数学归纳法海选专题.doc

数学归纳法海选专题
证明一些等式和不等式
注意：（1）初始值
（2）由n=k到n=k+1时①注意增加的项数②一定要用n=k正确这个结论
（3）特殊→猜想→证明
（4）

一． 用数学归纳法证明等式：
1.用数学归纳法证明
2、用数学归纳法证明：1×2×3＋2×3×4＋…＋n×(n＋1)×(n＋2)＝(n∈N*)．
二．用数学归纳法证明下述不等式:
1.用数学归纳法证明
2.设且，求证：.
三．整除问题：
1.试证当n为自然数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．

2.若5n＋2×3n－1＋1(n∈N*)能被正整数m整除，请写出m的最大值，并给予证明．
解：当n＝1时，51＋2×30＋1＝8，∴ m≤8，(2分)
下证5n＋2×3n－1＋1(n∈N*)能被8整除．(3分)
① 当n＝1时已证；(4分)
② 假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即5k＋2×3k－1＋1能被8整除．(5分)
则当n＝k＋1时，5k＋1＋2×3k＋1＝5·5k＋6·3k－1＋1(6分)
＝(5k＋2×3k－1＋1)＋4(5k＋3k－1)，(7分)
∵ 5k＋2×3k－1＋1能被8整除，而5k＋3k－1为偶数，
∴ 4(5k＋3k－1)也能被8整除，即当n＝k＋1时命题也成立．(8分)
3.用数学归纳法证明：能被整除.
四．与数列有关问题：
1．已知正项数列中，对于一切的均有成立。
（1）证明：数列中的任意一项都小于1；
（2）探究与的大小，并证明你的结论.

1．解：（1）由得
∵在数列中，∴，∴
故数列中的任意一项都小于1.
（2）由（1）知，那么，
由此猜想：（n≥2）.下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，显然成立；
②当n=k时（k≥2,k∈N）时，假设猜想正确，即，
那么，
∴当n=k+1时，猜想也正确
综上所述，对于一切，都有。
2.已知数列的前项和为，通项公式为，，
（1）计算的值；
（2）比较与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
解：（1）由已知，，
；
（2）由（Ⅰ）知；下面用数学归纳法证明：
当时，．
（１）由（Ⅰ）当时，；
（２）假设时，，即，那么

，
所以当时，也成立．
由（1）和（2）知，当时，．
所以当，和时，；当时，．
3.已知数列中，，．
（1）求证：；
（2）求证：当时，．
解：（1）因为，所以……………… 2分
故………………………………… 4分
（2）当时，，又，
所以，即………………………………… 6分
假设当时，
则当时，………………… 8分

…………………………………10分
即时结论成立
综上所述，当时，．

4、已知正项数列中，。用数学归纳法证明：。
答案要点：当时，，，所以，时，不等式成立；
假设（）时，成立，则当时，

，
所以，时，不等式成立．
综上所述，不等式成立．
5、已知数列满足，且（）
（1）求的值
（2）由（1）猜想的通项公式，并给出证明。
解：（1）由得，
求得 ……3分
（2）猜想 ……5分
证明：①当n=1时，猜想成立。 ……6分
②设当n=k时时，猜想成立，即， ……7分
则当n=k+1时，有，
所以当n=k+1时猜想也成立 ……9分
③综合①②，猜想对任何都成立。 ……10分
6、已知数列中，an=n（n+1）（n+2）.又Sn=kn（n+1）（n+2）（n+3），试确定常数k，使S n恰为的前n项的和，并用数学归纳法证明你的结论.
解：由a1=S1,k=.下面用数学归纳法进行证明.
1°.当n=1时，命题显然成立；
2°.假设当n=k(kN*)时，命题成立,
即1·2·3+2·3·4+……+ k（k+1）（k+2）= k（k+1）（k+2）（k+3）,
则n=k+1时，1·2·3+2·3·4+……+ k（k+1）（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）= k（k+1）（k+2）（k+3）+（k+1）（k+2）（k+3）
=( k+1)（k+1+1）（k+1+2）（k+1+3）
即命题对n=k+1.成立
由1°, 2°，命题对任意的正整数n成立.

7．已知正项数列中，。用数学归纳法证明：。
8.已知数列的各项都是正数且满足
（1）求
（2）证明：

9、已知数列满足．
（Ⅰ）计算；（Ⅱ）猜想数列的通项，并利用数学归纳法证明．
解：（Ⅰ）由递推公式，得，．……3分
（Ⅱ）猜想：．…………………………………5分
证明：①时，由已知，等式成立．………………………………6分
②设时，等式成立．即．…………………………7分
所以，
所以时，等式成立．………………………………………9分
根据①②可知，对任意，等式成立．即通项．………10分
五．与几何知识有关问题：
1.空间内有个不重合的平面，设这个平面最多将空间分成
个部分.
（1）求
（2）写出关于的表达式，并用数学归纳法证明.

2.平面上有n个圆，每两个圆交于两点，每三个圆不过同一点，求证这n个圆分平面为n2－n＋2个部分．

3. n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？
分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．

当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．
当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．
由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．
由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2．
用数学归纳法证明如下：
①当n=2时，上面已证．
②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．
∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)
=k2+2k+1=(k+1)2
∴ 满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．
由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．
说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．

4.用四个不同字母组成一个含个字母的字符串，要求由开始，相邻两个字母不同. 例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是，……， 如图所示.记这含个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是的字符串的种数为.
a
b
c
d
n=1
a
b
c
d
n=2
a
c
d
a
b
d
a
b
c
试用数学归纳法证明：；

．解（1）：证明：
（ⅰ）当时，因为，，所以等式正确.
（ⅱ）假设时，等式正确，即，
那么，时，因为
，
这说明时等式仍正确.
据（ⅰ），（ⅱ）可知，正确.

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