高二期末复习圆锥曲线第一讲——椭圆.doc

期末复习圆锥曲线第一讲——椭圆
一、基础练习：
1、已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=______________。
2、如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.
3、如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，则下列结论不正确的是________．
①a1＋c1>a2＋c2　②a1－c1＝a2－c2 ③a1c2<a2c1　　　④a1c2>a2c1
4．若椭圆＋＝1的离心率等于，则m＝________.
5．已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
6、已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为
7．已知（如图）椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若A＝2，则椭圆的离心率是______．
8．(原创题)已知椭圆＋＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，
则当m取最大值时，点P的坐标为________．
9．已知椭圆C的中心在原点，离心率e＝，一个焦点的坐标为(，0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：y＝x＋m与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T.当m变化时，求△TAB面积的最大值．

二、知识梳理：
1. 椭圆定义：
（1）第一定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.
当时, 的轨迹为椭圆 ;
当时, 的轨迹不存在;
当时, 的轨迹为 以为端点的线段
（2）椭圆的第二定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆。 （利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.
2.椭圆的方程与几何性质:
标准方程

性

质
参数关系

焦点

焦距

范围

顶点

对称性
关于x轴、y轴和原点对称
离心率

准线

3.点与椭圆的位置关系:
当时,点在椭圆外; 当时,点在椭圆内; 当时,点在椭圆上;
4.直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆相交;直线与椭圆相切;直线与椭圆相离
★重难点突破★
重点:掌握椭圆的定义标准方程，会用定义和求椭圆的标准方程，能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用
难点:椭圆的几何元素与参数的转换
重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数的关系
三、互动展示
1、(湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是
O
x
y
D
P

A

B
C
Q

2、设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.

3、已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（1）求椭圆方程；
（2）求m的取值范围．

4、(2009年高考广东卷)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 ，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck：x2＋y2＋2kx－4y－21＝0(k∈R)的圆心为点Ak.
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△AkF1F2的面积；
(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由．

四、随堂检测及反馈
1．已知实数满足,求的最大值为 ，最小值为 .
2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1、F2，b＝4，离心率为.过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为________．
3．已知F1、F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，弦AB过F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为________．
4．若AB是过椭圆＋＝1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与坐标轴不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM·kBM＝________.
5．以椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F(－c,0)为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是________．
6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)．若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为_____．
7．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是________．
8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线，与椭圆的一个交点为P，且PF2⊥x轴，则此椭圆的离心率e为________．
9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右准线为l，离心率e＝.过顶点A(0，b)作AM⊥l，垂足为M，则直线FM的斜率等于________．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，A1、A2、B1、B2为椭圆＋＝1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．

11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P(1，)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设F是椭圆C的左焦点，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．

12．椭圆方程为＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,2)，离心率e＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l：y＝kx－2(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M，N满足＝，·＝0，求k.

13．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴顶点为(0,1)，短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，若直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于不同的两点A，B，且＝3.
(1)求椭圆C的离心率及其标准方程；
(2)求实数m的取值范围．

一、基础练习答案：
1、[解析]的周长为，=8
2、[解析](0,1). 椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上，则>2，即k<1.又k>0，∴0<k<1.
3、解析：由题意知，a1＝2a2，c1>2c2，则有a1c2<a2c1，故④不正确．答案：④
4、解析：由条件当m<4时，由题意得：＝ ⇒m＝1，当m>4时有＝ ⇒m＝16，故m的取值为1或16.
5、解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则∴2r1r2＝(r1＋r2)2－r12－r22＝4a2－4c2＝4b2，∴S△PF1F2＝r1r2＝9＝b2，∴b＝3.
6、[解析]B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，，的最小值为10-1-2=7
7、解析：如图由题意知：F(－c,0)，A(a,0)．∵BF⊥x轴，∴＝.又∵A＝2，∴＝2，即e＝＝.答案：
8、解析：设点P到两焦点的距离分别为r1，r2，则r1＋r2＝10，m＝r1r2≤()2＝25，
当且仅当r1＝r2＝5时取等号，此时点P的坐标为(0，－3)或(0,3)．答案：(0，－3)或(0,3)
9、解：法一：(1)依题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．
∵c＝，e＝＝，∴a＝2，b2＝a2－c2＝1，∴椭圆C的方程是＋y2＝1.
(2)由得x2＋4(x＋m)2＝4，即x2＋2mx＋2m2－2＝0.令Δ>0，得8－4m2>0，
∴－<m<.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，则x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2.
|AB|＝＝ ·＝.又∵x0＝(x1＋x2)＝－m，y0＝x0＋m＝m，∴M(－m，m)．
设T(t,0)，∵MT⊥AB，∴kMT·kAB＝·＝－1，解得t＝－m，∴T(－m,0)．∴|MT|＝ ＝|m|.
∴S△TAB＝|AB|·|MT|＝··|m|＝.∵－<m<，∴当m2＝1，即m＝±1时，S△TAB取得最大值为.
法二：(1)同法一． (2)由得x2＋4(x＋m)2＝4，即x2＋2mx＋2m2－2＝0. 令Δ>0，得8－4m2>0，∴－<m<.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2.又∵x0＝(x1＋x2)＝－m，y0＝x0＋m＝m，∴M(－m，m)．∵MT⊥AB，∴MT的方程为y＝－2x－m.令y＝0，得x＝－m，∴T(－m,0)．设AB交x轴于点R，则R(－2m,0)，∴|TR|＝|m|.∴S△TAB＝|TR|·|y1－y2|＝|TR|·|x1－x2|＝|TR|·＝≤·＝，当且仅当m2＝2－m2，即m＝±1时，S△TAB
三、互动展示答案
1、解析：(1),此时小球经过的路程为2(a－c);
(2), 此时小球经过的路程为2(a+c);
(3)此时小球经过的路程为4a,
2、【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来
[解析]设椭圆的方程为或，则，
解之得：，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或.
3、【解题思路】通过，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式
[解析]（1）由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设
由条件知且，又有，解得
故椭圆的离心率为，其标准方程为：
（2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2 m2＋2）>0 （*）
x1＋x2＝， x1x2＝　 ∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴
消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0 整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　
m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1
容易验证k2>2m2－2成立，所以（*）成立 即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）
4、

(3)∵椭圆G与圆心Ak所在直线y＝2均关于y轴对称．
∴不妨考虑k≥0的情形，此时，圆心Ak(－k,2)到椭圆G的右顶点N(6,0)的距离为

∴点N(6,0)总在圆外；若k<0，由(－6)2＋0－12k－0－2＝15－12k>0，可知点(－6,0)在圆Ck外．
所以任何圆Ck都不能包围椭圆．
四、随堂检测及反馈答案
1、解析：把看作的函数 [解析] 由得, 当时,取得最小值,当时,取得最大值6
2、解析：由椭圆定义知△ABF2的周长为4a，又e＝＝，即c＝a，
∴a2－c2＝a2＝b2＝16，∴a＝5，△ABF2的周长为20.
3、解析：由题意知，△ABF2的周长为8，根据椭圆的定义得4a＝8，即a＝2，∴k＝2.又c2＝a2－b2＝1，所以椭圆的离心率e＝＝.
4、解析：设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(－x1，－y1)，则kAM·kBM＝·＝＝＝－.
5、解析：由条件得椭圆的左准线方程为x＝－，从而由|－c－(－)|<c得a2<2c2，所以e∈(，1)．
6、解析：在△PF1F2中，由正弦定理知＝，∵＝，∴＝＝，即|PF1|＝e|PF2|.　①
又∵P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a，将①代入得|PF2|＝∈(a－c，a＋c)，同除以a得，1－e<<1＋e，得－1<e<1.
7、解析：∵△ABF2是等腰直角三角形，∴|AB|＝2|F1F2|＝4c，∴|AF1|＝2c，|AF2|＝2c.∴|AF1|＋|AF2|＝2a，∴2c＋2c＝2a，解得e＝－1.
8、解析：由PF2⊥x轴，得△PF2F1是∠PF1F2＝30°的直角三角形．∵|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝，|PF2|＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2c，∴e＝.
9、解析：由e＝可得a2＝5c2，b2＝4c2，A(0，b)，F(c,0)，M(，b)，所以FM的斜率为.答案：
10、解析：A1(－a,0)，B2(0，b)．故A1B2的方程为：＋＝1.B1(0，－b)，F(c,0)．故B1F的方程为：y＝x－b.
交点T的坐标满足解之得T(，)，∵OT中点M(，)在椭圆＋＝1上，
故有()2＋＝1.整理得3a2－10ac－c2＝0.∴e2＋10e－3＝0，∴e＝2－5.
11、解：(1)∵椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P(1，)，∴即解得∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)∵a2＝4，b2＝3，∴c＝＝1.∴椭圆C的左焦点坐标为(－1,0)．以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为x2＋y2＝4，圆心坐标是(0,0)，半径为2.以PF为直径的圆的方程为x2＋(y－)2＝，圆心坐标是(0，)，半径为.∵两圆心之间的距离为 ＝＝2－，故以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．
12、解：(1)设c＝，依题意得即∴a2＝12，即椭圆方程为＋＝1.
(2)∵＝，·＝0 ∴AP⊥MN，且点P为线段MN的中点．由消去y得x2＋3(kx－2)2＝12 即(1＋3k2)x2－12kx＝0(*)，由k≠0，得方程(*)的Δ＝(－12k)2＝144k2>0，显然方程(*)有两个不相等的实数根．设M(x1，y1)、N(x2，y2)，线段MN的中点P(x0，y0)，则x1＋x2＝，∴x0＝＝ y0＝kx0－2＝＝，即P(，)．∵k≠0，∴直线AP的斜率为k1＝＝. 由MN⊥AP，得×k＝－1，∴2＋2＋6k2＝6，解得k＝±.
13、解：(1)由题意，可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆，可设C：＋＝1(a>b>0)，由条件知a＝1且b＝c，又有a2＝b2＋c2，
解得a＝1，b＝c＝，故椭圆C的离心率为e＝＝，其标准方程为：y2＋＝1.
(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，x1＋x2＝，x1x2＝.因A＝3，即－x1＝3x2，得由这个方程组可得3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，∴3()2＋4＝0.整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，即(4m2－1)k2＋2m2－2＝0.当m2＝时，上式不成立；
当m2≠时，k2＝，因λ＝3.∴k≠0，∴>0，同时满足Δ>0，∴<m2<1，即－1<m<－或<m<1，即所求m的取值范围为(－1，－)∪(，1)．

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