1、第二节一元二次不等式及其解法1/27总纲目录教材研读1.“三个二次”关系考点突破2.(x-a)(x-b)0和(x-a)(x-b)0和和(x-a)(x-b)0型不等式解集型不等式解集口诀:大于取两边、小于取中间.5/271.函数f(x)=定义域为()A.0,3B.(0,3)C.(-,03,+)D.(-,0)(3,+)A答案答案A要使函数f(x)=有意义,则3x-x20,即x2-3x0,解得0 x3.6/272.不等式0解集为()A.x|x1或x3B.x|1x3C.x|1x3D.x|1x3答案答案C由0,得解得1x3.C7/273.若集合A=x|ax2-ax+10=,则实数a取值集合是()A.a|
2、0a4B.a|0a4C.a|00且=a2-4a0,得00解集为(-4,1).(用区间表示)答案答案(-4,1)解析解析不等式-x2-3x+40等价于x2+3x-40,解得-4x0解集为,则a+b=-14.答案答案-14解析解析由题意知x1=-,x2=是方程ax2+bx+2=0两个根,则解得(经检验满足题意).a+b=-14.10/27考点一一元二次不等式解法考点一一元二次不等式解法考点突破考点突破典例典例1解以下不等式:(1)19x-3x26;(2)8x-116x2;(3)0 x2-x-24;(4)ax2-(a+1)x+10.11/27解析解析(1)解法一:原不等式可化为3x2-19x+60,
3、函数y=3x2-19x+6图象开口向上且与x轴有两个交点和(6,0),所以原不等式解集为.解法二:原不等式可化为3x2-19x+60,即(3x-1)(x-6)0,所以(x-6)0,所以原不等式解集为.12/27(2)8x-116x216x2-8x+10(4x-1)20,对于任意xR,原不等式都成立,原不等式解集为R.(3)原不等式等价于利用数轴(如图)可知,原不等式解集为x|-2x-1或2x3.(4)原不等式可变形为(ax-1)(x-1)1;当a0时,原不等式可变形为a(x-1)0.13/27若a0,x1.若a0,则(x-1)1时,原不等式解集为;当a=1时,原不等式解集为;当0a1时,原不等
4、式解集为.综上,当a1;当0a1时,原不等式解集为.15/27规律总结规律总结1.解一元二次不等式普通方法和步骤(1)化:把不等式变形为二次项系数大于零标准形式.(2)判:计算对应方程判别式,依据判别式判断方程有没有实根(无实根时,不等式解集为R或).(3)求:求出对应一元二次方程实根.(4)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式解集.16/272.解含参数一元二次不等式时分类讨论方法(1)当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正形式.(2)当不等式对应一元二次方程根个数不确定时,讨论判别式与0关系.(3)确定无
5、根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根大小关系,从而确定解集形式.17/271-1解以下不等式:(1)-4x2+12x-90,变形得(2x-3)20,即0,x,即不等式解集为.(2)将原不等式移项通分得0,等价于所以原不等式解集为.19/27典例典例2已知不等式mx2-2x-m+10或或f(x)0(xR)恒成立恒成立,求参数范围求参数范围20/27解析解析不存在.理由以下:设f(x)=mx2-2x-m+1.不等式mx2-2x-m+10恒成立,即函数f(x)=mx2-2x-m+1图象全部在x轴下方.当m=0时,f(x)=1-2x,令1-2x,不满足题意;当m0时,函数f(x)=mx2
6、-2x-m+1为二次函数,需满足图象开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解,即此方程组无解.综上,不存在满足题意m.21/27典例典例3已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)0或或f(x)0(xa,b)恒成立恒成立,求参数范围求参数范围22/27答案答案解析解析要满足f(x)=x2+mx-10对于任意xm,m+1恒成立,只需即解得-m0或或f(x)0(参数参数ma,b)恒成立恒成立,求求x范围范围24/27解析解析f(x)=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4,令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.由题意知在-1,1上,g(m)值恒
7、大于零,解得x3.故当x3时,对任意m-1,1,函数f(x)值恒大于零.25/27方法技巧方法技巧一元二次不等式恒成立问题求解思绪(1)形如f(x)0或f(x)0或f(x)0或f(x)0(参数ma,b)不等式确定x范围时,要注意变换主元,普通地,知道谁范围,就选谁当主元,求谁范围,谁就是参数.26/272-1不等式x2-2x+5a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a取值范围为()A.-1,4B.(-,-25,+)C.(-,-14,+)D.-2,5答案答案Ax2-2x+5=(x-1)2+4最小值为4,所以要使x2-2x+5a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a4,解得-1a4.A27/27
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