1、1平面向量及其线性运算教学内容:平面向量及其线性运算(2课时)教学目标:理解平面向量的概念、向量的几何表示及向量相等的含义,掌握平面向量的线性运算(向量加法、减法、数乘)的性质及其几何意义,理解平面向量共线的条件和平面向量的基本定理教学重点:平面向量的线性运算教学难点:用基底表示平面内的向量教学用具:三角板教学设计:一、知识要点1. 平面向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量;向量的基本要素:大小和方向.(2)向量的表示:几何表示法;用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向;字母表示:或.(3) 向量的长度(模):即向量的大小,记作或.(4) 特
2、殊的向量:零向量:;单位向量:为单位向量.(5) 相等的向量:大小相等,方向相同的向量.(6) 相反向量:.(7) 平行(共线)向量:方向相同或相反的向量,称为平行(共线)向量,记作. 2. 向量的线性运算运算运算法则运算性质向量加法是一个向量,平行四边形法则三角形法则向量减法是一个向量,三角形法则数乘向量是一个向量,满足,时, 同向;时, 异向;时, .3.重要定理、公式(1)平面向量基本定理:如果,是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实数,使. 其中不共线的向量,称为基底.(2)向量共线定理:向量与向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得,即.二、典型
3、例示例1 判断下列命题是否正确: 零向量没有方向; 两个向量当且仅当它们的起点相同,终点也相同时才相等; 单位向量都相等; 在平行四边形中,一定有; 若,则; 若,则; 的充要条件是且; 向量就是有向线段;若,则直线直线; 两相等向量若共起点,则终点也相同. 解:只有 、 三个命题正确. 如不正确,是因为有向线段仅仅是向量的直观体现,我们可以用有向线段来表示向量,但向量可以用不同的有向线段表示,只要这些有向线段的长度相等方向相同即可,因此向量与有向线段是有区别的.注:正确理解向量的有关概念是作出正确判断的前提例2 (1)化简下列各式:;.(2)若是的中点,则 , , .注:正确运用向量的运算法
4、则和运算律进行化简,尤其要注意差向量起点和终点的选择例3 已知,则等于( )A. B. C. D. 注:逆用向量的运算法则,体现逆向思维.例4 设,判断下列命题的真假:(1)若,则三个向量可构成;(2)若三个向量可构成,则;并由此回答下列问题:若命题甲为,命题乙为三个向量可构成,则命题甲是命题乙的什么条件?注:注意向量运算的几何意义,体现数形结合思想.例5如图,梯形中,且,分别是和的中点,设,试用,表示和. 解:;.注:关键在于确定一条从所求向量起点到终点的路径,然后再借助于向量的运算逐步转化成用基底表示三、课堂练习1已知分别是的边上的中线,且,则为( )A. B. C. D. 2已知,则是三
5、点构成三角形的()A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件3. 对平面内任意的四点A,B,C,D,则 .4. 化简:(1)_;(2)_;(3)_.5. 判断下列命题是否正确(1)若,则.(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同.(3)若,则是平行四边形.(4)若是平行四边形,则.(5)若,则.(6)若,则. 6. 若,与的方向相反,则 .四、课堂小结 五、课外作业1下面给出四个命题:对于实数m和向量,恒有 对于实数m、n和向量,恒有若 若,则m=n 其中正确的命题个数是() A. 1B. 2C. 3D. 42在平行四边形中,若,则必有
6、( ) A. B. C.是矩形 D.是正方形3下列命题中,正确的是( )A.若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则4. 下列说法中错误的是( )A. 向量的长度与向量的长度相等B. 任一非零向量都可以平行移动C. 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 D. 两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同.5分别是的边的中点,且给出下列命题 其中正确的序号是_。6若,则_。7. 两列火车,先各从一站台沿相反方向开出,走了相同的路程,这两列火车位移的和是_。8. 如图,是以向量为边的平行四边形,又,试用表示。 9. 已知是内的一点,若,求证:是的重心.10. 在水流速度为的河中,如果要使船的速度行驶方向与两岸垂直,并使船速达到12,求船的航行速度与方向。感谢分享