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中职数学（上册）教案 第八章《直线》教案 保康县中等职业技术学校土门校区：赵洪波
第八章 《直线》 教材分析
本章的最主要的内容是直线方程（直线的倾斜角和斜率.直线方程的点斜式、两点式.直线方程的一般式.两条直线平行与垂直的条件.两条直线的夹角.点到直线的距离）.本章共需14课时，课时具体分配如下（供参考）：
8.1直线的倾斜角和斜率 约2课时
8.2直线的方程 约4课时
8.3两条直线的平行和垂直 约2课时
8.4两条直线的夹角和交点 约2课时
8.5点到直线的距离 约2课时
小结与复习 约2课时
一、内容与要求
本章六小节的内容大致可以分为三个部分：第一部分是直线的倾斜角和斜率；第二部分是直线的方程；第三部分是两条直线的位置关系.
直线是最常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有广泛的应用.初中几何对直线的基本性质作了比较系统的研究.初中代数研究了一次函数的图象和性质，高一数学研究了平面向量、三角函数.直线的方程是以上述知识为基础的，同时是平面解析几何学的基础知识，是进一步学习圆锥曲线以及其它曲线方程的基础，也是学习导数、微分、积分等的基础
为了建立直线的方程，本章首先引入了直线的倾斜角和斜率的概念，导出经过两点的直线的斜率公式.然后，利用经过两点的斜率公式，推导出直线方程的点斜式，利用点斜式，推导出直线方程的两点式；作为以上直线方程的特殊形式，介绍了直线方程的斜截式、截距式.指出了在平面直角坐标系中直线与二元一次方程的关系，介绍了直线方程的一般式.接着，研究了判定平面直角坐标系中两条直线平行和垂直的充要条件、两条直线的夹角和交点、点到直线的距离等问题
本章的重点是直线的方程、两条直线的位置关系，这些都是平面解析几何的重要基础知识.直线的方程是最基本的曲线方程.直线的方程是研究两条直线位置关系的基础，同时也是讨论圆的方程及其它圆锥曲线方程的基础.直线的方程、方程的直线概念，是解析几何的基本概念，理解和掌握这两个基本概念，是求直线的方程和讨论直线的性质的基础.
本章的教学要求有：
1．理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，掌握两条直线的夹角和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系
3．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题
二、本章的特点
(一)注意渗透数学思想方法
数学思想方法是重要的数学基础知识.本章注意通过教学内容渗透透数形结合这一解析几何学中反映出来的重要数学思想方法.
(二)注意加强前后知识的联系
加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益.
(三)重视理论联系实际，注意培养用数学的意识
注意贯彻理论联系实际的教学原则，培养学生应用数学的意识.
三、教学中应注意的问题
(一)把握好本章的教学要求
在本章中，对于直线方程的斜截式和截距式，《新大纲》没有把它们作为一种独立的直线方程形式提出来，教科书只是把它们分别作为直线方程的点斜式和两点式的特殊形式给出，对于斜截式，教材只配备少量习题和练习，对于截距式则只是出现一下，让学生能初步了解，没有专门练习和习题再作巩固训练，教学中要掌握好教学要求的度.在讨论两条直线的交点的问题时，不再就直线的一般形式对系数作讨论而得出一系列判定直线相交、平行、重合的条件，而仅要求学生能根据具体的直线方程组的解的情况来判断直线是否相交，如相交，会求出交点坐标.教学时不要拓宽加深.对于二元一次不等式表示平面区域以及线性规划问题，教科书都没有形式化地给出有关概念的定义，不作一般性讨论，而仅以特殊例子加以说明，教学中也不必引入形式化的定义
(二)注意面向全体学生
面向全体学生就是要对每一个学生负责，既要为所有学生打好共同基础，也要注意发展学生的个性和特长，进行因材施教
本章的内容是进一步学习圆锥曲线、导数、微分、积分等的基础.因而，要学好整个高中数学，就必须打好本章知识的基础，否则将会给后续内容的学习带来许多困难.所以在教学中要注意关心每一个学生的学习，及时发现教学中的问题，查漏补缺，打好一个共同的基础，完成教学大纲的教学要求.此外，本章内容又为发展学生的个性和特长提供了许多可能，教科书也为此提供素材.例如，在一些问题的解答以后，教科书提出问题，要求学生用其他的方法解题.在推导了点到直线的距离公式后，提出研究一下用其他方法推导上面的距离公式.教科书安排了两个阅读材料，对本章所涉及的一些基本问题和数学史实、数学思想方法作了简要的介绍，可以要求学有余力的学生认真阅读和体会，帮助他们加深对所学知识的理解.例如阅读材料“向量与直线”介绍了把平面向量的一些知识应用于直线方程，讨论直线与直线的位置关系，使学生能复习平面向量的有关知识，加深对直线方程问题的理解.阅读材料“笛卡儿和费马”介绍了解析几何学产生的历史背景，以及两位数学家笛卡儿和费马在创立这门学科中的主要贡献，并就解析几何的创立对数学的发展所产生的重大影响作了介绍.通过阅读材料的学习，学生能从中了解一些重要的数学思想方法，并进而培养浓厚的学习兴趣，正确的学习目的，实事求是的科学态度，以及独立思考、勇于探索创新的精神
(三)注意复习相关的教学内容
本章的教学内容属于平面解析几何学的基础，研究的对象是直线和圆，属于几何图形，研究方法是坐标法，要综合应用代数、三角函数、平面几何、平面向量等多方面的知识，这就要求在教学中结合教学内容复习相关的知识.尤其是本章中应用平面向量来处理直线的问题较多，如直线的斜率、圆心不在原点的圆的参数方程等问题中都涉及应用向量这一有力工具来处理，教学中要注意复习相关知识
四、关于教学内容的取舍
关于直线方程的形式，《新大纲》规定的教学内容有点斜式、两点式、参数式和一般式，原大纲则还有斜截式和截距式.现在以例题形式作为点斜式、两点式的特殊形式保留了斜截式和截距式，一般认为，直线方程的点斜式和两点式给出了根据一定条件求直线方程的途径，但在具体应用中，由于点斜式和两点式的形式比较原始和复杂，参数比较多，常把它们化为斜截式和一般式；斜截式与初中的一次函数有相同的形式易于互相沟通，形式比较简单，参数有简明的几何意义；截距式的形式比较简明对称，参数意义明显，能为画直线图形提供方便

课 题：8.4两条直线的夹角和交点――两条直线的夹角
教学目的：
1.理解两直线夹角的定义.2.掌握两直线夹角的计算公式.3.能根据两直线方程求两直线夹角.
教学重点：两条直线的夹角
教学难点：夹角概念的理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．特殊情况下的两直线平行与垂直．2．斜率存在时两直线的平行与垂直：
二、讲解新课：
1.两直线的夹角的定义：
平面上两条直线相交时构成四个角,且为两对对顶角,我们把其中不大于90°的角,叫做两条直线的夹角.
在右图中,直线和的夹角是,.
2.两直线的夹角公式:.
推导:设直线到的角，.
如果
如果,设，的倾斜角分别是和，则.
由图（1）和图（2）分别可知
或

或
于是.
根据两直线的夹角定义可知，夹角在[0°,90°]范围内变化，所以夹角正切值大于或等于0.故可以取绝对值而得到与的夹角公式:.
三、讲解范例：
例1 试求直线的夹角.
解:由两条直线的斜率分别为则将斜率代入夹角公式,得
,
又因为,故所求的两条直线之间的夹角为.
例2 若直线经过点且与直线的夹角为,试求直线的点斜式方程.
解:设所求直线的斜率为,而已知直线的斜率为1,故由夹角公式,得
,由此得或,
故所求直线的点斜式方程为或.
例3 试求直线之间的夹角.
解:直线的倾斜角为,其斜率不存在,而直线的斜率为,
其倾斜角为,如图所示所求的两条直线之间的夹角为
.
归纳总结:如果两条直线中有且只有一条直线的斜率不存在,另一条直线的倾斜角为,则这两条直线的夹角为.
四、课堂练习：
1.P200练习8-4 T1(1)~(3)
2.求下列直线与的夹角：
(1):=+2,:=3+7;(答案:45°) (2):=3-1,:=+４;(答案:90°)
(2):-=5,:=４; (答案:45°) (4) :5-3=9,:6+10+7=0. (答案:90°)
五、小结 ：
通过本节学习，要求大家掌握两直线的夹角公式，并能够利用它解决一定的平面几何问题
六、课后作业：
1.课本P200练习8-4 T2
2.已知直线经过点P（2,1），且和直线5＋2＋3＝0的夹角等于45°，求直线的方程.
解：设直线的斜率为，直线5x＋2y＋3＝0的斜率为.
则＝－.tan４5°＝＝1，即＝1
解得＝或＝.
所以直线的方程为：或
即：3＋7－13＝0或7－3－11＝0 .
七、板书设计（略）.
八、课后记：

课 题：8.4两条直线的夹角和交点——两条直线的交点
教学目的：
1.掌握判断两直线相交的方法;会求两直线的交点坐标;
2.认识两直线交点与二元一次方程组的关系;
3.体会判断两直线相交中的数形结合思想,认识事物间的内在联系,用辩证的观点看问题.
教学重点：判断两直线是否相交.
教学难点：两直线相交与二元一次方程组的关系.
授课类型：新授课.
课时安排：1课时.
教 具：多媒体、实物投影仪.
教学过程：
一、复习引入：
1.两直线与的夹角定义及公式:
如果
如果,.
由直线方程的概念，我们知道，直线上的一点一定与二元一次方程的一组解对应，那么，如果现在有两条直线相交于一点，那么这一点与两条直线的方程又有何关系?如果我们想要在已知两直线方程的前提下求出交点，又应如何?这一交点是否与两直线方程有着一定的关系呢?
我们这一节就将研究这个问题:
二、讲解新课：
两条直线是否相交的判断
设两条直线和的一般式方程为
：，：
如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的惟一公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线和的交点.因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：
是否有唯一解
三、讲解范例：
例1试求下列两直线的交点: ：，：.
解: 解二元一次方程组，得,所以所求两直线的交点是.
例2试求经过直线：和：的交点且与直线：平行的直线的一般式方程.
解：解方程组，得,所以两直线的交点是(0,1),
因为所求直线与平行,又直线的斜率为,所以所求直线的斜率为,由点斜式方程得所求直线方程为,即.
例3当为何值时，直线过直线与的交点?
解法一：解方程组，得交点(4，9)
将＝４，＝9代入得9＝４＋3，解得＝.
解法二：过直线与的交点的直线系方程为
.整理得：
与直线比较系数，得＝3即＝1. ∴＝ .
四、课堂练习：
1.课本P200练习8-4 T1(4)~(6) T3
2.判定下列各对直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标.
(1) ：2－＝7 ，：４＋2＝1； 答案:交点为
(2) ：2－6＋４＝0 ， ：＝； 答案:两直线重合
(3) ：（－1）＋=3 ， ：＋（＋1）＝2. 答案:平行
五、小结 ：
两直线相交的判断方法，及求解两直线交点坐标.两直线方程组成的二元一次方程组无解，则两直线平行；有无数多个解，则两直线重合
六、课后作业：
1.求满足下列条件的方程：
(1)经过两条直线2-3+10=0和3+４-2=0的交点,且垂直于直线3-2+４=0；
(2)经过两条直线2+-８=0和-2+1=0的交点,，且平行于直线４-3-7=0；
(3)经过直线=2+3和3-+2=0的交点,且垂直于第一条直线.
答案: (1) 2+3-2=0; (2)４-3-6=0; (3)+2-11=0
2.光线从点M(-2，3）射到轴上一点P(1，0)后被轴反射,求反射光线所在的直线的方程.
解：设M′是M(-2，3)关于轴的对称点,则M′的坐标为(-2，-3).又反射线所在直线就是过点M′、P的直线,所以反射线所在的直线方程为,即：--1=0.
3.直线+2+８=0，4+3=10和2-=10相交于一点,求的值.
解：解方程组将=４,=-2代入直线方程+2+８=0得=-1.
七、板书设计（略）
八、课后记：

课 题：8.5点到直线的距离
教学目的：1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式;
2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离;
3. 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.
教学重点：点到直线的距离公式.
教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.两直线平行与垂直的条件;2.两直线夹角的定义及公式;3.两条直线是否相交的判断.
二、讲解新课：
1．点到直线距离公式：
点到直线的距离为：.
（1）提出问题
在平面直角坐标系中,如果已知点P的坐标为,直线的方程是,怎样用点P的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢?
（2）解决方案
方案一：根据定义，点P到直线的距离d是点P到直线的垂线段的长.
设点P到直线的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥可知，直线PQ的斜率为（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线的距离为d
此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们探讨另一种方法.
方案二：设A≠0，B≠0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，
由得.
所以,｜PＲ｜=｜｜＝,｜PS｜＝｜｜＝
｜ＲS｜＝×｜｜由三角形面积公式可知：·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜.所以
可证明，当A＝0或B＝0时，以上公式仍适用
2．两平行线间的距离公式
已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，
则与的距离为
证明：设是直线上任一点,则点P0到直线的距离为.又 ,即,∴d＝.
三、讲解范例：
例1 试求点到直线的距离.
解：根据点到直线的距离公式得
例2 试求两平行线：与：之间的距离.
解法一：在直线上取一点P(2，0），因为∥，所以点P到的距离等于与的距离.于是
解法二：∥又.由两平行线间的距离公式得.
四、课堂练习：
1.课本P202练习8-5 T1
2.求原点到下列直线的距离：(1)3＋2－26＝0；(2) ＝. (答案: (1) ;(2)0.)
2.求下列点到直线的距离：(1)A（-2，3），3＋４＋3=0；(2)B（1，0），＋-=0.
解：(1) (2).
3.求下列两条平行线的距离：
(1)2＋3－８＝0，2＋3＋1８＝0， (2)3＋４＝10，3＋４＝0.
答案：(1) ; (2)2.
五、小结 ：
点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式.
六、课后作业：
1.课本P202习题8-5 T2,3
2.已知点A（，6）到直线的距离d取下列各值,求的值：(1)d＝４; (2)d＞４.
解：(1)＝４，解得＝2或＝
(2)＞４，解得＜2或＞
七、板书设计（略） 八、课后记：.
课 题：小结与复习
教学目的：
1．理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程;
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，掌握两条直线的夹角和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系;
3．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题.
教学重点：汇总知识点
教学难点：常规解题思路的形成
授课类型：复习汇总知识点课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.
2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为,那么就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是0°≤＜180°.
倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k表示,倾斜角是90°的直线没有斜率.
3.斜率公式：经过两点的直线的斜率公式：.
当（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角＝，没有斜率.
4.直线方程
（1）点斜式方程－经过点,且斜率为的直线的方程:.
直线的斜率时，直线方程为；当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为.
(2)斜截式方程－经过点P（0,b），且斜率为k的直线的斜纵截式方程：;经过点P（a,0），并且它的斜率为k的直线的斜横截式方程：.
(3)两点式方程－经过,B(的直线的方程可以成:,
(，).
倾斜角是或的直线不能用两点式公式表示.若要包含倾斜角为或的直线，两点式应变为的形式.
(4)截距式方程－过A(a,0), B(0,b)（a,b均不为0）的直线的方程为:.截距式中，a,b表示截距，它们可以是正，也可以是负. 当截距为零时，不能用截距式.
(5)一般式方程－(其中A、B、C是常数，A、B不全为0)的形式，叫做直线方程的一般式.
5.两直线的位置关系
(1)特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：①当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；②当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直
(2)斜率存在时两直线的平行与垂直: ①如果两条直线的方程分别为,,则=且; .
②如果两条直线的方程分别为:,:,,
则∥;.
6.直线与的夹角定义及公式:
两直线的夹角:0°≤≤90°.若;若,则.
7.两条直线是否相交的判断
两条直线是否有交点，就要看方程组：是否有唯一解.
8.点到直线距离公式
点到直线的距离为:;已知两条平行直线和的方程为:,:,则与的距离为.
二、讲解范例：
例1 直线经过点P(3,4),它的倾斜角是直线的倾斜角的两倍,求的方程.
解: 设直线的倾斜角为,则,且的倾斜角为,所以的斜率为
,故的方程为,即.
例2 求过直线与的交点,并且与原点距离为1的直线方程.
解: 由 得交点,若所求直线的斜率不存在,其直线为,它与原点的距离为1,满足题意;若所求直线的斜率为k,则其直线方程为,
所以, ,解得,则其直线方程为,即.
四、小结 ：知识点汇总和常规解题思路.
五、课后作业：P205复习题8
六、板书设计（略） 七、课后记：
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