椭圆的标准方程教学设计.doc

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椭圆的标准方程
宿迁市中小学教学研究室　卓斌
教学目标：
1．通过数学实验与动手作图，利用椭圆的定义，从几何直观上对于曲线类型进行判断；
2．通过阅读自学与问题驱动，领会建立椭圆方程的必要性，掌握椭圆的标准方程的建立过程；
3．通过椭圆各种语言的转化，经历数学知识的发生发展过程，通过椭圆方程的运用，展现运用方程研究曲线的解析几何本质，进一步领悟数形结合思想．

教学重点：
学会建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法．
教学难点：
椭圆的标准方程的推导过程．

教学方法与教学手段：
1．教学方法：采用数学实验，动手做数学，阅读自学，问题驱动等方式，引导学生自主探索；
2．教学手段：使用实物展台、几何画板、多媒体等现代教育技术手段，调动学生主动探索问题，感受知识的生成过程．

教学过程：
一、概念回顾——温故知新
请你复述一下椭圆的定义．
（1）椭圆定义中的关键词有哪些？
（2）你能把椭圆定义用数学符号语言来表示吗？
设计意图：温故知新，为利用定义进行几何推证和研究方程做好铺垫．
二、观察操作——直观感知
1．观察所给的图形，从中你能看到什么曲线吗？

设计意图：提供数学材料，激发学习兴趣与好奇心，让学生处于愤悱状态！
2．按照以下步骤操作，你能发现其中隐藏着的曲线吗？
S1 选择一个曲边菱形区域，将其涂黑；
S2 选择已经涂黑的曲边菱形区域，将其一组对顶的曲边菱形区域涂黑；
S3 重复S2，注意选取对顶区域的方向要一致；
S4 将涂黑区域的公共顶点连接成一条光滑的曲线．
设计意图：设计数学实验，自主发现图中蕴藏着的平面曲线，通过实物展台呈现学生作品．
三、理性思考——几何判断
1．如果将图中涂黑区域的公共顶点连接成一条光滑的曲线，那么这条曲线上的点具
有怎样的特征呢？
设计意图：先通过几何画板演示，动态生成椭圆，并度量椭圆上点的特征，再让学
生进行理性分析，自主得出结论：常数．
2．现有一根长度大于的细绳，试用适当的方法画出以为焦点的一个椭圆．
设计意图：请两位同学在黑板上演示，对椭圆定义进行操作，且为后续研究方程提供椭圆图形．
四、理性探究——建立方程
1．椭圆在现实生活、生产、科技中有着广泛的运用，神舟八号运行轨迹也是椭圆，
怎样才能精确地制造它们呢？
设计意图：数无形时少直觉，形无数时难入微．需要进行定量刻画，从代数角度进行突破，即研究椭圆的方程．
2．怎样建立椭圆的方程？
设计意图：需要引进平面直角坐标系，实现椭圆方程的坐标化．
F1
F2
P
x
y
O
3．对于椭圆这种平面曲线，怎样建立坐标系才能使得它的方程最为简单呢？为什
么要这样建立坐标系呢？

设计意图：让学生对于如何建系进行理性分析：
椭圆关于轴对称，方程中的一次项系数为0；
椭圆关于轴对称，方程中的一次项系数为0；
类比圆的方程，猜想椭圆的方程中只有，的二次项与常数项．
4．阅读教科书：思考下面问题：
（1）化简椭圆的坐标化方程：的算理是什么？
设计意图：方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边
只有一项，再平方；
方程中只有一个根式时，需将根式单独留在方程的一边，把其他项移到方程的另一边，再平方；
（2）引进字母的好处是什么？的几何意义是什么？
设计意图：数学上追求简洁美与对称美的需要，采用补美法．的几何意义是与
常数构成直角三角形的三边，表示椭圆的短半轴的长．
（3）焦点在轴上的椭圆，它的方程该是什么样子呢？为什么？
设计意图：培养学生类比推理能力．因为，只是，
互换位置，根据对称变换思想，焦点在轴上的椭圆的方程应该是．
（4）确定椭圆的标准方程需要几个条件？
设计意图：需要两个相互独立条件，确定的值．
五、学以致用——运用方程
P
x
y
O

例1　将圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，试判断所得的曲线是什么曲线．
（1）几何画板演示，直观感知；
（2）教师板书解题过程，给予解题示范．
反思：
①采用了什么方法求变换后曲线的方程？
坐标转移法
②怎样证明曲线的类型？
模式识别法
③怎样画出这个椭圆呢？
回归定义
设计意图：培养学生数学阅读能力与抽象概括能力，并借助几何画板演示，给学生留下一个动态变换过程．
F1
F2
P
x
y
O
例2　已知一个储油罐截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2．4米，外轮廓线上的点到两个焦点的距离和为3米，求这个椭圆的标准方程．

师生共同完成解题过程并思考：
（1）采用了什么方法求椭圆的标准方程？
待定系数法．
（2）若储油罐车在一个加油站放油后，油面水平线距离油罐顶部1.5米，问油面水平线的长度是多少米？
设计意图：师生共同完成，展示规范的解题过程，提炼解题方法．同时追问（2），
实现了利用方程解决问题的目标．简解：由题意，把代入椭圆方程，得，所以油面水平线的长度是米．
六、回顾反思——小结收获
通过本节课学习，我们是怎样研究椭圆的？
（1）根据椭圆的定义，从几何直观上进行推证；
（2）利用椭圆的定义，建立椭圆的方程，运用方程进行识别．
设计意图：让学生畅所欲言，进行学习后的反思，总结活动经验．
七、反馈训练——课后作业
课本P30-31习题2．2（1）：1，2，4，9．
设计意图：课后作业目的是巩固新知，达标反馈．
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