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金陵中学2013－2014学年度第一学期高三期中试卷
数学（必做题）
一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把正确答案填写在答题卡相应的位置上．
1． 设集合A＝｛x｜－＜x＜2｝，B＝｛x｜x2≤1｝，则A∪B＝ ▲ ．
【答】｛x｜－1≤x＜2｝
2. 复数i2（1－2i）的实部是 ▲ ．
【答】（－1）
3.命题“x∈R，x2+ax+1<0” 的否定是 ▲ ．
【答】
4.函数f（x）＝的定义域是 ▲ ．
【答】（0，3］
5.在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1+ a2+ a3 =2, a3+ a4+ a5 =8,则a4+ a5+ a6 = ▲ .
【答】16
6．已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a与b的夹角为60°，向量c＝2a＋b．则向量c的模为 ▲ ．
【答】2
【解析】｜c｜2＝（2a＋b）2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4×1×2×cos60°＋4＝12，即｜c｜＝2
7．在平面直角坐标系xOy中，已知y=x是双曲线－=1（a>0,b>0）的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ▲ ．
【答】2
【解析】由题意，∴．
8.已知直线l⊥平面α，直线mÍ平面β，则下列四个命题：
①若α∥β,则l⊥m； ②若α⊥β,则l∥m；
③若l∥m,则α⊥β； ④若l⊥m,则α∥β.
其中正确命题的序号是 ▲ ．
【答】 ①③
9．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y = 5下方的概率为 ▲ ．
【答】 ．
【解析】点P在直线x＋y = 5下方的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六种可能，故其概率为 = ．
10. 已知f(x)=3sin(2x－)，若存在α∈(0,π)，使f(α+x)= f(α-x)对一切实数x恒成立，则α= ▲ ．
【答】
11.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是 ▲ ．
【答】(－2,1)
12. 已知函数f(x)= |lg(x-1)| 若a≠b,f(a)= f(b) ,则a+2b的取值范围是 ▲ ．
【答】
13..定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋5)＝16，当x∈(－1，4]时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在[0，2013]上的零点个数是_____ ▲ ．
【答】604
【解析】由，可知，则，所以是以10为周期的周期函数. 在一个周期上，函数在区间内有3个零点，在区间内无零点，故在一个周期上仅有3个零点，由于区间中包含201个周期，又时也存在一个零点，故在上的零点个数为.
14.已知函数f(x)=，若对任意的实数x1,x2,x3,不等式f(x1)+ f(x2) >f(x3)恒成立，则实数k
的取值范围是 ▲ ．
【答】．
【解析】，令，
则．
原题等价为：对于，恒成立，求实数k的取值范围．
（1）当时，显然成立；
（2）当时，，由，得；
（3）当时，，由，得．
综上，实数k的取值范围为．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题满分14分)
已知向量a=(2cosx , 2sinx) ，b=(cosx , cosx),设函数f(x)=a•b-, 求：
(1) f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若, 且α∈(,π). 求α.
解===-3分
(1)函数的最小正周期为 ---------------5分
由，得（）
∴函数的单调递增区间为 ---------------8分
(2)∵，
∴，
∴…………………………………………………………11分
∴，∵，∴，
∴或，∴或 ---------------14分

16．(本题满分14分)
如图,四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE的中点,G是AE,DF的交点.
（1）求证:GH∥平面CDE；
（2）求证:面ADEF⊥面ABCD.

证明：⑴是的交点，∴是中点，又是的中点，
∴中，， ---------------2分
∵ABCD为平行四边形
∴AB∥CD
∴， ----------------------------------------------4分
又∵
∴平面 -------------------7分
⑵，
所以， -------------------9分
又因为四边形为正方形，
， ------------------10分
，
，- -----------------12分

. ----------------14分

17．（本题满分14分）
已知等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d为整数，且满足a1+3<a3, a2+5> a4，数列{bn}满足bn =，其前n项和为Sn．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若S2为S1，Sm (m∈N＊)的等比中项,求正整数m的值．
(3)对任意正整数k,将等差数列{an}中落入区间(2k,22k)内项的个数记为ck,求数列{cn}的前n项
和Tn
解：（1）由题意，得解得< d <． ……………………2分
又d∈Z，∴d = 2．
∴=1+(n－1)2=2n－1． ………………………4分
（2）∵………………………………..6分
∴…………………7分
∵，，，为， ()的等比中项，
∴，即，
解得=12． ……………………………………….9分
(3)对任意正整数k，，则,
而，由题意可知 , …………………………………12分
于是
，
即. ………………14分

18.（本小题满分16分）
如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l1，在路南侧沿直线铺设线路l2，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB = 60m，BC = 80m，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB=-α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W．
（1）求W关于α的函数关系式；
（2）求W的最小值及相应的角α．

解：（1）如图，过E作，
垂足为M，由题意得∠MEF=α，
故有，，，……………….3分
所以
=80+-60tanα（其中……..……………8分
（2）W
．
设，
则． ………………11 分
令得，即，得．
列表

+
0
-

单调递增
极大值
单调递减
所以当时有，此时有． …………… 14分
答：铺设水管的最小费用为万元，相应的角． ………………… 16分
19．（本小题满分16分）
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2,左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点且斜率为的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；
（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点,直线PA1，PA2，分别交轴于点N，M,若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值.
M
x
y
T
G
P
O
N
A1
A2
B1
B2
F1
F2
解：（1）因为椭圆C的离心率e＝，
故设a＝2m，c＝m，则b＝m．
直线A2B2方程为 bx－ay－ab＝0，
即mx－2my－2m2＝0．
所以 ＝，解得m＝1．
所以 a＝2，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1． ………………… 5分
（2） 由得E(，)，F(－，－)．……………………………….7分
又F2(，0)，所以＝(－，)，＝(－－，－)，
所以·＝(－)×(－－)＋×(－)＝＞0．
所以∠EF2F是锐角． ………………… 10分
（3）由（1）可知A1(0，1) A2(0，－1),设P(x0，y0),
直线PA1：y－1＝x，令y＝0,得xN＝－；
直线PA2：y＋1＝x，令y＝0,得xM＝；……………………………………12分

解法一:设圆G的圆心为((－)，h),
则r2＝[(－)－]2＋h2＝(＋)2＋h2．
OG2＝(－)2＋h2．
OT2＝OG2－r2＝(－)2＋h2－(＋)2－h2＝．………….14分
而＋y02＝1，所以x02＝4(1－y02)，所以OT2＝4，
所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2. ………………… 16分
解法二:OM·ON＝|(－)·|＝,
而＋y02＝1，所以x02＝4(1－y02)，所以OM·ON＝4．
由切割线定理得OT2＝OM·ON＝4．
所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2. ………………… 16分
20．（本大题满分16分）
已知函数f(x)=a|x|+(a>0,a≠1)
（1）若a>1，且关于x的方程f(x)=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；
（2）设函数g(x)= f(-x)，x∈[-2，+∞），满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关.试求a的取值范围．
解：(1)令，，因为，所以，所以关于的方程有两个不同的正数解等价于关于的方程有相异的且均大于1的两根，即 关于的方程有相异的且均大于1的两根，…………………………………………2分
所以，…………………………………………………………………4分
解得，故实数的取值范围为区间.……………………………6分
(2)
①当时，
a)时，，，所以 ，
b)时，，所以 ……8分
ⅰ)当即时，对，，所以 在上递增，
所以 ，综合a) b)有最小值为与a有关，不符合…10分
ⅱ)当即时，由得，且当时，，当时，，所以 在上递减，在上递增，所以，综合a) b) 有最小值为与a无关，符合要求．………12分
②当时，
a) 时，，，所以
b) 时，，，
所以 ，在上递减，
所以 ，综合a) b) 有最大值为与a有关，不符合……15分
综上所述，实数a的取值范围是．………………………………………………16分
金陵中学2013－2014学年度第一学期高三期中试卷
数学（附加题）
21【选做题】在下面A，B，C，D四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．
A．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证：
（1）l是⊙O的切线；
（2）PB平分∠ABD.

20090602

证明：（1）连结OP，
因为AC⊥l，BD⊥l，
所以AC//BD.
又OA=OB，PC=PD，
所以OP//BD，从而OP⊥l.
因为P在⊙O上，
所以l是⊙O的切线. ...........5分
（2）连结AP，
因为l是⊙O的切线，
所以∠BPD=∠BAP.
又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，
所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD. .........10分

B．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵M＝，N＝．
（1）求矩阵MN；
（2）若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q(0，1)，求点P的坐标．
解：（1）MN＝ ＝； …………5分
（2）设P(x，y)，则
解法一：
＝，即
解得即P(，－1)． …………10分
解法二：
因为＝．所以＝ ＝．
即P(，－1)． …………10分

C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数），
若以直角坐标系xoy的原点为极点，OX为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ρsin(θ+)=0, 求与直线l垂直且与曲线C相切的直线m的极坐标方程.
解：················3分
设,
直线与相切，可得或，··················7分
直线的极坐标方程为
或···10分

D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）
设f(x)=x2x+13，实数a满足| x-a|<1，求证：| f(x)-f(a)|<2(|a|+1)．
证：，
，
又．…………10分
［必做题］
22．（本小题满分10分）
口袋中有n(n∈N＊)个白球，3个红球.依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球.记取球的次数为X, 若P(X=2)= 求：
（1）n的值；
（2）X的概率分布与数学期望.
解：（1）由题知

（2）由题知，X的可能取值为1，2，3，4，所以

所以，X的概率分布表为

X
1
2
3
4
P

所以
答X的数学期望是 …………10分
23．（本小题满分10分）
设P1，P2，…，Pj为集合P＝{1，2，…，i}的子集，其中i，j为正整数．记aij为满足P1∩P2∩…∩Pj＝Æ的有序子集组(P1，P2，…，Pj)的个数．
（1）求a22的值；
（2）求aij的表达式．
解：（1）由题意得P1，P2为集合P＝{1，2}的子集，
因为P1∩P2＝Æ，
所以集合P＝{1，2}中的元素“1”共有如下3种情形：
1ÏP1，且1Ï P2；1ÎP1，且1Ï P2；1ÏP1，且1ÎP2；
同理可得集合P＝{1，2}中的元素“2”也有3种情形，
根据分步乘法原理得，a22＝3×3＝9； …………4分
（2）考虑P＝{1，2，…，i}中的元素“1”，有如下情形：
1不属于P1，P2，…，Pj中的任何一个，共C种；
1只属于P1，P2，…，Pj中的某一个，共C种；
1只属于P1，P2，…，Pj中的某两个，共C种；
……
1只属于P1，P2，…，Pj中的某(j－1)个，共C种，
根据分类加法原理得，元素“1”共有C＋C＋C＋…＋C＝2－1种情形，
…………8分
同理可得，集合P＝{1，2，…，i}中其它任一元素均有(2－1)种情形，
根据分步乘法原理得，aij＝(2－1)i． …………10分