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高三数学恒成立问题的一般解法

高三数学复习中的恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。
一、 一次函数型：
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于
ⅰ）或ⅱ）亦可合并定成
同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有
n
m
o
x
y
n
m
o
x
y

例1、 对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。
略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：
即解得：
∴x<-1或x>3.
二、 二次函数型
若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有
若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
例2、 设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。
分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+)时恒大于0的问题。
解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.
ⅰ)当=4（a-1)(a+2)<0时，即-2<a<1时，对一切x[-1,+)，F(x) 0恒成立；
ⅱ）当=4（a-1)(a+2) 0时由图可得以下充要条件：
-1
o
x
y
即
得-3a-2;
综合可得a的取值范围为[-3，1]。
例3、 关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范围。
分析：题目中出现了3x及9x，故可通过换元转化成二次函数型求解。
解法1（利用韦达定理）：
设3x=t,则t>0.则原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。
即
解得a-8.
解法2（利用根与系数的分布知识）：
即要求t2+(4+a)t=0有正根。设f(x)= t2+(4+a)t+4.
10.=0,即（4+a）2-16=0,∴a=0或a=-8.
a=0时，f(x)=(t+2)2=0,得t=-2<0，不合题意；
a=-8时，f(x)=(t-2)2=0,得t=2>0,符合题意。∴a=-8.
4
o
x
y
20. >0,即a<-8或a>0时，
∵f(0)=4>0,故只需对称轴，即a<-4.
∴a<-8
综合可得a-8.
三、 变量分离型
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
例4、 已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围。
分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。
解：原不等式即：4sinx+cos2x<-a+5
要使上式恒成立，只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。
f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33,
∴-a+5>3即>a+2
上式等价于或
解得a<8.
注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。
另解：a+cos2x<5-4sinx+即
a+1-2sin2x<5-4sinx+,令sinx=t,则t[-1,1],
整理得2t2-4t+4-a+>0,( t[-1,1])恒成立。
设f(t)= 2t2-4t+4-a+则二次函数的对称轴为t=1,
f(x)在[-1，1]内单调递减。
只需f(1)>0,即>a-2.(下同)
四、 根据函数的奇偶性、周期性等性质
若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)
(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。
例5、 若f(x)=sin(x+)+cos(x-)为偶函数，求的值。
分析：告诉我们偶函数的条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题。
解：由题得：f(-x)=f(x)对一切xR恒成立，
sin(-x+)+cos(-x-)=sin(x+)+cos(x-)
即sin(x+)+sin(x-)=cos(x+)-cos(x-)
2sinx·cos=-2sinx·sinsinx(sin+cos)=0
对一切xR恒成立，只需也必须sin+cos=0。
=k.（kZ)
五、 直接根据图象判断
若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
例6、当x(1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范围。
x
y
o
1
2
y1=(x-1)2
y2=logax
分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。
解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x(1,2),y1<y2恒成立，显然a>1,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。
故loga2>1,a>1,1<a2.

例7、已知关于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a的取值范围。
分析：方程可转化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x2+20x=8x-6a-3>0,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+20x及一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。
x
y
l1
l2
l
-20
o
解：令y1= x2+20x=（x+10）2-100,y2=8x-6a-3,则如图所示，y1的图象为一个定抛物线，y2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使y1和y2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)
当直线为l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=;
当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=∴a的范围为[，）。
主要参考文献：
1、《高三数学教学与测试》 苏州大学出版社；
2、《中学教研》浙江师范大学 2000年第四期。

浙江省诸暨市草塔中学 何 勇 邮编：311812
电话：[phone] 13626862913 E-mail:hyowl@
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