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不等式

●考点阐释
不等式是中学数学的重点内容，是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具，因而也是数学高考的考查重点，在历年的高考数学试题中有相当的比重，这些试题不仅考查有关不等式的基本知识、基本技能、基本方法，而且注重考查逻辑思维能力、运算能力，以及分析问题和解决问题的能力.
不等式的性质在解不等式、证不等式中的应用、证明不等式既是重点又是难点，要求掌握证明不等式的基本方法：作差比较法、综合法、分析法，重点掌握作差比较法.熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式的解法，在此基础上掌握简单的无理不等式、指数不等式、对数不等式的解法.
●试题类编
2.（2002京皖春，1）不等式组的解集是
解析：原不等式等价于： 0＜x＜1

5.（2001京春）若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是
解析：3a+3b≥2=6，当且仅当a=b=1时取等号.
故3a+3b的最小值是6.
评述：本题考查不等式的平均值定理，要注意判断等号成立的条件
11．（1997全国，14）不等式组的解集是
当x≥2时，原不等式化为，
去分母得（x+2）（3－x）＞（x+3）（x－2），
即－x2＋x＋6＞x2＋x－6，2x2－12＜0，．
注意x≥2，得2≤x＜；
当0＜x＜2时，原不等式化为，去分母得－x2＋x＋6＞－x2－x＋6
即2x＞0 注意0＜x＜2，得0＜x＜2．
综上得0＜x＜，
评述：此题考查不等式的解法、直觉思维能力、估算能力.

14.（1999全国，17）若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是 .
解析一：令=t（t>0）
由ab=a+b+3≥2+3，得t2≥2t+3，
解得t≥3，即≥3.故ab≥9.
解析二：由已知得ab－b=a+3，b（a－1）=a+3，∴b=（a>1）
∴ab=a=［（a－1）+1］=a+3+=a－1+4+=a－1++
5≥2+5=9.
当且仅当a－1=时取等号.即a=b=3时ab的最小值为9.所以ab的取值范围是
（9，+∞）.
评述：本题考查基本不等式的应用及不等式的解法及运算能力.解法一重在思考a+b与ab的关系联想均值不等式.而解法二是建立在函数的思想上，求函数的值域.

15.（1995全国理，16）不等式（）＞3－2x的解集是_____.
答案：｛x|－2＜x＜4｝
解析：将不等式变形得
则－x2＋8＞－2x，从而x2－2x－8＜0，（x＋2）（x－4）＜0，－2＜x＜4，所以不等式的解集是｛x|－2＜x＜4｝．
评述：此题考查指数不等式的解法.

16.（1995上海，9）不等式＞1的解是 .
答案：x＜－3或x＞4
解析：变形得＞0，即＞0，所以x＜－3或x＞4．
图2
17.已知则的最小值是 .
解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。的最小值是为5。
点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。
18，在约束条件下，当时，目标函数C
的最大值的变化范围是,

解析：画出可行域如图3所示,当时, 目标函数在处取得最大值, 即;当时, 目标函数在点处取得最大值,即,故
25.（2000全国文20，理19）设函数f（x）＝－ax，其中a＞0．
（1）解不等式f（x）≤1；
（2）求a的取值范围，使函数f（x）在区间［0，＋∞）上是单调函数.
（1）解法一：不等式f（x）≤1，即≤1＋ax，
由此得1≤1＋ax，即ax≥0，其中常数a＞0.
所以，原不等式等价于
即
所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为｛x|0≤x≤｝；
当a≥1时，所给不等式的解集为｛x|x≥0｝.
解法二：利用数形结合．
f（x）≤1即≤1＋ax
图6—2
设＝y，∴y2－x2＝1（y＞0）
设y＝ax＋1
∴所研究的问题为直线l：y＝ax＋1位于双曲线C：y2－x2＝1上半支上方时x的范围，如图6—2所示：
①当0＜a＜1时，直线l与双曲线C有两个交点，其对应横坐标分别为：x＝0，x＝∴0≤x≤
②当a≥1时，直线l与双曲线C只有（0，1）一个交点，
∴只要x≥0，原不等式就成立．
综合①，②，所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为｛x|0≤x≤｝；当a≥1时，所给不等式的解集为｛x|x≥0｝
（2）在区间［0，＋∞上任取x1，x2，使得x1＜x2．

①当a≥1时，
∵
∴－a＜0，
又x1－x2＜0，
∴f（x1）－f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2）.
所以，当a≥1时，函数f（x）在区间［0，＋∞）上是单调递减函数.
②当0＜a＜1时，在区间［0，＋∞）上存在两点x1＝0，x2＝，满足f（x1）＝1，f（x2）＝1，即f（x1）＝f（x2），所以函数f（x）在区间［0，＋∞）上不是单调函数.
综上，当且仅当a≥1时，函数f（x）在区间［0，＋∞）上是单调函数.
评述：本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力.
图6—1
※28．（1998全国文24、理22）如图6—1，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）?
.解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k＞0为比例系数，依题意，即所求的a、b值使y值最小.
根据题设，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0）
得b=（0＜a＜30 ①
于是

当a+2=时取等号，y达到最小值.
这时a=6，a=－10（舍去） 将a=6代入①式得b=3
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
解法二：依题意，即所求的a、b值使ab最大.
由题设知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0）
即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0）
∵a+2b≥2 ∴2＋ab≤30
当且仅当a=2b时，上式取等号.
由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18
即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18.
∴2b2＝18．解得b=3，a=6.
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
评述：本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查利用均值不等式求最值的方法、阅读理解能力、建模能力.
※
30.（1997全国理，24）设二次函数f（x）＝ax2＋bx+c（a＞0），方程f（x）－x＝0的两根x1、x2满足0＜x1＜x2＜．
（Ⅰ）当x∈（0，x1）时，证明：x＜f（x）＜x1；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明：x0＜．
.证明：（1）令F（x）=f（x）－x，由x1、x2是方程f（x）－x=0的两根，有F（x）=a（x－x1）（x－x2）
当x∈（0，x1）时，由x1≤x2，及a＞0，有F（x）=a（x－x1）（x－x2）＞0，
即F（x）=f（x）－x＞0，f（x）＞x．
又x1－f（x）=x1－［x＋F（x）］＝x1－x－a（x－x1）（x－x2）＝（x1－x）［1＋a（x－x2）］
因为0＜x＜x1＜x2＜
所以x1－x＞0，1＋a（x－x2）＝1＋ax－ax2＞1－ax2＞0
得x1＞f（x），所以x＜f（x）＜x1.
（2）依题意x0＝－，因x1、x2是f（x）－x=0的根，即x1、x2是方程
ax2＋（b－1）x+c=0的根
所以x1＋x2＝，

因为ax2＜1，即ax2－1＜0，故x0＝．
评述：此题考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，考查证明不等式的方法.
33．（1996全国理，25）已知a、b、c是实数，函数f（x）=ax2＋bx＋c，g（x）=ax+b，当－1≤x≤1时，|f（x）|≤1．
（Ⅰ）证明：|c|≤1；
（Ⅱ）证明：当－1≤x≤1时，|g（x）|≤2；
（Ⅲ）设a＞0，当－1≤x≤1时，g（x）的最大值为2，求f（x）.
（Ⅰ）证明：由条件当－1≤x≤1时，|f（x）|≤1，取x=0，得|c|＝|f（0）|≤1，即|c|≤1．
（Ⅱ）证明：当a＞0时，g（x）=ax+b在［－1，1］上是增函数，
所以g（－1）≤g（x）≤g（1），
因为|f（x）|≤1 （－1≤x≤1），|c|≤1，
所以g（1）=a+b=f（1）－c 3 ≤|f（1）|＋|c|≤2，
g（－1）＝－a+b=－f（－1）+c≥－（|f（－1）|＋|c|）≥－2，
由此得|g（x）|≤2；
当a＜0时，g（x）=ax+b在［－1，1］上是减函数，所以g（－1）≥g（x）≥g（1），
因为|f（x）|≤1 （－1≤x≤1），|c|≤1，
所以g（－1）=－a+b=－f（－1）+c≤|f（－1）|＋|c|≤2，
g（1）=a+b=f（1）－c≥－（|f（1）|＋|c|）≥－2，
由此得|g（x）|≤2；
当a=0时，g（x）=b，f（x）=bx+c，因为－1≤x≤1，
所以|g（x）|=|f（1）－c|≤|f（1）|+|c|≤2；
综上，得|g（x）|≤2；
（Ⅲ）解：因为a＞0，g（x）在［－1，1］上是增函数，当x=1时取得最大值2，即
g（1）=a+b=f（1）－f（0）=2，因为－1≤f（0）＝f（1）－2≤1－2≤－1，所以c=f（0）=－1.
因为当－1≤x≤1时，f（x）≥－1，即f（x）≥f（0），据二次函数性质，直线x=0为二次函数f（x）的图象的对称轴，故有＝0，即b=0，a=2，所以f（x）=2x2－1．
评述：本题考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力，考查特殊化思想、数形结合思想.
34.（1994全国文，22）已知函数f（x）=logax（a>0，且a≠1），x∈［0，+∞）.若x1，x2∈［0，+∞），判断［f（x1）+f（x2）］与f（）的大小，并加以证明.
.解：f（x1）+f（x2）=logax1+logax2=logax1·x2
∵x1>0，x2>0，∴x1·x2≤（）2（当且仅当x1=x2时取“=”号）
当a>1时，loga（x1·x2）≤loga（）2，∴logax1x2≤loga
即［f（x1）+f（x2）］≤f（）（当且仅当x1=x2时取“=”号）
当0<a<1时，loga（x1x2）≥loga（）2，∴logax1x2≥loga
即［f（x1）+f（x2）］≥f（）（当且仅当x1=x2时取“=”号）
评述：本题考查对数函数的性质、平均值不等式知识及推理论证的能力.