。

6、如图，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论．

7、如图，在Rt△ABC 中，，D、E是斜边BC 上 两点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接 ，证明①△≌△②

8、如图（1），点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．
（1）求∠AEB的大小；
（2）如图（2），ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求∠AEB的大小.

知识点3．旋转对称：
一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度(小于周角)后能与自身重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心。
练习：
1、如图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过____________次旋转而得到， 每一次旋转_______度．

2、如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，问此正六边形绕正六边形的中心O旋转___ ___度能与自身重合。

3、如图的图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是__

知识点4．中心对称和中心对称图形
中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
练习：
1、如图，下列4个数字有（ ）个是中心对称图形．

A．1 B．2 C．3 D．4

2.下列图形中不是中心对称图形的是（ ）
A、①③ B、②④ C、②③ D、①④

知识点5．作图
1、网格旋转90°（注意旋转的方向），中心对称，关于原点对称。结合直角坐标系写出对称后坐标
2、找出旋转对称中心（两条对应线段垂直平分线的交点），中心对称中心（两组对应点连线的交点）
练习：
1、已知A（-1，-1），B（-4，-3）C（-4，-1）
(1)作△A1B1C1，使它与△ABC关于原点O中心对称；
写出A1 ，B1， C1点坐标；
(3)将△ABC绕原点O逆时针旋转90º后得到△A3B3C3， 画出△A3B3C3，并写出A3，B3，C3的坐标
2、如图，网格中有一个四边形和两个三角形．
（1）请你画出三个图形关于点O的中心对称图形；
（2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形的对称轴有 条；
这个整体图形至少旋转 度与自身重合

知识点6．旋转割补法
练习：
如图,四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90º，AB=AD，AE⊥BC于E，若线段AE=5，求（提示：将四边形ABCD割补为正方形）

知识点7．关于对称
1、 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）
2、 两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）
3、 两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）

练习：
填空：⑴点A（－2，1）关于x轴的对称点为A′（ ， ）；
⑵点B（1，－3）与点B（1，3）关于 的对称。
⑶C（－4，－2）关于y轴的对称点为C′（ ， ）；
⑷点D（5，0）关于原点的对称点为D′（ ， ）。

第24章 圆考点
【考点1】和圆有关的概念
练习：
（1）等弦对等圆心角（ ）（2）在同圆或等圆中，等弦对等圆心角（ ）（3）等弧对等弦( )（4）等弦对等弧（ ）（5）等弧对等圆心角（ ） (6)直径是圆的对称轴（ ）

【考点2】垂径定理及其推论
如果一条直线满足
(1)过圆心 （2）垂直弦 （3） 平分弦 (4)平分弧（优弧和劣弧） （5）平分圆心角
知之其中两个条件可以推出三个 （知二求三）特别：当选择过圆心和平分弦时，必须强调该弦不是直径。
练习：
(1)平分弦的直径垂直于弦. （ ）
(2) 垂直于弦的直径平分弦. （ ）
1、如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．

2、如图，⊙O 中，OE⊥弦AB于E，OF⊥弦CD于F，OE=OF，(1)求证：AB＝CD (2) 如果AB>CD，则OE OF

3．如图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道?

4、已知△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4，以C为圆心，CA为半径画圆交AB于点D，求AD的长

【考点3】弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系：
（举一反三）在同圆和等圆中，等弧对等弦对等角（包括圆心角和圆周角）
练习：
1.如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上． 求证：=
（连接MO,NO ,利用全等求证∠MOC=∠NOD,等角等弧）

2、如图15，AB、CD是⊙O的直径，DE、BF是弦，且DE=BF,求证：∠D=∠B。

3．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，求证：=3 (连接OC、OD，外角，圆心角证弧)

4．AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：；
（2）若，⊙O的半径为3，求BC的长．

【考点4】：
直径所对的圆周角是90°
练习：
1.已知△ABC中，AB=AC，AB为⊙O的直径，BC交⊙O于D，求证：点D为BC中点

【考点5】
圆内接四边形对角互补
练习：
1、如图，AB、AC与⊙O相切
于点B、C，∠A=40º，
点P是圆上异的一动点，则∠BPC的度数是

【考点6】外接圆与内切圆相关概念
三角形的外心是 三边垂直平分线 的交点，它到 三个顶点 的距离相等；
三角形的内心是 三个内角平分线 的交点，它到 三边 的距离相等
练习：
1、边长为6的正三角形的内切圆半径是______，外接圆半径是
2、如图，已知⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∠C=90°，AC=3，BC=4，求该内切圆的半径。

3、如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E 、F，若∠B=50°, ∠C=60°，连接OE、OF、DE、DF，则∠EDF等于

【考点6】与圆有关的位置关系
1、点和圆的位置关系有三种：点在圆_____，点在圆_______，点在圆______；
2、直线和圆的位置关系有三种：相_____、相______、相_______．
3、圆与圆的位置关系： 、 、 、 、 。

练习：
1、已知圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d，
（1）当d＝2厘米时，有d____r，点在圆______________
（2）当d＝7厘米时，有d____r，点在圆______________
（3）当d＝5厘米时，有d____r，点在圆______________
2、已知圆的半径r等于12厘米，圆心到直线l的距离为d，
（1）当d＝10厘米时，有d____r，直线l与圆____
（2）当d＝12厘米时，有d____r，直线l与圆____
（3）当d＝15厘米时，有d____r，直线l与圆____
3、已知⊙O1的半径为6厘米，⊙O2的半径为8厘米，圆心距为 d，
则：R＋r＝________， R－r＝____________；
【考点7】切线的性质
切线性质定理：圆的切线垂直于 过切点 的半径
练习：
4、如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB。

【考点8】切线的证明（两种方法）
1、已知圆上一点 “连半径，证垂直”
2、没告诉圆与直线有交点 “作垂直，证半径”。
练习：
1、如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE⊥AC于E，求证：DE是⊙O的切线。

2、如图，AB=AC，OB=OC，AB切⊙O于D，证明⊙O与AC相切

【考点9】切线长定理
切线长相等，平分切线所成的夹角。
练习：
图5
1、如图5，、是⊙的切线，点、为切点，AC是⊙的直径，，
（1）求的度数；
（2）若，求的长。

2、如图，AB是⊙O的直径，BC是一条弦，连结OC并延长OC至P点，并使PC=BC，
∠BOC = 60o
(1)求证：PB是⊙O的切线。
(2)若⊙O的半径长为1，且AB、PB的长是一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，求b、c的值。

3、如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，是点C劣弧AB上任一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E 若PA=10，求△PDE的周长

4、如图（1）所示，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C（m ，n）是第二象限内任意一点，以点C为圆心的圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F。所示，若⊙C与y轴相切于点D，求⊙C的半径r。

【考点10】正多边形的计算
1.正n边形的每内角= 2. 正n边形的中心角=
3.正n边形的外角= 4.边心距r 、半径R、边长a之间的关系：
5.正n边形的周长C=na 6.正n边形的面积S=nCr/2
练习：
1、如图，正五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，P是上一点，
则∠BPC=____________

2、如图，小明在操场上从点O出发，沿直线前进5米后向左转，再沿直线前进5米后，又向左转，……照这样走下去，他第一次回到出发地O点时，一共走了___ __米。

3、求半径为6的正六边形的中心角度数 .周长和面积。

【考点11】圆中的有关计算
(1)弧长的计算公式：因为扇形的弧长＝
(2)扇形的面积：因为扇形的面积S＝
(3)圆锥：∵圆锥的侧面展开图是____________形，展开图的弧长等于___________
∴圆锥的侧面积＝____________________
练习： (答案保留π)
1、若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的弧长是多少？
2、①若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的面积为多少？
②若扇形的弧长为12πcm，半径为6cm，则这个扇形的面积是多少？
3、圆锥的母线长为5cm，半径为4cm，则圆锥的侧面积是多少

第25章 概率初步考点

考点1、事件
确定事件（分为必然事件、不可能事件）、不确定事件（称为随机事件或可能事件）、．并能用树状图和列表法；
练习：
1：下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A、明天我市下雨 B、抛一枚硬币，正面朝上
C、我走出校门，看到的第一辆汽车的牌照的末位数字是偶数
D、一口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球
2、下列事件：①检查生产流水线上的一个产品，是合格品.②两直线平行，内错角相等.③三条线段组成一个三角形.④一只口袋内装有4只红球6只黄球，从中摸出2只黑球.其中属于确定事件的为（ ）
A、②③ B、②④ C、③④ D、①③
考点2、概率
定义：一般地，对于随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率。记为P（A）
1、古典概型的定义
某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
2、古典概型的概率的求法
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=m/n

考点3、确定事件和随机事件的概率之间的关系
1、确定事件概率
（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1
（2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=0
2、确定事件和随机事件的概率之间的关系
事件发生的可能性越来越小
0 1概率的值

不可能发生 必然发生
事件发生的可能性越来越大

考点4、计算概率
1、 列表法，适用于“二次试验”的事件
2、 树状图，适用于“三次或三次以上试验”的事件
3、 实验，用频率估计概率，适用于“不是有限个”可能性的随机事件
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。
练习：
1、装有5个红球和3个白球的袋中任取4个，那么取到的“至少有1个是红球”与“没有红球”的概率分别为________与________
2、有甲、乙两把不相同的锁，甲锁配有2把钥匙，乙锁配有1把钥匙，事件A为“从这3把钥匙中任选2把，打开甲、乙两把锁”，则P（A）＝________
3、用列表的方法求下列概率：已知，．求的值为7的概率．
4、画树状图或列表求下列的概率：袋中有红、黄、白色球各一个，它们除颜色外其余都相同，任取一个，放回后再任取一个．画树状图或列表求下列事件的概率．
（1）都是红色 （2）颜色相同 （3）没有白色
5、 如图，桌面上放置了红、黄、蓝三个不同颜色的杯子，杯子口朝上，我们做蒙眼睛翻杯子（杯口朝上的翻为杯口朝下，杯口朝下的翻为杯口朝上）的游戏。
（1）随机翻一个杯子，求翻到黄色杯子的概率；
（第21题图）
（2）随机翻一个杯子，接着从这三个杯子中再随机翻一个，请利用树状图求出此时恰好有一个杯口朝上的概率。

6、甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3、4、5、6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．