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第一课时 数 列（一）
教学目标：
理解数列的概念、表示、分类、通项等基本概念，了解数列和函数之间的关系，了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.
教学重点：
1.理解数列概念；
2.用通项公式写出数列的任意一项.
教学难点：
根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义.
如果A、B都是非空的数集，那么A到B的映射f︰A→B就叫做A到B的函数，记作：y＝f(x)，其中x∈A，y∈B.
Ⅱ.讲授新课
在学习第二章函数知识的基础上，今天我们一起来学习第三章数列有关知识，首先我们来看一些例子.
1，2，3，4，…，50 ①
1，2，22，23，…，263 ②
15，5，16，16，28 ③
0，10，20，30，…，1000 ④
1，0.84，0.842，0.843，… ⑤
请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？
它们均是一列数，它们是有一定次序的.
引出数列及有关定义.
1.定义
（1）数列：按照一定次序排成的一列数.
看来上述例子就为我们所学数列.那么一些数为何将其按照一定的次序排列，它有何实际意义呢？也就是说和我们生活有何关系呢？
如数列①，它就是我们班学生的学号由小到大排成的一列数.
数列②，是引言问题中各个格子里的麦粒数按放置的先后排成的一列数.
数列③，好像是我国体育健儿在五次奥运会中所获金牌数排成的一列数.
数列④，可看作是在1 km长的路段上，从起点开始，每隔10 m种植一棵树，由近及远各棵树与起点的距离排成的一列数.
数列⑤，我们在化学课上学过一种放射性物质，它不断地变化为其他物质，每经过1年，它就只剩留原来的84%，若设这种物质最初的质量为1，则这种物质各年开始时的剩留量排成一列数，则为：1，0.84，0.842，0.843，….
诸如此类，还有很多，举不胜举，我们学习它，掌握它，也是为了使我们的生活更美好，下面我们进一步讨论，好吗？
现在，就上述例子，我们来看一下数列的基本知识.
比如，数列中的每一个数，我们以后把其称为数列的项，各项依次叫做数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….
那么，数列一般可表示为a1，a2，a3，…，an，….其中数列的第n项用an来表示.
数列还可简记作{an}.
数列{an}的第n项an与项数n有一定的关系吗？
数列①中，每一项的序号与这一项有这样的对应关系：
序号
1
2
3
…
50

↓
↓
↓
…
↓
项
1
2
3
…
50
即数列的每一项就等于其相对应的序号.也可以用一式子：an=n(1≤n≤50)来表示.且n∈N*)
数列②中，每一项的序号与这一项的对应关系为：
序号
1
2
3
…
64

↓
↓
↓
…
↓
项
1
2
22
…
263

↓
↓
↓
…
↓

2°
21
22
…
263

↓
↓
↓
…
↓

21－1
22－1
23－1
…
264－1
即：an＝2n－1(n为正整数，且1≤n≤64)
数列④中：
序号
1
2
3
…
101

↓
↓
↓
…
↓
项
0
10
20
…
1000

↓
↓
↓
…
↓

10×0
10×1
10×2
…
10×100

↓
↓
↓
…
↓

10×(1－1)
10×(2－1)
10×(3－1)
…
10×(101－1)
∴an＝10(n－1)(n∈N*且1≤n≤101).
数列⑤中：
序号
1
2
3
4
…

↓
↓
↓
↓
…
项
1
0.84
0.842
0.843
…

↓
↓
↓
↓
…

0.840
0.841
0.842
0.843
…
∴an＝0.84n－1(n≥1且n∈N*)
数列{an}的第n项an与n之间的关系都可以用这样的式子来表示吗？
不是，如数列③的项与序号的关系就不可用这样的式子来表示.
综上所述，如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
即：只要依次用1，2，3，…代替公式中的n,就可以求出该数列相应的各项.
下面，我们来练习找通项公式.
1，，，，…. ①
1，0.1，0.01，0.001，…. ②
－1，1，－1，1，…. ③
2，2，2，2，2，2. ④
1，3，5，7，9，…. ⑤
得出数列①的通项公式为：an＝且n∈N*.
数列②可用通项公式：an＝，(n∈N*，n≥1)来表示.
数列③的通项公式为：an＝(－1)n(n∈N*)或an＝
数列④的通项公式为：an＝2(n∈N*且1≤n≤6)
数列⑤的通项公式为：an＝2n－1(n∈N*).
数列与数集的区别和联系.
在数列的定义中，要强调数列中的数是按一定次序排列的；而数集中的元素没有次序.
例如，数列4，5，6，7，8，9与数列9，8，7，6，5，4是不同的两个数列.如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列.而数集中的元素若相同，则为同一集合，与元素的次序无关.
数列中的数是可以重复出现的，而数集中的数是不允许重复出现的.如上数列③与④，均有重复出现的数.
数列与数的集合都是具有某种共同属性的数的全体.
{an}与an又有何区别和联系？
{an}表示数列；an表示数列的项.具体地说，{an}表示数列a1，a2，a3，a4，…，an，…，而an只表示这个数列的第n项.其中n表示项的位置序号，如：a1，a2，a3，an分别表示数列的第1项，第2项，第3项及第n项.
数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？
从映射、函数的观点来看，数列也可看作是一个定义域为正整数集N*(或它们的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象.看来，数列也可以根据其通项公式画出其对应图象，下面请同学们练习画数列①、⑤的图象.
根据所求通项公式画出数列⑤、①的图象，并总结其特点：

特点：它们都是一群弧立的点.
（5）有穷数列：项数有限的数列.如数列④只有6项，是有穷数列.
（6）无穷数列：项数无限的数列.如数列①、②、③、⑤都是无穷数列.
2.例题讲解
［例1］根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项：
(1)an＝； (2)an＝(－1)n·n
分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.
解：(1)在an＝中依次取n＝1，2，3，4，5，得到数列{ }的前5项分别为：，，，，.即：a1＝；a2＝；a3＝；a4＝；a5＝.
(2)在an＝(－1)n·n中依次取n＝1，2，3，4，5，得到数列{－1n·n}的前5项分别为：－1，2，－3，4，－5.
即：a1＝－1；a2＝2；a3＝－3；a4＝4；a5＝－5.
［例2］写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，3，5，7； (2) ，，，
(3)－，，－，.
分析：认真观察各数列所给出项，寻求各项与其项数的关系，归纳其规律，抽象出其通项公式.
解：(1)
序号：
1
2
3
4

↓
↓
↓
↓
项：
1＝2×1－1
3＝2×2－1
5＝2×3－1
7＝2×4－1
规律：这个数列的前4项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以它的一个通项公式是an＝2n－1；
(2)
序号：
1
2
3
4

↓
↓
↓
↓
项分母：
2＝1＋1
3＝2＋1
4＝3＋1
5＝4＋1

↓
↓
↓
↓
项分子：
22－1
32－1
42－1
52－1
规律：这个数列的前4项，，，的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去，所以它的一个通项公式是：an＝；
（3）
序号：
1
2
3
4

↓
↓
↓
↓
项：
－

－

‖
‖
‖
‖

（－1）1
（－1）2
（－1）3
（－1）4
规律：这个数列的前4项－，，－，的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是：an＝(－1)n·.
Ⅲ.课堂练习
课本P32练习1，2，3，4，5，6
Ⅳ.课时小结
对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的一些项求一些简单数列的通项公式.
Ⅴ.课后作业
课本P32习题 1，2，3

数 列（一）
1．把自然数的前五个数①排成1，2，3，4，5；②排成5，4，3，2，1；③排成3，1，4，2，5；④排成2，3，1，4，5，那么可以叫做数列的有 个
A.1 B.2 C.3 D.4
2．已知数列的{an}的前四项分别为1，0，1，0，则下列各式可作为数列{an}的通项公式的个数有 （ ）
①an＝ [1＋（－1）n+1]；
②an＝sin2；(注n为奇数时，sin2＝1；n为偶数时，sin2＝0.)；
③an＝ [1＋(－1)n+1]＋(n－1)(n－2)；
④an＝，(n∈N*)(注：n为奇数时，cosnπ＝－1，n为偶数时，cosnπ＝1)；
⑤an＝
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3．数列－1，，－，，…的一个通项公式an是 （ ）
A.(－1)n B.(－1)n
C.(－1)n D.(－1)n
4．数列0，2，0，2，0，2，……的一个通项公式为 （ ）
A.an＝1＋(－1)n－1 B.an＝1＋(－1)n
C.an＝1＋(－1)n+1 D.an＝2sin
5．以下四个数中是数列{n(n＋1)}中的一项的是 （ ）
A.17 B.32 C.39 D.380
6．数列2，5，11，20，x，47，……中的x等于 （ ）
A.28 B.32 C.33 D.27
7．数列1，2，1，2，1，2的一个通项公式是 .
8．求数列，，，…的通项公式.

数 列（一）答案
1．分析：按照数列定义得出答案.
评述：数列的定义中所说的“一定次序”不是要求按自然数次序，所以①②③④这四种排法都可叫做数列. 答案：D
2．分析：要判别某一公式不是数列的通项公式，只要把适当的n代入an，其不满足即可，如果要确定它是通项公式，必须加以一定的说明.
解：对于③，将n＝3代入，a3＝3≠1，故③不是{an}的通项公式；由三角公式知；②和④实质上是一样的，不难验证，它们是已知数列1，0，1，0的通项公式；对于⑤，易看出，它不是数列{an}的通项公式；①显然是数列{an}的通项公式.
综上可知，数列{an}的通项公式有三个，即有三种表示形式. 答案：C
3．D 4．B 5．D
6．解析：∵5＝2＋3×1，11＝5＋3×2，20＝11＋3×3，
∴x＝20＋3×4＝32. 答案：B
评述：用观察归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律、观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，要能观察出特点，观察出项与项数之间的关系、规律，这类问题就是要观察各项与项数之间的联系，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列、自然数的前n项和数列、自然数的平方数列、简单的指数数列，…），建立合理的联想、转换而达到问题的解决.
7．an＝1＋[1＋（－1）n].
8．求数列，，，…的通项公式.
分析：可通过观察、分析直接写出其通项公式，也可利用待定系数法求通项公式.
解：通过观察与分析，不难写出其三个分数中分母5，15，35，…的一个通项公式
10·2n－1－5.
故所求数列的通项公式为：an＝.

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