高考中三次函数图象的切线问题.doc

高考中三次函数图象的切线问题
三次函数的切线蕴含着许多美妙的性质，用导数方法探求切线的性质，为分析问题和解决问题提供了新的视角、新的方法，不仅方便实用，而且三次函数的切线性质变得十分明朗.纵览近几年高考数学试题，三次函数的切线问题频频出现，本文给出三次函数切线的三个基本问题.
一、已知斜率为与三次函数图象相切的切线
三次函数
1、,斜率时，有且只有一条切线；
时，有两条不同的切线；
时，没有切线；
2、,斜率时，有且只有一条切线；
时，有两条不同的切线；
时，没有切线；
证明
1、 当时，
当 时，方程有两个相同解，
所以斜率为的切线有且只有一条；其方程为：

当时，方程，有两个不同的解，且=-，即存在两个不同的切点，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。所以斜率为的切线有两条。
当时，方程无实根，所以斜率为的切线不存在。
2、时，读者自己证明。

二、过三次函数图象上一点的切线
设点P为三次函数图象上任一点，则过点P一定有直线与的图象相切。若点P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点P有两条不同的切线。
证明 设 过点P的切线可以分为两类。
1 P为切点
切线方程为：
2 P不是切点，过P点作图象的切线，切于另一点Q（）

又 （1）

即 代入（1）式
得
讨论：当时，
，也就是说，
当时，两切线重合，所以过点P有且只有一条切线。
当时，，所以过点P有两条不同的切线。
其切线方程为：

由上可得下面结论：
过三次函数上异于对称中心的任一点作图象的切线，切于另一点，过作图象的切线切于，如此继续，得到点列--------，则，且当时，点趋近三次函数图象的对称中心。
证明 设过与图象切于点的切线为，
又
=
即
设 则
数列是公比为的等比数列， 即 。
三、过三次函数图象外一点的切线
设点为三次函数图象外
一点， 则过点一定有直线与图象相切。
（1） 若则过点恰有一条切线；
（2） 若且，则过点恰有一条切线；
（3） 若且=0，则过点有两条不同的切线；
（4）若且，则过点有三条不同的切线。
其中
证明 设过点作直线与图象相切于点
则切线方程为
把点代入得：
，
设

令则
因为恰有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数或两极值同号，所以或且时，过点恰有一条切线。
有两个不同实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以且=0时，过点有两条不同的切线。
有三个不同实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号。所以且时，过点有三条不同的切线。
4