实验设计基础讲义课件.pdf

实验设计基础课程安排第一讲：正交试验第二讲：方差分析(ANOVA)第三讲：正交试验的方差分析第四讲：稳健设计第五讲：可靠性设计第一讲：正交试验第一节：实验设计的意义及其发展过程 第二节：正交试验、正交表及其用法 第三节：混合水平的正交试验设计 第四节：有交互作用的正交试验设计实验设计（DOE）Design of Experiment为什么要进行试验设计？=让我们先看两个例子例1:这里有27个球，其中有且只有一个球质量 为9克，其它26个都为10克。给你一架天平，请 找出重为9克的那个球。请问，你至少要称几次？例2:这里有9框球（每框100个），其中有且只有 一框里的球质量全为9克，其它8框里的球都为 10克。给你一架天平，请找出里面的球重为9克 的那个框。请问，你至少要称几次？实验设计 Design of Experiment为什么要进行试验设计？=我们要进行试验设计!第一节：实验设计的意义及其发展过程实验设计的意义:应用数理统计学的基本知识，讨论如何台遇地安排试验、取得数 据，然后进行综合科学分析，从而尽快获得最优组合方案。在工程学 领域是改进制造过程性能的非常重要的手段。在开发新工序中亦有着 广泛的应用。在工序开发的早期应用实验设计方法能得出以下成果：1.提高产量；I2.减少变异性，与额定值或目标值更为一致；3.减少开发时间；I4.减少总成本；实音十在生羟/制造谩程中的位置:可控制因素谩程不可控制因素通谩暹行优化者殳言十统言十技彳行在 生羟/制造谩程 中的鹰用是封 谩程中输入 的燮量（人，机，料,法器）暹行有目的地优化，使输出的结果更加理想.实殳音十是其中较卷有效的 工程工具.人，血1料，忠，环通谩控制其不良 的影警程度第一节：进行实验设计的意义及其发展过程实验设计的发展过程:试验设计始于20世纪20年代，其发展过程大致可分为三个阶段：1.早期的方差分析法:20世纪20年代由英国生物统计学家、数学家费 歇(R.A.Fisher)提出的，开始主要应用于农业、生物学、遗传学方面,取得了丰硕成果。二战期间，英、美采用这种方法在工业生产中取 得显著效果；2.传统的正交试验设计法：以日本的田口玄-为代表；3.信噪比试验设计与三阶段设计：1957年，田口玄一提出信噪比 设计法利产品的三阶段设计法。他把信噪比设计和正交表设计、方 差分析相结合，开辟了更为重要、更为广泛的应用领域。第二节：正交试验、正交表及其用法为什么要进行正交试验:在实际生产中，影响试验的因素往往是多方面的，我们要考察各因 素对试验影响的情况。在多因素、多水平试验中，如果对每个因素 的每个水平都互相搭配进行全面试验，需要做的试验次数就会很多.比如对3因素7水平的试验，如果3因素的各个水平都互相搭配进行 全面试验，就要做73=343次试验，对6因素7水平，进行全面试 验要做76=117649次试验。这显然是不经济的。我们应当在不影响试验效果的前提下，尽可能地减少试验次数。正 交设计就是解决这个问题的有效方法。正交设计的主要工具是正交表。第二节：正交试验、正交表及其用法正交表:右图是一他I比较典型 的正交表.也表示此为正交表,空表示言式瞬次数，立表示雨水平，“7”表示就瞬最多可 以有”固因素（包括偃I因素及其交互作 用）.正交表111125262361111112221122222111222212121212221112221211712221281第二节：正交试验、正交表及其用法正交表 的表示方法:一般的正交表记为Ln（mk）,n是表的行数，也就是要安排的试验数;k是表中的列数，表示因素的个数；m是各因素的水平数；常见的正交表:I2水平的有 LG）,L8（27）,Li2（21i）,Li6（215）等；I 3水平的有 L9（34）,L27013）等;4水平的有L5（45）;5水平的有L25（56）;第二节：正交试验、正交表及其用法正交表的两条重要性质:1)每列中不同数字出现的次数是相等的，如Lg(34)中，每列中不同的数字是1,2,3,它们各出现3次;2)在任意两列中，将同一行的两个 数字看成一个有序数对，则每一 数对出现的次数是相等的，如 LG冲有序数对共有9个:(1,1),(1,2),(1,3),CM忘2,3)(3,1),(3,2),cd Abrk 找d:第二讲：方差分析（ANOVA）第一节：问题的提出第二节：单因素试验的方差分析 第三节：双因素试验的方差分析第一节：问题的提出先看一个例子：考察温度对某一化工厂产品的得率的影响，选了五种不同的温度，温度”)60667075809097968484得率(%)92939683868892938882平均得率(%)9094958584总平均得率=89.6%要分析温度的变化对得率的影响第一节：问题的提出从平均得率来看，温度对得率的影响？1）同一温度下得率并不完全一样，产生这种库异的原因是由于 试验过程中各种偶然性因素的干扰及测量误差等所致，这一 类误差统称为试验误差；一2）两种温度的得率在不同的试验中的倾向有所差别。如65 与70。（3相比较，第一次65。（3比70。（3好，而后二次70y比65。（3 好。产生这种矛盾的现象也是由于试验误差的干扰。由于试验误差的存在，对于不同温度下得率的差异自然要提出 疑问，这差异是试验误差造成的，还是温度的影响呢？第一节：问题的提出1）由于温度的不同引起得率的差异叫做条件变差；例中的全部15个数据，参差不齐，它看的差异叫做总变差（或总离差）。产生总变差的原因一是试验误差，一是条件变2）方差分析解决这类问题的思想是：Ia.由数据的总变差中分出试验误差和条件变差，并赋予它们的 数量表示；b.用条件变差和试验误差在一定意义下进行比较，如两者相差 不大，说明条件的变化对指标影响不大；反之，则说向条件 的变化影响是很大的，不可忽视；c.选择较好的工艺条件或确定进一步试验的方向；第一节：问题的提出变差的数量表示：有n个参差不齐的数据xx2)xn)它们之间的差异称为变差。如何给变差-个数量表示呢？1)-个最直观的想法是用这n个数中最大值与最极 差来表达，用R记之；2)变差平方和，以S记之。其中S是每个数据离平均值有多远的一个测度，它越大表示数据间的 差异越大。ns=Z（壬-X）2=1第一节：问题的提出对变差平方和的进一步讨论：例：测得某高炉的六炉铁水含碳量为：4.59,4.44,4.53,4.52,4.72,4.55,求其变差平方和。-1X=-(4.59+4.44+4.53+4.52+4.72+4.55)627.35二-二 4.55862 2S 二(4.59-4.558)+(4.44-4.558)+2 2(4.53-4.558)+(4.52-4.558)+2 2(4.72-4.558)+(4.55-4.558)=0.043484第一节：问题的提出对变差平方和的进一步讨论(2)：我们看到S的计算是比较麻烦的，原因是计算工时有效位数增加了 因而计算平方时工作量就大大增加。另外，在计算x时由于除不 尽而四舍五入，在计算S时，累计误差较大。为此常用以下公式:S2婷女孕J对于前面的例子2 2 2S=(4.59+4.44+.+4.55)-2-(4.59+4.44+.+4.55)=0.0434836第一节：问题的提出自由度的提出：例2：在上例的基础上在同样的工艺条件下又测了四炉铁水，它 们是：4.60,4.42,4.68,4.54,加上原来的六炉共十炉，求其变方 和。_ 1 45.59x (4.59+.+4.54)=-=4.5596 10S=0.07 949第一节：问题的提出自由度的提出(2)：平均数与过去的结果是相近的，但平方和是显著地变大了。我们 要设法消除数据个数的多少给平方和带来的影响。一个直观的想法是用平方和除以相应的项数，但从数学理论上推 知这不是一个最好的办法，而应把项数加以修正，这个修正的数 就叫做自由度。第一节：问题的提出自由度的提出(3)：设有n个数y2,yn,它们的平方和s=v：的自由度是多Z=1少呢？这就看%之间有没有线性约束夫如果有m个(Owmgn)线性约束方程aiiyi+a2y2+.,+ainYn=0a21y+a22y2+a2Jn=0am1y+am2y2+=0并且这m个方程相互独立，即方程系数矩阵的秩等于m,则S的自 Q度是n-m.第一节：问题的提出自由度的提出(4)：根据这个定义,如令x=xx(i=1,2,，n)所以变差平方和的自由度二n-m二n-1即第一节：问题的提出S MS=均方的概念：平均平方和（简称均方）等于变差平方和除以相应的自由度f.平均平方和以MS表示，它的开方叫做均方差对例 1、MS=0.04348：W10086966,均方差为0.09326对例2、MS=0.07949/9=0.0088322,均方差为0.09398我们看到六炉和十炉的MS是很相近的，这与工艺条件相同是吻 合的，说明用MS反映波动的大小是更为合理的。第二节：单因素试验的方差分析假设：单因素A有a个水平A,A2,.4a，在水平A(1=1,2,.,a)下，进行3次独立试验，得到试验指标的观察值列于下表：12 一4-I-Xlr1X2r2 -aXilXi2一 一.:m1 X巨CN我们假定在各个水平A1下的样本来自具有相同方差。2,均值分别为他的正 态总体XN(出，/),其中也,。2均为未知，并且不同水平A1下的样本之间 相互独立。第二节：单因素试验的方差分析总离差平方和的分解:记在水平A1下的样本均值为n-样本数据的总平均值为总离差平方和为a i _S?=Z Z（3-）1 x=2L将St改写并分解得S T=H X）+（X”X，）z=i 7=1a _ a n._=H H o.-+H Z（1-）-7=1 i=l 7=1a ni _ _ _+2 W 2L（X，-一 x）（x Xi.）第二节：单因素试验的方差分析总离差平方和的分解(2):上面展开式中的第三项为0若记Sa=Se则有：St=Sa+SeSt表示全部试验数据与总平均值之间的差异Sa表示在A1水平下的样本均值与总平均值之间的差异,是组间差Se表示在A1水平下的样本均值与样本值之间的差异,是组内差，它是由随机误差引起的。第二节：单因素试验的方差分析自由度的概念:在实际计算中，我们发现在同样的波动程度下，数据多的平方和要 大于数据少的平方和，因此仅用平方和来反映波动的大小还是不够 的。我们要设法消去数据个数的多少给平方和带来的影响。为此引 入了自由度的概念。一个直观的想法是用平方和除以相应的项数，但应把项数加以修正，这个修正的数就叫自由度。St的自由度为(n-1)；Sa的自由度为(a-1)；Se的自由度为(n-a);MSa=SA/(a-1);MSe=SE/(n-a)第二节：单因素试验的方差分析F检验法：统计量F=MSa/MSeF(a n a),对于给出的a,查出Fa(a-l,n-a)的值，由样本计算出Sa和Se，从而算出F值。从而有如下判断：若F Fa(a-15 n-a),则说明试验条件的变化对试验结果有显著影响;若F 4.43=F0oi(4,20)说明棉花的百分比对人造纤维M抗拉强度有影响。第三节：双因素试验的方差分析无交互作用的方差分析:设两因素A,B,A有a个水平A1，A”.,A&,B有b个水平,BP B29.,Bb，在每一个组合水平（A，Bj）下，进行一次无重复试验，得到试验指标的观察值列于下表：_-B(j)因素 A(1 一一-日 1 B2 Bj Bb Xi.AiA?AAaX11 x12 Xlj Xlb xt.X21 X22 X2j X2b X2：Xil Xi2 Xij Xib Xi.Xal Xa2-一 aj 一 Xab Xa.x.jX.1 X.2 X.j X.b 乂设XN（Mj,）,各X.相互独立。第三节：双因素试验的方差分析总离差平方和的分解:记在水平A1下的样本均值为 1 6X二 X记在水平Bj下的样本均值为X.=一 V X.j ua 1 a b _ST(七 一 z=l J=l样本数据的总平均值为总离差平方和为将St改写并分解得记为St=Sa（效应a _ _ b _ _ a b _ _ _ST=bf(Xz.-x)2+(、J 一 4+2 2(Xij-Xi.-x.j+x)2 i=l j=l i=l j=l第三节：双因素试验的方差分析自由度:St的自由度为(ab-1)；Sa的自由度为(a-1)；Sb的自由度为(b-1)；Se的自由度为(a1)(b-1)E=-（口 一 1）（一1）第三节：双因素试验的方差分析F检验法:统计量 对于给出的a.MS,F、=-F(a-l,(a-1)(6-1)MS eMS bF2=-F(Z7-1,(-1)(/7-1)MS查出 Fa(a-1,(a-1)(b-1),Fa(b-1,(a-1)(b-1)的值，由样本计算出马在2值。从而有如下判断:若F i F0(a-1,(a-1)(b-1),则说明因素A的变化对试验结果有显著影响;若F2 F0(b-1,(a-1)(b-1),则说明因素B的变化对试验结果有显著影响;为了方便计算，我们采用下面的简便计算公式：abSt2X5 ct ba22XhSbb2 X JS”5 ct b2X9 ct bSa第三节：双因素试验的方差分析方差分析表:方差来源平方和自由度均方F比因素ASaa-1酩=%a-1FMSs因素E；sBb-1岫二含码设麦ESE(a-1)(b-1)MS.=园(a-l)d总和TStab-1第三节：双因素试验的方差分析例2：(双因素无交互作用的方差分析)使用4种燃料，3种推进器作火箭射程试验，每一种组合情况 做一次试验，则得火箭射程列在表中，试分析各种燃料(A)与各种推进器(Bj)对火箭射程有无显著影响9=0.05)B1B2B3均.A15825626531797A24915416 1 61548A36017093921702A47585824871827町2432239420486874=x.第三节：双因素试验的方差分析解1这里a=4,b=3,ab=12St4 3 zz i=l/=12X.y2X二 5822+.+487226874=1113424 Xi=l22 XSbI312%2.x24121212SesT S A S B1-(1797 3(2432=11134222+1548+23792+2-1575921702+2048-22385+2)21827)-6874 212=7319826874-=1575912=22385第三节：双因素试验的方差分析解(2):方差来源平方和自由度均方F比|燃料A157593：52530.43推进器日22385211192.50.92 I误差E73198612199.7总和T11134211给出的a=0.05,查出F0.o5(3,6)=4.76,F005(2,6)=5.14因为FR43V4.76,F2=0.92 I口5丁=Qt-P=汇 x；尸=x k)St反映了试验结果的总差异，它越大，说明各次试验的结果之间的 差异越大。试验结果之所以有差异，一是由因素水平的变化所引起的，二是因为有试验误差。第一节：正交设计方差分析的步骤2）各因素离差的平方和下面以计算因素A的离差的平方和Sa为例来说明。设因素A安排在正 交表的某列，可看作单因素试验。用Xjj表示因素A的第i个水平的第j个试验的结果（i=1,2,na;j=1,2,则有na a n xj=Xki=j=k=由单因素的方差分析1 ,1?1 2 1 2=一E（E 与）（E 与）=E K：工 x）nn记为K表其中1 二 2Qa=-E K：个水4aK，=E X ijSa反映了因素A的水平变化时所弓1起的试验结果的差异，即因素A对 试验结果的影响。用同样的方法可以计算其它因素的离差平方和。对 于两因素的交互作用，我们把它当作一个新的因素。如果交互作用占 两列，则交互作用的离差的平方和等于这两列的离差的平方和之和。比如 SAxB=S（AxB）1+S（AxB）2第一节：正交设计方差分析的步骤3）试验误差的离差的平方和Se设S因+交为所有因素以及要考虑的交互作用的离差的平方和，因为 St 二 S因+交+SE,所以 Se=St-S因+交计算自由度:.试验的总自由度f总二试验总次数-1=n-1 I 各因素的自由度f因=因素的水平数-1二%-1两因素交互作用的自由度等于两因素的自由度之积fAxB=fAX fB 试验误差的自由度e=f总-fgi+交第一节：正交设计方差分析的步骤计算平均离差平方和（均方）:在计算各因素离差平方和时，我们知道，它们都是若干项平方的和，它们的大小与项数有关，因此不能确切反映各因素的情况。为了消 除项数的影响，我们计算它们的平均离差的平方和。因素的平均离差平方和=（因素离差的平方和）/因素的自由度二S因/f因试验误差的平均离差平方和=（试验误差的离差的平方和）/试验误差的自由度;Se/fE求F比:I将各因素的平均离差的平方和与误差的平均离差平方和相比，A出F 值。这个比值的大小反映了各因素对试验结果影响程度的大小。第一节：正交设计方差分析的步骤对因素进行显著性检验:给出检验水平。，从F分布表中查出临界值F。（心yf。将在“求F 比”中算出的F值与该临界值比较，若F F0（f因，fE）,说明该因素对 试验结果的影响显著，两数差别越大，说明该因素的显著性越大。第二节：3水平正交设计的方差分析例1（无交互作用）:磁鼓电机是彩色录像机磁鼓组件的关键部件之一，按质量要求其输 出力矩应大于210g.em。某生产厂过去这项指标的合格率较低，从 而希望通过试验找出好的条件，以提高磁鼓电机的输出力矩。根据 工程技术人员的经验，取试验因素和相应水平如下表：因子水平表水平因子A：充磁量（10二4。B；定位角度（0/180）3暂C：定子线圈匝数（匝）第二节:3水平正交设计的方差分析解：(选用正交表Lg(34)表头设计：表头设计ABC1列号123 4充碳量10勺定位角度(n/180)rad定子线图匝数 匝试蛇5果y输出力矩(g.cm)190010701602900P)11(2)802153900(3)12901804110010(2)801685(2)1100P)1190236601100127019071300109015781300(2)11702059(3)1300(3)12(2)80140列号AB试验晓、12111212：3134211522623731百329：33Ki555485k2594656K3502510Ki 2308025235225k22352836430336Q252004260100Q304288.3308553.7S1421,65686.9C试验结果y34输出力矩(g.c m)111602221533180231683T236121903215713205211405555361651523562二2725801573；553P=302866.8308025287296QT=310519273529315844328329305809303294.3302983427.6116.2第P：3水平正交设计的方差分析详细计算如下:1 2P=(1651)9302866.781(3080253+352836+252004)=304288.3Qb1(235225 3+430336+260100)=308553.7Qc=(308025+273529+328329)=303294.3Sa=Qa-P=1421.6Sb=Q B-P=5686.9=Qc-P=427.69St=QT-p=yj_p=310519-302866.78=7652.2k=Se=ST-S-S-Sr=116.2 1 A o C.第二节:3水平正交设计的方差分析列方差分析表如下:旌分析表方差来源 因子A 因子B 因子C 误差 慧和禽差平方和自由度均万F值临界值显著性优方案1421.62710.812.23Fo.o5(2.2)=19.0仆5686.922843.448.94F(mo0 2)=9.0*b242762213.83.68C3116.2268 17E)52.28对显著因子应取最好的水平，对不显著因子的水平可以任意选取；在 实际中通常从降低成本操作方便等角度加以选择，上面的例子中对因 子A与B应选择A2B2，因子C可以任选，譬如为节约材料可选择第二节：3水平正交设计的方差分析验证试验：对A?B2c l进行三次试验，结果为：234,240,220,平均值 为2313此结果是满意的第二节：3水平正交设计的方差分析例2（有交互作用）:为提高某产品的产量，需要考虑3个因素：反应温度、反应压力和溶 液浓度。每个因素都取3个水平，具体数值见表。考虑因素之间的所 有一级交互作用，试进行方差分析，找出最好的工艺条件。因素 _水平 A（温度）B（压力）C（浓度1 60 2.0 0.52 65 2.5 1.03 70 3.0 2.0列号 试验号12(AXB)1(AXB)25(AXC)1(AXC)2(BXC)111(BXC)2111111111121111222223111133333412221112351222222316122233312713331113281333222139133333321102123123111121232312212212331233132231123231422312313115223131212162312123321723122311318231231221193132132112031322132221313232133223213132232332132133124321332112253321132322633212131327332132121Kt36.7333.4635.6334.306.2732.9434.2133.3332.98k230.7031.3032.0831.7335.2134.6633 1333.0433.43Ko33.2135.8832.9334.6159 1633.0433.3034.2734.231349.091119.571269.501176.4939.311085.041170.321110.891087.68942.49979.691029 131006 791239 741201.321097.601091.641117.56葭1102.901287.371084.381197.853499.911091.641108.891174.431171.69Q377.17376.29375.89375.68531.00375.33375.20375.22375.22S2.041.171.32155.870.280.18产量Xk 1.30 4.63 7.23 0.50 3.67 6.23 1.37 4.73 7 07 0.47 3.47 6.13 0.33 3.40 5.80 0.63 3.97 6.50 0.03 3.40 6.80 0.57 3.97 6.83 1.07 3.97 6.57100.64第二节：3水平正交设计的方差分析解：(选用正交表127(313)根据前面的公式作如下计算:pQAQBQQQQQQQ1(100.6427(4XB(AXB(AXC(AXC(BXC(BXC)2=375.13,1(36 91(33 919)2)1)2)!)2.73.462+30.70+31.30+33.21 2)+35.88 2)377.17,376.29,(6.27 21二(35 91=(34 91二一(32 9+35.21 21=(3491=(3391二(32 9.63.30.94.21.33.9822+4-+59.16 2)=531.00,32.083134333333.73.66.13.04.43222+32.9334.6133.0433.3034.2734.232)2)2)2)2)2)375375375375375375.89,.68,.33,.20,.22,.22第二节：3水平正交设计的方差分析由此得出S=。/一。=2.04,A A)Sb=Qb-P=147,Sc=Qc _ p=155.87,S AXB S(AXB%+S(4XB)2 0(4X8%+Q(4XB)2类似地S AXC=Q(AXC)+0(AXC)20=0.28/!八 L I ZX/k k-z y 1 2TL/k=J 2S rxc-Q(RYC +Q(BXC)一 2 2=0.18Dy.(BXC J (/jyk C-)2最后计算总平方和，得出270T=2 xj=536.33 Sk=ST=Qt-P=536.33 375.13=161.20T QTS=S-Sm 7B l 因+交=S-(S+S+S+S+axc+Sxc)=，34第二节：3水平正交设计的方差分析用公式计算自由度:九=九=九=3-1=2,f AXB=f AXC=fBXC=2X2=4/总=-1=27-1=26,fE=几因+交=26.18=8再用公式计算平均离差的平方和，然后计算F值，再与F分布表中查 出的相应的临界值F0（f因，fj比较，判断各因素显著性的大小。通常，若F Foc（f因，fE）,就称该因素是高度显著的，用两个星号表 示；若FvF.oi（f因，fj,但F Fo.05（f因，fj，则称该因素的影响是显 著的，用一个星号表示；若FFoo5（f因，fE）就称该因素的影响是不 显著的，不用星号表示。第二节：3水平正交设计的方差分析方差分析表:因为Saxc和Sbxc都很小，和误差项合并，作为误差项。通过F值 与临界值比较看出，因素A,B,C和交互作用AXB对试验的影响都是显 著的，从F值的大小看，因素C最显著，以下依次为A,B,AXB第二节：3水平正交设计的方差分析方差分析(2)：由于这里的试验指标是产品的产量，越大越好，所以最优方案应取 各因素中K的最大值所对应的水平。因素A应取第1水平，因素B应取 第3水平，因素C应取第3水平。交互作用AXB也是显著的，但由 于AXB占两列，直观分析法有些困难，因此把A和B的各种组合的试 验结果对照起来分析。1 2 212313.16 10.07 10.2310.40 9.53 11.3713.17 11.10 11,61从表中看出，当A取第1水平、B取第3水平时，试验结果为13.17,是所有结果中的最大值，因此取A1B3。于是，最优方案就取A1B3c3.第三节：混合型正交设计的方差分析混合型正交设计的方差分析，本质上与一般水平数相等正交设计的 方差分析相同，只要在计算时注意到各水平数的差别就行了。现以1_8（4X24）混合型正交表为例:总离差平方和为8 8St=Qt-P=x1-一0九)2 3 8 N因素偏差平方和有两种情况:2水平因素:1 2s=(K K?)84水平因素:I 1 s=(储+勺+给+4)-(e a 2 8第三节：混合型正交设计的方差分析例4:某钢厂生产一种合金，为便于校直冷拉，需要进行一次退火热处理,以降低合金的硬度。根据冷加工变形量，在该合金技术要求范围内,硬度越低越好。试验的目的是寻求降低硬度的退火工艺参数。考察 的指标是洛氏硬度(HR),经分析研究，要考虑的因素有3个：退火 温度A,保温时间B,冷却介质C。730 1 空气760 2 水790820因素AB试验号 121112123W14至25贺162741842Ki62.60127.4062 10122.80Ka62.20Im63.30*3918.7616230.963856.4175079.84唐3868.844006.8950.4452.645C试验结果;cc1 Wt)No dt第二节：故障的统计分布函数可靠度R(t):即产品至时刻t不发生故障的概率R(t)=lim No-oo No累积故障概率F(t):即产品至时刻t累积发生故障的概率.Nf(t)r tF(t)=lim =J o f(t)dt=1-R(t)N0 8第二节：故障的统计分布函数故障率九(t):产品至时刻t.单位时间内发生故障的产品数和仍 在正常工作的产品数之比，即产品工作到某个时间后，单位时 间内发生故障的概率。dNf(t)Mt)=一x N(t)dtMt)=dNf(t)x-dNf(t)N(t)dtNiNodt._R(t)第三节：可靠度的计算可靠度的计算:设可靠度为R,累积故障概率为F,R+F=l.我们就元件构成系统的不同类型，讨论系统与元件之间可靠度的关 系。假设各元件故障的发生是独立电 记E1为元件i成功运转事件，R1=P(EJ为元件i的可靠度，入二P(EJ为元件i的累积故障概率,Rs为系统的可靠度，Fs为系统的累积故障概率。第三节：可靠度的计算可靠度的计算（2）:串联系统方设系统由多个元件构成，如果其中任一元件发生故障，都会导致整个系统发生故障，这种构成方式称为串联方式。假设系统由n个元件串联而成，则有rs=n 石2 n.n 石）由于事件的独立性，有Rs=尸（石尸尸（2）尸（）=火田2火n由于生1（1二1,2,所以系统的可靠度随着元件个数的增加而下降计算串联方式可靠度的近似方法：1）假设构成系统的n件元件的故障率都相等，记为q,则R s=（1 q）假定q很小，利用二项式展开，再忽略q的高次项，则R s 1 nq2）假设各元件的累积故障率为Qi，则有nKsy1 一汇久第三节：可靠度的计算可靠度的计算(3):要提高系统的可靠度Rs，可以从两方面考虑：1)减少串联元件个数；2)提高各元件的可靠度;0 9.S7 6 LO,O.O.O.系统可能度R=0.99R=0.980.5.R=0.950.4_|1 4 8 12 16 20元件数由于元件数目增加而引起系统可靠度的降低在图上表现得很明显，对同样数量的元件，元件可靠度的提高，可使系统的可靠度提高。12第三节：可靠度的计算可靠度的计算（4）:n并联系统:设系统由多个元件构成，如果其中某一元件发生故障，系统仍能正常工作，只有当所有元件都发生故障时，系统才不能正常工作，这种构成方式称为并联方式。假设系统由n个元件并联而成，则&fs=p（e、n 石2 n.n 石）由于事件的独立性，有Fs=尸（）尸（石2）尸（）=4尸2尸Rs=l-Fs，Fj=l-RjRs=i-n a 一衣,）Z=1而由于Fdl,因此系统的累积故障概率随着元件个数的增加而下降。所以系统的可靠度提高，因此并联方式可作为提高系统可靠度的一 种手段，这叫冗余性。第三节：可靠度的计算可靠度的计算(5):0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0元件可靠度对并联系统，虽然各零件的可靠度不算太高，随着零件个数的增加,系统的可靠度迅速提高。第三节：可靠度的计算可靠度的计算(6):串-并联方式:假定有mX n个元件 的系统，采取串联、并联两种方 式构成，分两种情况考虑。(1)先并联再串联(低级冗余)假设每个元件的可靠度都是R,则每个并联组合的可靠度为Req系统的可靠度为Rs=-(1-R)(对不同的元件可靠度R,在不同的叫n时所对应的系统可靠 度关系如图所示。m9 8.7 6 5 4 1 0.0.0.0.0.0.系统可靠度m=3-m=4二-市=2低皴冗余系统R=0.9-R=0.7-2345单元配置数(n)低级冗余可靠度m=3、m=2第三节：可靠度的计算可靠度的计算(7):(2)先串联再并联(高级冗余)假设每个元件的可靠度都是R,则每个并联组合的可靠度为Req=Rn2n高级冗余系统系统的可靠度为Rs=1（1 火）O-m=4-.m=3对不同的元件可靠度R,在不同的m,n时所对应的系统可靠度关系如图所示。在所有情况下，低级冗余比高级冗余 都有较高的可靠度。因此，提供备用 元件比提供备用组合有更好的整体可靠性o9.87 6 0.0.0.0.系统可靠度5 0.4 1 0.2m=.im=2 34i=45-m=2R=0.9-R=0.7-6元件配置数(n)盲级冗余可靠度第四节：可靠度函数与故障率故障率曲线:例：现取1000个零件进行试验，观察 随着时间的变化出现故障的情况,把测到的数据列在表中。从表中栏的数看出，开始故障 较多，然后逐渐减少，并在一定 范围内有较稳定的情况，然后故 障数再次增多，直到结束。时间 t一定时间 的故牌率果积 故障数a余 零件数掖像密度 函数值可靠度(%)故停率九1:1123456789101112131415161718190 130 83 75 68 62 56 51 46 41 37 34 31 28 64 76 62 40 124130213288356418474525571612649683714742806882944984996100010008707877126445825264754293883513172862581941185616400.1300.0830.0750.0680.0620.0560.0510.0460.0410.0370.0340.0310.0280.0640.0760.0620.0400.0120.004100.087.078.771.264.458.252.647.542.938.835131.728.625.819.411.85.61.60.40.00.139 0.100 0.100 0.1000.1010.101 0.102 0.1020.100 0.100 0.102 0.1030.103 0.283 0.4870.713 1 111 1.200 2.000第四节：可靠度函数与故障率故障率曲线(2):图中故障率开始高，然后有一段平稳，最后又有一段升高，把它 画成一条连续曲线得出故障率曲线，它的形状象浴盆，又称为浴 盆曲线。0.140.0.120 0.100-0.080-0.060-以 0,040-0.020-0.000-0101520 5时第四节：可靠度函数与故障率故障率曲线（3）:这个曲线分三段1）早期故障时期使用初期故障率比较高的时期，它是由于机器内在的设计错误，原材料、工艺产生的缺陷造成的故障率九 7 偶发故障时期+磨损故障时期 早期故障时期2）偶发故障时期：使用的中间过程中故障率较低，且状态较稳定的 时期。故障的发生是随机的。3）磨损故障时期：机器使用后期，故障率再次升高的时期，由于经 过长期的使用，机器磨损严重，化学变化、老化等原因，使故障 增多，这时期已接近寿命的完结。第四节：可靠度函数与故障率几个重要分布的可靠度密度函数和故障率:1)指数分布：f(t)=A e-A 1(A 0)可靠度函数为-Foo&(%)=九。一入 1dt=0故障率为2(t)=-=-=2R。)eAt即指数分布的故障率是常量。对于指数分布，串联系统的故障率等于 各元件故障率之和。这就是指数分布中 故障率的可加性。指数分布故障密度函数第四节：可靠度函数与故障率几个重要分布的可靠度函数和故障率 2）正态分密度函数1(一)/(0=I-e 2。,-CO Z 0,0,608 1 t-S9)故障分布函数它的可靠度函数为R(I)=1 F(?)=expt-sVI e J故障率为第四节：可靠度函数与故障率几个重要分布的可靠度函数和故障率:4）离散型的可靠度函数和故障率：类似于连续型分布，若离散型的分布律为Pk（二项分布为c k k、n_ kP k=C p(I-p)Pk.k-2 z ek泊松分布为）则可靠度函数为00R(k)=Pj故障率为Pk Pk 4(%)=-=-R(k)Z pi第五节：可靠性设计一般概念:事前考虑可靠性的一种设计方法。进行可靠性设计首先要考虑的几个问题：1）仔细调查了解能够得到的元件的可靠度。2）根据总目标要求和实际状况，正确地分配 各元件的可靠度。3）必要时采用适当的手段弥补元件可靠度的 连接方式，甚至改变系统的结构等。4）实在不行时，要重新研究和开发可靠度更高的元件。第五节：可靠性设计平均寿命：产品投入使用到发生故障的平均工作时向不可修复系统MTTF(Mean Time To Failure):失效前平均工作时间f 00 00MTTF=J 0 t f(t)dt=J 0 R(t)dt若产品的故障概率密度f(t)按指数分布，且Mt尸常数时,MTTF=1/X第五节：可靠性设计可修复系统MTBF(Mean Time Bet ween Failure)对一系统，在发生故障后，如果经过维修能够恢复到正常状态，