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中考数学专题复习五 阅读理解题
一、总体概述
阅读理解是近年来中考试题中出现的新题型，这种题型特点鲜明、内容丰富、超越常规，源于课本，高于课本，不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识，此类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律。这类题通常由两部分组成：一是阅读材料，二是考察内容。解答这类题的关键是认真阅读其内容，理解其实质，把握其方法、规律，然后加以解决。
二、典型例题
例1 已知坐标平面上的机器人接受指令“[a，A]”(a≥0，0°<A<180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向面对方向沿直线行走a. 若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后，所在位置的坐标为( D )
A. (-1，-) B. (-1，) C.(，-1) D.(-，-1)

例2 为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密）．已知加密规则为：明文对应的密文．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到密文7，18，15，则解密得到的明文为（　B　）
Ａ．4，5，6 Ｂ．6，7，2 Ｃ．2，6，7 Ｄ．7，2，6

例3. 读一读：式子“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示为，这里“”是求和符号.例如：“1＋3＋5＋7＋9＋……＋99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为；又如“13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103”可表示为.同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：
①2＋4＋6＋8＋10＋……＋100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ；
②计算：＝ （填写最后的计算结果）.
分析: 本题就是先给读者提供全新的的阅读材料，介绍了求和符号“”的意义，这是学生没有碰到过的新知识，只有通过阅读理解它的意义，才能正确解答下面有关问题。求和符号的下面和上面的数字分别表示求和加数的首、尾数字序数，求和符号右边的代数式表示求和加数的性质。
解: （1）； （2）50。

［解题启示］
本题是一道在初中和高中知识的衔接点上命题的代数阅读理解题，学生只有正确阅读理解求和符号“”的意义、书写格式等知识，才能迁移运用，再发散开放。

例4. 阅读：我们知道，在数轴上，表示一个点．而在平面直角坐标系中，表示一条直线；我们还知道，以二元一次方方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线，如图1可以得出：直线与直线的交点P的坐标（1，3）就是方程组
在直角坐标系中，表示一个平面区域，即直线以及它左侧的部分，如图2-4-11；也表示一个平面区域，即直线以及它下方的部分，如图2．回答下列问题：在直角坐标系（图3）中，
（1）用作图象的方法求出方程组的解．
（2）用阴影表示，所围成的区域．

分析: 通过阅读本题所提供的材料，我们要明白两点：方程组的解与两直线交点坐标的关系；不等式组的解在坐标中区域的表示方法．
解: （1）如图3，在坐标中分别作出直线和直线，这两条直线的交点P（-2，6），则是方程组的解．
（2）不等式组，在坐标系中的区域为下图中的阴影部分．

例5 阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D（如图），则sinB=，sinc=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即．同理有 ．
∴………………（*）
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论（*）和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：
第一步，由条件 ∠B；
第二步，由条件 ∠C；
第三步，由条件 c．
（2）一货轮在C处测得灯塔A 在货轮的北偏西的方向上，随后货轮以28.4海里/时的速度按北偏东的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A的距离AB（结果精确到0.1．参考数据：sin=0.643，sin=0.906， sin=0.904，sin=0.966）．

分析: 本题取材于高中代数中的“正弦定理”内容，关键要通过阅读、自学，从中了解正弦定理的内容及其证明并要会简单应用。
解：（1）第一步：a、b、∠A；；
第二步：∠A、∠B；∠A+∠B+∠C=180
第三步：a、∠A、∠C或b、∠B、∠C，或
（2）解：依题意，可求得∠ABC=，
∠A=
BC=28.4×=14.2
∵，∴AB=
答：货轮距灯塔A的距离约为21.3海里．
［解题启示］
近几年来，中考题中出现了与高中或大学知识有关的“渗透型”试题，这类试题较好地考查了学生的自学能力，也体现了新课程思想理念，故在复习中要引起重视。
例6
阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”. 显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 .
(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
(2) 如图8②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图8②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
(3) 若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图8③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.

解：（1） 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.
(2) 此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF.
易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴ △ABC的“友好矩形”的面积相等.
(3) 此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小 .
证明如下：
易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则
L1=+2a，L2=+2b，L3=+2c .
∴ L1- L2=(+2a)-(+2b)=2(a-b)，
而 ab>S，a>b，
∴ L1- L2>0，即L1> L2 .
同理可得，L2> L3 .
∴ L3最小，即矩形ABHK的周长最小.
三、当堂达标
1. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制(1111)2转换成十进制形式是数( 　)
　　A．8　 B．15　 C．20　 D．30

2. 如果一个图形绕一个定点旋转一个角a (0°＜a ≤180°)，能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．例如，正三角形绕着它的中心旋转
120°(如图1)，能够与原来的正三角形重合，因而正三角形是旋转对称图形．图2是一个五叶风车的示意图，它也是旋转对称图形(a ＝72°)．

图1　　　　　　　　 　　　图2
　　显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形．下面四个图形中，是旋转对称图形的有( 　)

　　A．①②③ B．②③④
　　C．①③④ D．①②③④

3.符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1），，，，…
（2），，，，…
利用以上规律计算： ．

4. 先阅读下列材料，然后解答题后的问题．
材料：从A、B、C三人中选择取二人当代表，有A和B、A和C、B和C三种不同的选法，抽象成数学模型是：从3个元素中选取2个元素组合，记作．
一般地，从个元素中选取个元素组合，记作．
问题：从6个人中选取4个人当代表，不同的选法有 种．

5. 阅读下列一段话，并解决后面的问题．
观察下面一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2．
一般地，如果一列数等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
（1）等比数列5，-15，45，……的第4项是 ．
（2）如果一列数，，，，……是等比数列，且公比为，那么根据规定，有
所以
（用和的代数式表示）
（3）一等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项．

6. 阅读下面材料并完成填空．
　　你能比较两个数20062007和20072006的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nn＋1和(n＋1)n的大小(n≥1的整数)．然后，从分析n＝1，n＝2，n＝3，……，这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
　　(1)通过计算，比较下列①～③各组两个数的大小(在横线上填“＞”“＜”或“＝”)
　　①12______21；　②23______32；　③34______43；
　　④45＞54；　⑤56＞65；　⑥67＞76；　⑦78＞87；…
　　(2)从第(1)小题的结果经过归纳，可以猜想出nn＋1和(n＋1)n的大小关系是：_________．
　　(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到20062010______20072009(填“＞”“＜”或“＝”)．
7.请阅读下列材料：
　　问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
　　小东同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．由此可知新正方形的边长等于两个正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．
图1
图2

图3

请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
　　现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
图4

图5

解：

8.如果将点P绕定点M旋转1800后与点Q重合那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心．此时P与点O关于点M是线段PQ的中点．如图2-4-14，在直角坐标系中，△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）（0，0），点列，，，……中的相信两点都关于△ABO的一个顶点对称；点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与关于O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称点与点关于点O，对称中心分别是A、B、O、A、B、O、……且这些对称中心依次循环，已知点坐标是（1，1），试求出点，，坐标．

中考数学专题复习 阅读理解题
参考答案
1. B 2. C 3.1 4.15 5.（1）-135 （2） （3）．
6. (1)＜　＜　＞ (2) nn＋1＜(n＋1)n(n≤2) nn＋1＞(n＋1)n(n≥3) (3)＞
7. ．所画图形如图所示．

8. 的坐标为（1，-1）， 的坐标为（1，1） 的坐标为（1，-3）

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