向量在代数解体题中的一点体会.doc

向量在代数解题中的应用
宜昌市十三中 马小平 刘姣蓉
教材中《平面向量》、《空间向量》的知识在几何中的应用相当广泛。说起向量，学生就不由自主的想到其在立几中的应用，其实向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，这就使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介，利用向量这一工具可巧妙而简捷地处理多种题型。向量法解题,可激发学生学习兴趣,拓宽学生的思维,培养学生的创新意识和能力。下面就介绍这方面的应用。
一、在代数求值中的应用
例1 设a，b，c，x，y，z均为实数，且 ， ，，求的值。
解：由题设条件，设=(6a,6b),,由得：
，即，
变形整理得：。同理,。
所以=
二、在解方程中的应用
例2． 解方程
解：设
由于，
，
得
即有 ①
代入原方程有，
将代入方程组①可求得原方程的唯一一个根为：x=1
三、在证明恒等式中的应用
例3 已知a、b，且，求证：。
分析：题设与结论都与1有关，由题设联想到向量
证明：构造向量，
因为，所以
又由条件知，，
所以，即 ,
所以
四、在证明不等式中的应用
例4. 已知a，b，c，且，求证。
解：构造向量
所以,
由向量不等式得:6=
即
五、在函数最值中的应用
例5. 求函数的最大值。
解：构造向量
由得
当且仅当，即时，
例6． 求函数的最大值。
解：令，
则
故
当且仅当与同方向，即时取等号，解得x=。
所以当时，取得最大值12。
例7. 求函数的最小值。
解：构造向量
由得：
当且仅当a与b同向平行时等式成立
所以（此时）
六、在三角中的应用
例8. 求函数的最值。
解：原式可化为:,
令
构造向量
则
即
所以

七、在数列中的应用
例9． 给定正整数n和正数M，对于满足条件的所有等差数列，试求的最大值。
解：由题意知
=
=
令，
则 ，
因为，所以，
所以 。
当且仅当同向，且时，等号成立。
由， 解得
故当时，S取得最大值。