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第八章第八章多元函数微积分多元函数微积分 1 前面几章讨论的函数都只有一个自前面几章讨论的函数都只有一个自变量变量,称称一元函数一元函数.但在实际问题中但在实际问题中,往往往牵涉到多方面的因素往牵涉到多方面的因素,反映到数学上反映到数学上,就是一个变量依赖于多个变量的情形就是一个变量依赖于多个变量的情形,这就提出了这就提出了多元函数多元函数以及多元函数微以及多元函数微积分问题积分问题.本章将在一元微积分的基础本章将在一元微积分的基础上上,讨论多元函数的微分法和积分法讨论多元函数的微分法和积分法.主要讨论主要讨论二元二元的情况的情况.2第一节第一节 空间解析几空间解析几何基础知识何基础知识3一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系1、坐标系的建立、坐标系的建立在空间中取定一点在空间中取定一点O，定点定点横轴横轴纵轴纵轴过过O点作三条相互垂直点作三条相互垂直的数轴的数轴Ox,Oy,Oz,各轴上再规定一个共同的长度单位，这就构成各轴上再规定一个共同的长度单位，这就构成了一个空间直角坐标系。了一个空间直角坐标系。称称O为为坐标原点坐标原点，竖轴竖轴称数轴称数轴Ox,Oy,Oz为坐标轴为坐标轴，坐标轴确定的平面为坐标轴确定的平面为坐标平面坐标平面，简称，简称xy,yz,xz 平面平面.称由两称由两4一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系1、坐标系的建立、坐标系的建立定点定点横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴空间直角坐标系空间直角坐标系三个坐标轴的正方三个坐标轴的正方向符合向符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住 z 轴，轴，当右手的四个手指当右手的四个手指度转向度转向 y 轴正向时，轴正向时，大拇指的指向就是大拇指的指向就是 z 轴的正向轴的正向.从从 x 轴正向以轴正向以 角角5面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限6空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点一个分量为零一个分量为零:点在坐标面上点在坐标面上.两个分量为零两个分量为零:点在坐标轴上点在坐标轴上.72、简单的几何问题、简单的几何问题1 1 两点间的距离两点间的距离POxyzRQR1R2P2P1Q1Q2M2M1N为空间两点为空间两点,两点间的距离公式两点间的距离公式：8 在在 z 轴上求与两点轴上求与两点 A(4,1,7)和和B(3,5,2)等等距离的点距离的点.设该点为设该点为M(0,0,z),由题设由题设|MA|=|MB|,即即解得解得即所求点为即所求点为例例1 1解解9 M0 M R根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2 2 球面方程球面方程10例例2 2解解即即因此，球心为因此，球心为(1,-,-2,3)，半径为，半径为R=4.11F(x,y,z)=0 Sxyzo定义定义:若曲面若曲面S与三元方程与三元方程F(x,y,z)=0 有如下关系有如下关系:(1)S上任一点的坐标都满足上任一点的坐标都满足方程方程F(x,y,z)=0;(2)坐标满足方程坐标满足方程F(x,y,z)=0的的点点都在都在S上上;那末那末,方程方程F(x,y,z)=0叫做叫做曲面曲面S的方程的方程,而曲面而曲面S叫做方程叫做方程F(x,y,z)=0的的图形图形 .二、二、曲面及其方程曲面及其方程12例例3 3解解根据题意有根据题意有化简得所求方程化简得所求方程13三、常见的空间三、常见的空间曲面曲面1 1 平面平面平面的平面的一般方程一般方程:其中其中 A,B,C 不全为零不全为零.例如：例如：(0,1,0)14三、常见的空间三、常见的空间曲面曲面1 1 平面平面平面的平面的一般方程一般方程:其中其中 A,B,C 不全为零不全为零.例如：例如：oy(2,0,0)xz(0,2,0)(0,0,2)15定义定义观察柱面的形成过观察柱面的形成过程程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线移动的直线 L 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面.这条定曲线这条定曲线 C 叫柱叫柱面的面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线.2 2 柱面柱面播放播放16xyzo例如例如:考虑方程考虑方程 x2+y2=R2 所表示的曲面所表示的曲面.在在xoy面面上上,x2+y2=R2 表表示示以原点以原点O为圆心为圆心,半径为半径为R的圆的圆.曲曲面面可可以以看看作作是是由由平平行行于于 z 轴轴的的直直线线L沿沿xoy面面上上的的圆圆 x2+y2=R2 移移动动而而形形成成,称该曲面为称该曲面为圆柱面圆柱面.ol17画出下列柱面的图形画出下列柱面的图形:抛物柱面抛物柱面平面平面18方程方程F(x,y)=0 表示表示:母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面,准线为准线为xoy 面上的曲线面上的曲线类似类似:方程方程F(x,z)=0 表示表示:母线平行于母线平行于 y 轴的柱面轴的柱面,准准线为线为xoz面上的曲线面上的曲线 C:F(x,z)=0,y=0.方程方程F(y,z)=0 表示表示:母线平行于母线平行于 x 轴的柱面轴的柱面,准线为准线为yoz面上的曲面上的曲线线 C:F(y,z)=0,x=0.19例例4 4 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？何中分别表示什么图形？解解斜率为斜率为1的直线的直线平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中方程方程203 3 二次曲面二次曲面三元二次方程三元二次方程所表示的曲面称为所表示的曲面称为二次曲面二次曲面，二次曲面方程经过配方和适当选取空间直角坐二次曲面方程经过配方和适当选取空间直角坐标系后，可以化成如下几种标准形式标系后，可以化成如下几种标准形式.21zxyO用坐标面用坐标面z=0,x=0和和y=0去截割去截割,分别分别得椭圆得椭圆(1)椭球面椭球面22椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面球面球面球面方程可写为球面方程可写为23(2)单叶双曲面单叶双曲面 xyoz(3)双叶双曲面双叶双曲面xyo24(4)椭圆锥椭圆锥面面特殊情况：特殊情况：-圆锥面圆锥面.25(3)椭圆锥椭圆锥面面特殊情况：特殊情况：-圆锥面圆锥面.若方程为若方程为则图形如右图则图形如右图26xyzozxyo(5)椭圆抛物面椭圆抛物面27xyzo(5)椭圆抛物面椭圆抛物面特殊情况：特殊情况：-旋转抛物面旋转抛物面.28(6)双曲抛物面双曲抛物面(马鞍面马鞍面)xyzo29xzyo(6)双曲抛物面双曲抛物面(马鞍面马鞍面)30椭圆柱面椭圆柱面 还有三种以二次曲线为准线的还有三种以二次曲线为准线的柱面柱面：抛物柱面抛物柱面 双曲柱面双曲柱面 31四、平面区域的概念及其解析表示四、平面区域的概念及其解析表示平面上具有某种性平面上具有某种性质质P P的点的集合的点的集合,称称为为平面点集平面点集,例如例如,平面上平面上以以原点原点为为中心、中心、r为为半径的半径的圆圆内内所有点的集合可表示所有点的集合可表示为为 记记作作321.1.邻域邻域332.2.区域区域不包含边界的区域称为不包含边界的区域称为开区域开区域例如，例如，例如，例如，区域是由一条或几条曲线区域是由一条或几条曲线(或直线或直线)所围成的平所围成的平面的一部分面的一部分.包含边界的区域称为包含边界的区域称为闭区域闭区域34用不等式用不等式(组组)表示区域表示区域:xyoab35用不等式用不等式(组组)表示区域表示区域:xyocd36练习：练习：P1384.(做在书上做在书上)5.3750