安浩五月份试卷数学.docx

数学试题 (文科)
一、选择题(每小题5分,共50分，每小题只有一个选项是符合题目要求的)
1．复数z满足等于 （ ）
A．1+3i B．3－i C． D．
2．已知集合则等于为 （ ）
A．{0，1，2，3，4} B．
C．{—2，—1，0，1，2，3，4} D．{2，3，4}
3．已知向量a=(3,4),b=(2,—1)，如果向量与b垂直，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
4．“a= —1”是“函数只有一个零点”的 （ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．非充分必要条件
5．如果执行右面的程序框图，那么输出的i等于 （ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
6．抛物线的准线经过双曲线
的一个焦点，则双曲
线的离心率为 （ ）
A．2 B． C． D．2
7．已知函数是上的偶函数，若对于，都有且当时，的值为 （ ）
A．—2 B．—1 C．2 D．1
8．设是公比为q的等比数列，令，若数列的连续四项在集合{—53，—23，19，37，82}中，则q等于 （ ）
A． B． C． D．
9．已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知是三个不同的平面，命题“，且”是真命题，如果把中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1—50号，并分组，第一组1—5号，第二组6—10号，……第十组46—50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为
的学生。
12．已知实数x、y满足不等式则的最大值为 。
13．若直线与圆有两个不同的公共点，则实数m的取值范围为 。
14．若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为 。
15．一个几何体的三视图如下图，则该几何体的表面积为 cm2。

三、解答题（本大题6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
16．（本小题满分12分）已知函数 （I）求函数的最小正周期和值域；（II）记的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，若求角C的值。

17．（本小题满分12分）已知函数的图像经过点A（0，0），B（3，7）及C，为数列 的前n项和（I）求（II）若数列满足，求数列的前n项和

18．（本小题满分12分）甲、乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了统计两个学校在本地区一模考试的数学科目的成绩，采用分层抽样抽取了105名学生的成绩，并作了如下频率分布表。（规定成绩在内为优秀）
甲校：
分组

频数
2
3
10
15
15
x
3
1
乙校：
分组

频数
1
2
9
8
10
10
y
3
（I）计算x，y的值，并分别估计两个学校在此次一模考试中数学成绩的优秀率（精确到0.0001）；
（II）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异，并说明理由。

甲校
乙校
总计
优秀

非优秀

总计

附：

0．10
0．05
0．025
0．010

2．706
3．841
5．024
6．635

19．（本小题满分12分） 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，CD//AB，AB=2AD=2DC，（I）求证：（II）试在线段PB上找一点M，使CM//平面PAD，并说明理由。

20．（本小题满分13分）已知椭圆C的中心在的点，焦点在x轴上，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，M是椭圆短轴的一个端点，过F1的直线与椭圆交于A，B两点，的面积为4，的周长为（I）求椭圆C的方程；（II）设点Q的从标为（1，0），是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF1，PF2都相切，若存在，求出P点坐标及圆的方程；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分14分） 已知函数 （I）求函数在上的最小值； （II）对一切恒成立，求实数a的取值范围； （III）求证：对一切，都有

参考答案 (文科)
一、选择题
1．C　解析：

2．A 解析：

3．D 解析：
可得
4．B 解析：

5．B
解析：s=2,i=2; s=6,i=3; s=24,i=4; s=120,i=5;此时输出i为５
6．C
7．D解析：

8．Ｃ
解析：

9．Ｂ ，因为函数有极大值和极小值，所以有两个不相等的实数根，所以判别式，解得或
10．C若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γb⊥γ”此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b b⊥β”此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且α⊥b a⊥β”此命题为真命题
二、填空题
11． 37
解析：组距为5，（8－3）*5+12＝37.
12. -5
解析：作出可行域，易知最优解为
13．
解析：圆心到直线的距离
14．
依题意，将函数的图象向右平移个单位长度后得
，它的图像与函数的图象重合，所以
（），解得（）因为，
所以
15．
解析：

三、解答题
16．【解】（I） ， 的最小正周期为．
因为，所以,所以值域为 ． …………6分
（II）由（1）可知， , , , , 得 ． …………9分
且， , ,
， ． …………12分
17．【解】（I）由，得， ……2分
∴f （x）＝2x－1，∴Sn＝2n－1（n∈N*）．……3分
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1． ……4分
当n＝1时，S1＝a1＝1符合上式． ……5分
∴an＝2n－1（n∈N*）． ……6分
（II）由（1）知cn＝12nan－n＝6n×2n－n． ……8分
从而Tn＝6（1×2＋2×22＋…＋n×2n）－（1＋2＋…＋n）
错位相减法得：＝6（n－1）·2n＋1－＋12． ……12分
18．【解】（I）由题意知，甲学校抽取55人，乙学校抽取50人 ……2分
故，估计甲学校的优秀率为，乙学校的优秀率为 ……6分
（II）由题目可知：
，因为3．671>2．706，,所以有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异． ……12分
19．【解】（I）连接AC，过C点作,垂足为E，则由已知可得,所以AC2＋BC2＝AB2．所以AC⊥B C．又因为PA⊥BC，BC⊥PC，所以BC⊥平面PA C．因为PCÌ平面PAC，所以PC⊥B C． ……6分
（II）当M为PB中点时，CM∥平面PA D．取AP中点F，连结CM，FM，DF．
则FM∥AB，FM＝AB． ……8分
因为CD∥AB，CD＝AB，所以FM∥CD，FM＝CD． ……9分
所以四边形CDFM为平行四边形．所以CM∥DF． ……10分
因为DFÌ平面DAP，CM平面PAD，所以CM∥平面PAD．……13分
20．【解】（I） 由题意知：，解得
∴ 椭圆的方程为 ………………………… 5分
（II）假设存在椭圆上的一点，使得直线与以为圆心的圆相切，则到直线的距离相等,

：
：

化简整理得： …………… 9分
∵ 点在椭圆上，∴
解得： 或 （舍） ………………………… 11分
时，，，
∴ 椭圆上存在点，其坐标为或，使得直线与以为圆心的圆相切……………… 13分
21．【解】（I）f ′（x）＝lnx＋1，当x∈（0，），f ′（x）＜0，f （x）单调递减，当x∈（，＋∞），f ′（x）＞0，f （x）单调递增． ……2分
①0＜t＜t＋2＜，t无解；
②0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜时，f （x）min＝f （）＝－；
③≤t＜t＋2，即t≥时，f （x）在［t，t＋2］上单调递增，f （x）min＝f （t）＝tlnt；
所以f （x）min＝． ……5分
（II）2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋， ……6分
设h （x）＝2lnx＋x＋（x＞0），则h′ （x）＝，x∈（0，1），h′ （x）＜0，h （x）单调递减，
x∈（1，＋∞），h′ （x）＞0，h （x）单调递增，所以h （x）min＝h （1）＝4，
因为对一切x∈（0，＋∞），2f （x）≥g （x）恒成立，所以a≤h （x）min＝4． ……9分
（III）问题等价于证明xlnx＞－（x∈（0，＋∞）），
由（I）可知f （x）＝xlnx（x∈（0，＋∞））的最小值是－，
当且仅当x＝时取到．
设m （x）＝－（x∈（0，＋∞）），则m ′（x）＝，
易得m （x）max＝m （1）＝－，当且仅当x＝1时取到，
从而对一切x∈（0，＋∞），都有lnx＞－． ……13分