3.2.1平面的法向量求法及简单应用教程文件.ppt

1.直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义 2.平面的法向量：平面的法向量：如果向量如果向量 的基线与平面的基线与平面 垂直垂直，则向量，则向量 叫平面叫平面 的法向量的法向量。几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互一个平面的所有法向量都互相平行相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 与平面平行或在平面内，与平面平行或在平面内，则有则有A给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么过点那么过点A,以向量以向量 为法向量的平面是完全为法向量的平面是完全确定的确定的.l3.平面的向量表示：平面的向量表示：因为方向向量与法向量可以确定直线和因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，上节我们用直线的方向向量表平面的位置，上节我们用直线的方向向量表示了空间直线、平面间的示了空间直线、平面间的平行平行 如何用平面的法向量表示空间两平面平如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系呢？行、垂直的位置关系呢？4.两平面平行或重合、垂直的充要条件两平面平行或重合、垂直的充要条件 l1教材未提l教材未提例：法向量的求法例：法向量的求法待定系数法待定系数法例例 如如图图，已知矩形，已知矩形和矩形和矩形所在平面互相垂直，点所在平面互相垂直，点分分别别在在对对角角线线上，且上，且求求证证：ABCDEFxyzMN简证：因为矩形简证：因为矩形ABCD和矩形和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以互相垂直。以 为正交为正交基底，建立如图所示空间坐标系，基底，建立如图所示空间坐标系，设设AB,AD,AF长分别为长分别为3a，3b，3c，则可得各点坐标，从而有则可得各点坐标，从而有又平面又平面CDECDE的一个法向量是的一个法向量是因为因为MN不在平面不在平面CDE内内所以所以MN/平面平面CDEA1D1C1B1ACBDFE证明证明:设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系建立如图的空间直角坐标系xyzA1D1C1B1ACBDFEA AB BC CO O 小结小结1.直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义 2.平面的法向量：平面的法向量：3.平面的向量表示：平面的向量表示：4.两平面平行或重合、垂直的充要条件两平面平行或重合、垂直的充要条件 6.6.有关平面的斜线概念，有关平面的斜线概念，三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理 P104P104巩固性训练11.设设 分别是直线分别是直线l1,l2的方向向量的方向向量,根据下根据下 列条件列条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系.平行平行垂直垂直平行平行巩固性训练21.设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.垂直垂直平行平行相交相交1、设平面、设平面 的法向量为的法向量为(1,2,-2),平面平面 的法向量为的法向量为(-2,-4,k),若若 ，则，则k=；若；若 则则 k=。2、已知、已知 ，且，且 的方向向量为的方向向量为(2,m,1)，平面，平面的法向量为的法向量为(1,1/2,2),则则m=.3、若、若 的方向向量为的方向向量为(2,1,m),平面平面 的法向量为的法向量为(1,1/2,2),且且 ，则，则m=.巩固性训练31如图，正方体如图，正方体 中，中，E为为 的中点，的中点，证明：证明：/平面平面AEC练习练习:用空间向量来解决下列题目用空间向量来解决下列题目2 2、在正方体、在正方体AC 中，中，E、F、G、P、Q、R分别是所在棱分别是所在棱AB、BC、BB A D 、D C 、DD 的中点，的中点，求证：求证：平面平面PQR平面平面EFG。BD 平面平面EFGABCDA B C D FQEGRP