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一、数学期望概念一、数学期望概念二、数学期望性质二、数学期望性质三、随机变量函数数学期望三、随机变量函数数学期望四、小结四、小结第一节第一节 数学期望数学期望第1页引例引例1 分赌本问题分赌本问题(产生背景产生背景)A,B 两人赌技相同两人赌技相同,各出各出赌金赌金100元元,并约定先胜三局者为并约定先胜三局者为胜胜,取得全部取得全部 200 元元.因为出现意因为出现意外情况外情况,在在 A 胜胜 2 局局 B 胜胜1 局时局时,不得不终止赌博不得不终止赌博,假如要分赌金假如要分赌金,该怎样分配才算公平该怎样分配才算公平?一、数学期望概念一、数学期望概念 第2页A 胜胜 2 局局 B 胜胜 1 局局前三局前三局:后二局后二局:把已赌过三局把已赌过三局(A 胜胜2局局B 胜胜1局局)与上述结果与上述结果相结合相结合,即即 A、B 赌完五局赌完五局,A AA B B AB BA 胜胜B 胜胜分析分析 假设继续赌两局假设继续赌两局,则结果有以下四种情况则结果有以下四种情况:A AA B B AB BA胜胜B负负 A胜胜B负负 A胜胜B负负 B胜胜A负负 B胜胜A负负 A胜胜B负负 B胜胜A负负 B胜胜A负负 第3页所以所以,A 能能“期望期望”得到数目应为得到数目应为 而而B 能能“期望期望”得到数目得到数目,则为则为故有故有,在赌技相同情况下在赌技相同情况下,A,B 最终获胜最终获胜可能性大小之比为可能性大小之比为即即A 应取得赌金应取得赌金 而而 B 只能取得赌金只能取得赌金第4页因而因而A期望所得赌金即为期望所得赌金即为X“期望期望”值值,等于等于X 可能值与其概率之积累加可能值与其概率之积累加.即为即为若设随机变量若设随机变量 X 为为:在在 A 胜胜2局局B 胜胜1局前提局前提下下,继续赌下去继续赌下去 A 最终所得赌金最终所得赌金.则则X 所取可能值为所取可能值为:其概率分别为其概率分别为:第5页 设某射击手在一样条设某射击手在一样条件下件下,瞄准靶子相继射击瞄准靶子相继射击90次次,(命中环数是一个随机变量命中环数是一个随机变量).射中次数统计以下射中次数统计以下引例引例2 射击问题射击问题试问试问:该射手每次射击平均命中靶多少环该射手每次射击平均命中靶多少环?命中环数命中环数 k命中次数命中次数频率频率第6页解解平均射中环数平均射中环数设射手命中环数为随机变量设射手命中环数为随机变量 Y.第7页 平均射中环数平均射中环数频率随机波动频率随机波动随机波动随机波动随机波动随机波动 稳定值稳定值 “平均射中环数平均射中环数”稳定值稳定值 “平均射中环数平均射中环数”等于等于射中环数可能值与其概率之积累加射中环数可能值与其概率之积累加第8页1.离散型随机变量数学期望离散型随机变量数学期望第9页分赌本问题分赌本问题A 期望所得赌金即为期望所得赌金即为 X 数学期望数学期望射击问题射击问题 “平均射中环数平均射中环数”应为随机变量应为随机变量Y 数学期望数学期望第10页关于定义几点说明关于定义几点说明 (3)随机变量数学期望与普通变量算随机变量数学期望与普通变量算术平均值不一样术平均值不一样.(1)E(X)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一个它是一个加加权平均权平均,与普通平均值不一样与普通平均值不一样,它从本质上表达它从本质上表达了随机变量了随机变量 X 取可能值取可能值真正平均值真正平均值,也称也称均值均值.(2)级数绝对收敛性级数绝对收敛性确保了级数和不确保了级数和不随级数各项次序改变而改变随级数各项次序改变而改变,之所以这么要之所以这么要求是因为数学期望是反应随机变量求是因为数学期望是反应随机变量X 取可能值取可能值平均值平均值,它不应随可能值排列次序而改变它不应随可能值排列次序而改变.第11页试问哪个射手技术很好试问哪个射手技术很好?实例实例1 谁技术比很好谁技术比很好?乙射手乙射手甲射手甲射手第12页解解故甲射手技术比很好故甲射手技术比很好.第13页实例实例2 发行彩票创收利润发行彩票创收利润 某一彩票中心发行彩票某一彩票中心发行彩票 10万张万张,每张每张2元元.设头等奖设头等奖1个个,奖金奖金 1万元万元,二等奖二等奖2个个,奖金各奖金各 5 千元千元;三等奖三等奖 10个个,奖金各奖金各1千元千元;四等奖四等奖100个个,奖金各奖金各100元元;五等奖五等奖1000个个,奖金各奖金各10 元元.每张每张彩票成本费为彩票成本费为 0.3 元元,请计算彩票发行单位创收利请计算彩票发行单位创收利润润.解解设每张彩票中奖数额为随机变量设每张彩票中奖数额为随机变量X,则则第14页每张彩票平均可赚每张彩票平均可赚每张彩票平均能得到奖金每张彩票平均能得到奖金所以彩票发行单位发行所以彩票发行单位发行 10 万张彩票创收利润为万张彩票创收利润为第15页实例实例3商店销售策略商店销售策略第16页解解第17页第18页实例实例4分组验血分组验血第19页解解第20页第21页第22页第四章第四章 随机变量数字特征随机变量数字特征法法2：设设X表表示示第第二二个个方方案案下下总总化化验验次次数数，表表示示第第i个组化验次数，则个组化验次数，则第23页第四章第四章 随机变量数字特征随机变量数字特征比比如如：当当p=0.1，q=0.9时时，可可证证实实k=4可可使使最最小小；这这时，时，工作量将降低工作量将降低40%.第24页2.连续型随机变量数学期望定义连续型随机变量数学期望定义第25页解解所以所以,用户平均等候用户平均等候5分钟就可得到服务分钟就可得到服务.实例实例5 用户平均等候多长时间用户平均等候多长时间?设用户在某银行窗口等候服务时间设用户在某银行窗口等候服务时间 X(以分计以分计)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为试求用户等候服务平均时间试求用户等候服务平均时间?第26页1.设设 C 是常数是常数,则有则有证实证实2.设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则有则有证实证实比如比如二、数学期望性质二、数学期望性质第27页4.设设 X,Y 是相互独立随机变量是相互独立随机变量,则有则有3.设设 X,Y 是两个随机变量是两个随机变量,则有则有证实证实说明说明 连续型随机变量连续型随机变量 X 数学期望与离散型随机数学期望与离散型随机变量数学期望性质类似变量数学期望性质类似.第28页解解实例实例6第29页第30页1.离散型随机变量函数数学期望离散型随机变量函数数学期望解解三、随机变量函数数学期望三、随机变量函数数学期望设随机变量设随机变量 X 分布律为分布律为第31页则有则有所以离散型随机变量函数数学期望为所以离散型随机变量函数数学期望为若若 Y=g(X),且且则有则有第32页2.连续型随机变量函数数学期望连续型随机变量函数数学期望若若 X 是连续型是连续型,它分布密度为它分布密度为 f(x),则则3.二维随机变量函数数学期望二维随机变量函数数学期望第33页第34页解解实例实例7 设设(X,Y)分布律为分布律为第35页因为因为第36页第37页实例实例 8第四章第四章 随机变量数字特征随机变量数字特征返回主目录第38页实例实例 9第四章第四章 随机变量数字特征随机变量数字特征解：解：设设(X,Y)在在区区域域A上上服服从从均均匀匀分分布布，其其中中A为为x轴轴，y轴和直线轴和直线x+y+1=0所围成区域。所围成区域。求求EX，E(-3X+2Y)，EXY。第39页实例实例10 解解第40页所以期望所得为所以期望所得为第41页第42页四、小结四、小结1.数学期望是一个实数数学期望是一个实数,而非变量而非变量,它是一个它是一个加权加权平均平均,与普通平均值不一样与普通平均值不一样,它从本质上表达了它从本质上表达了随机变量随机变量 X 取可能值取可能值真正平均值真正平均值.2.数学期望性质数学期望性质第43页
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