高三数学经典例题精解分析模块检测.doc

模块检测
(时间：100分钟　满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知命题p：若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a>b，则<.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.其中真命题的个数是 (　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析　命题p为真，命题q为假，故p∨q真，綈q真．
答案　B
2．“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝”的 (　　)．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件[来源:学§科§网]
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　当α＝＋2kπ(k∈Z)时，cos 2α＝cos(4kπ＋)＝cos ＝.
反之当cos 2α＝时，有2α＝2kπ＋(k∈Z)⇒α＝kπ＋(k∈Z)，或2α＝2kπ－
(k∈Z)⇒α＝kπ－(k∈Z)，故应选A.
答案　A
3．若直线l的方向向量为b，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是 (　　)．
A．b＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)
B．b＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)
C．b＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)
D．b＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)
解析　若l∥α，则b·n＝0.将各选项代入，知D正确．
答案　D
4．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是 (　　)．[来源:Zxxk.Com]
A．90° B．60° C．30° D．0°
解析　∵|a|＝|b|＝，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.故向量a＋b与a－b的夹角是90°.
答案　A
5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于 (　　)．
A．10 B．8 C．6 D．4
解析　由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案　B
6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 (　　)．
A. B.
C. D.
解析　建立如图所示坐标系，
得D(0，0，0)，B(2，2，0)，C1(0，2，1)，B1(2，2，1)，
D1(0，0，1)，
则＝(2，2，0)，＝(0，0，1)，
＝(－2，0，1)．
设平面BD1的法向量n＝(x，y，z)．
∴
∴取n＝(1，－1，0)．
设BC1与平面BD1所成的角为θ，
则sin θ＝cos〈n，〉＝＝＝.
答案　D
7．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 (　　)．
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析　y2＝ax的焦点坐标为(，0)，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2(x－)，令x＝
0得y＝－.∴××＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.
答案　B
8．三棱锥A—BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则·等于 (　　)．
A．－2 B．2
C．－2 D．2
解析　·＝·(－)＝·－·
＝||||cos 90°－2×2×cos 60°＝－2.
答案　A
9．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于 (　　)．
A. B．2 C. D.
解析　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，因为y＝x2＋1与渐近线相切，故x2＋1±
x＝0只有一个实根，∴－4＝0，∴＝4，∴＝5，∴e＝.
答案　C
10．双曲线－＝1与椭圆＋＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形一定是 (　　)．
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
解析　双曲线的离心率e12＝，椭圆的离心率e22＝，由已知e12e22＝1，即
×＝1，化简，得a2＋b2＝m2.
答案　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)
11．已知命题p：∀x∈R(x≠0)，x＋≥2，则綈p：________．
解析　首先将量词符号改变，再将x＋≥2改为x＋<2.
答案　∃x∈R(x≠0)，x＋<2
12．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是______________．
解析　依题意设双曲线的方程x2－＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双
曲线的标准方程为－＝1.[来源:学|科|网Z|X|X|K]
答案　－＝1
13．给出下列结论：
①若命题p：∃x∈R，tan x＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧綈q”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．
其中正确结论的序号为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．
解析　对于①，命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧綈q为假命题，故①正确；
对于②，当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；易知③正确．所以正确结论的序号为①③.
答案　①③
14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为______．
解析　∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆方程知a＝5，b＝3，∴c＝4，
∴，
解得|PF1||PF2|＝18.∴△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|＝×18＝9.
答案　9
三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(10分)已知命题p：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线－＝1的离心率e∈(，)，若命题p、q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．
解　若p真，则有9－m>2m>0，
即0<m<3.若q真，则有m>0，
且e2＝1＋＝1＋∈(，2)，
即<m<5.
若p、q中有且只有一个为真命题，
则p、q一真一假．
①若p真、q假，
则0<m<3，且m≥5或m≤，即0<m≤；
②若p假、q真，
则m≥3或m≤0，且<m<5，
即3≤m<5.
故所求范围为：0<m≤或3≤m<5.
16．(10分)已知两点M(－2，0)、N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足||||＋·＝0，求动点P(x，y)的轨迹方程．
解　设P(x，y)，则＝(4，0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)．
∴||＝4，||＝
·＝4(x－2)，
代入||·||＋·＝0，
得4＋4(x－2)＝0，
即＝2－x，化简整理，得y2＝－8x，故动点P(x，y)的轨迹方程为y2＝
－8x.
17．(10分)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A、B两点．
(1)求a的取值范围；
(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．
解　(1)由消去y，
得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
依题意得即－<a<且a≠±.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，
∴x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，
即(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0.
∴(a2＋1)·＋a·＋1＝0，
∴a＝±1，满足(1)所求的取值范围．
故a＝±1.
18．(12分)如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(2)证明平面AMD⊥平面CDE；
(2)求二面角A­CD­E的余弦值．
解　如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原
点．
设AB＝1，依题意得B(1，0，0)，
C(1，1，0)，D(0，2，0)，E(0，1，1)，F(0，0，1)，
M(，1，)．
(1)＝(－1，0，1)，＝(0，－1，1)，
于是cos〈，〉＝＝＝.
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.
(2)证明　由＝(，1，)，＝(－1，0，1)，
＝(0，2，0)，可得·＝0，·＝0.
因此，CE⊥AM，CE⊥AD.
又AM∩AD＝A，故CE⊥平面AMD.
而CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.
(3)设平面CDE的法向量为u＝(x，y，z)，
则
于是令x＝1，可得u＝(1，1，1)．
又由题设，平面ACD的一个法向量为v＝(0，0，1)．
所以，cos〈u，v〉＝＝＝.
因为二面角A­CD­E为锐角，所以其余弦值为.
19．(12分)设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M(，)，F(，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．
解　(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.
圆(x＋)2＋y2＝4的圆心为F1(－，0)，半径为2，
圆(x－)2＋y2＝4的圆心为F(，0)，半径为2.
由题意得或
∴||CF1|－|CF||＝4.
∵|F1F|＝2>4，
∴圆C的圆心轨迹是以F1(－，0)，F(，0)为焦点的双曲线，其方程为－y2＝1.[来源:学科网ZXXK]
(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，

∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，
且|MF|＝＝2.
直线MF的方程为y＝－2x＋2，与双曲线方程联立得
整理得15x2－32x＋84＝0.
解得x1＝(舍去)，x2＝.
此时y＝.[来源:Zxxk.Com]
∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为