广东名校联考（三模）文科数学试题.doc

2012年高中毕业班第三次高考模拟考试题
数学(文科)
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时l20分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
锥体的体积公式：,其中是锥体的底面积，为锥体的高．
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，，那么集合( )
（A） （B）
（C） （D）
2．设是虚数单位，则设是虚数单位，则 ( )
A. B. C. D.
3．已知向量,,且，则的值为( )
A． B. C. D．
4. 已知函数则=( )
A． B．e C．－ D．－e
5．等比数列｛中 ，，则( )
A． 33 B． 72 C． 84 D． 189
6. “”是“直线与圆相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7. 已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为(　　)
A.　　　　　B．6 C. D．2
8．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由 算得，
附表：

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别无关”
9. M，N是曲线y＝πsinx与曲线y＝πcosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为(　　)
A．π B.π C.π D．2π
10. 设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在上是“关联函数”，则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11－13题）
11. 如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，后，就可以计算出A、B两点的距离为
12．在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(x，y)的概率为________．
13．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且1·2＝0，则|1＋2|＝________.
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）已知圆的半径为，从圆外一点
引切线和割线，圆心到的距离为，，
则切线的长为 ____ _．
15．(坐标系与参数方程选做题) 已知曲线C的参数方程为（为参数），
则曲线C上的点到直线的距离的最大值为 .
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）先列表再用“五点法”画出函数在的简图；
（2）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，
，，，求b，c的长。

17.（本小题满分12分）
某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．
25
30
35
40
45
50
0.02

年龄
0.08
0.06
0.04
O
(1)下表是年龄的频数分布表，求正整数的值；
区间
[25，30)
[30，35)
[35，40)
[40，45)
[45，50]
人数
50
50

150

(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？
(3)在(2)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．
18．（本小题满分14分）
如图：、是以为直径的圆上两点，，， 是上一点，且，将圆沿直径折起，使点在平面的射影在上，已知.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积．

19．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,0)、B(1,0)，动点C满足条件：△ABC的周长为2＋2.记动点C的轨迹为曲线W.
(1) 求W的方程；
(2) 曲线W上是否存在这样的点P：它到直线x=-1的距离恰好等于到点B的距离？若存在，求出这样的点；若不存在，请说明理由。

20．（本小题满分14分）
已知函数上恒成立.
（1）求的值；
（2）是否存在实数m，使函数上有最小值－5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由.

21．（本小题满分14分）
已知数列满足
（1）求；
（2）已知存在实数，使为公差为的等差数列，求的值；
（3）记，数列的前项和为，求证：.
2012年高中毕业班第三次高考模拟考试题
数学(文科)参考答案及评分说明
一．选择题：ACBAC ADACA
解析：9. 当|MN|最小时，点M，N必为两曲线的相邻的两个交点，所以可设为M(，)，N(，－)，根据两点间距离公式得|MN|＝＝π. 选C
10. 为开口向上的抛物线，是斜率的直线，可先求出与相切时的值. 由得切点为，此时，因此的图象与的图象有两个交点只需将向上平移即可。再考虑区间，可得点为图象上最右边的点，此时，所以
二．填空题：11. 12． 13． 2 14． 15．.
三．解答题：
16.解：（1）

--------------------3分
列表：
x
0

y
－1
0
2
0
－2
描点、连线可得函数f(x)的图象如下：

--------------------7分

（2）　即，∴ ∴ --------------------9分
由 即
又， --------------------12分
17．解： (1)由题设可知，，
. --------------------2分
(2) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，
利用分层抽样在300名学生中抽取名学生，每组抽取的人数分别为：
第1组的人数为， 第2组的人数为，
第3组的人数为， 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． ---------------6分
(3)设第1组的1位同学为，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为，则从六位同学中抽两位同学有：
共种可能． --------------------10分
其中2人年龄都不在第3组的有：共1种可能， --------------------11分
所以至少有1人年龄在第3组的概率为． --------------------12分
18．解：（1）证明：依题意：
平面 ∴ --------------------2分
∴平面．--------------------5分
（2）证明：中，， ∴ --------------------6分
中，， ∴． --------------------7分
∴ ．--------------------8分
∴ 在平面外 ∴平面．--------------------10分
（3）解：由（2）知，，且
∴到的距离等于到的距离为1．--------------------11分
∴．--------------------12分
平面 ∴ ．-----------14分
19．解：(1)设C(x，y)，∵|AC|＋|BC|＋|AB|＝2＋2，|AB|＝2，
∴|AC|＋|BC|＝2>2， -------------------3分
∴由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点．
∴a＝，c＝1，∴b2＝a2－c2＝1. -------------------5分
∴W：＋y2＝1(y≠0)． -------------------6分
(2)假设存在点P满足题意，则点P为抛物线与曲线W：＋y2＝1(y≠0)的交点，
由消得 -------------------9分
解得（舍去） -------------------10分
由代人抛物线的方程得 -------------------12分
所以存在两个点P（）、（）到直线x=-1的距离恰好等于到点B的距离。 -------------------14分
20．解：（1） -------------------1分
-------------------2分
恒成立
即恒成立 显然时，上式不能恒成立
是二次函数
由于对一切于是由二次函数的性质可得
-------------------4分
即 ．---------------6分
（2）
-------------------7分
该函数图象开口向上，且对称轴为
假设存在实数m使函数区间 上有最小值－5.
①当上是递增的.

解得舍去 -------------------9分
②当上是递减的，而在
区间上是递增的，
即
解得 ------------------- 11分
③当时，上递减的
即
解得应舍去. -------------------13分
综上，当时，函数 ---14分
21．解：（1），由数列的递推公式得
，， -------------------3分
（2）=
== -------------------6分
数列为公差是的等差数列. 由题意，令，得 -------------8分
（3）由（2）知， 所以 -------------------10分
此时==， -----------12分

=
> -------------------14分

9