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微积分发展简史微积分发展简史第第1页页牛牛 顿顿 艾萨克牛顿（Isaac Newton）是英国伟大数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家，其研究领域包含了物理学、数学、天文学、神学、自然哲学和炼金术。牛顿主要贡献有创造了微积分，发觉了万有引力定律和经典力学，设计并实际制造了第一架反射式望远镜等等，被誉为人类历史上最伟大，最有影响力科学家。为了纪念牛顿在经典力学方面出色成就，“牛顿”以后成为衡量力大小物理单位。第第2页页莱 布 尼 茨 莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz），德国哲学家、数学家。包括领域及法学、力学、光学、语言学等40多个范围，被誉为十七世纪亚里士多德。和牛顿并称为微积分创建者。第第3页页 微积分学是微分学(Differential Calculs)和积分学(Integral Calculs)统称,英文简称Calculs,意为计算。这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中计算问题。以后人们也将微积分学称为分析学或无穷小分析。第第4页页 在微积分产生之前，数学发展处于初等数课时期。人类只能研究常量，而对于变量则束手无策。在几何上只能讨论三角形和圆，而对于普通曲线则无能为力。到了17世纪中叶，因为科学技术发展需要，人们开始关注变量与普通曲线研究。第第5页页 在力学上，人们关心怎样依据旅程函数去确定质点瞬时速度，或者依据瞬时速度去求质点走过旅程。在几何上，人们希望找到求普通曲线切线方法，并计算普通曲线所围图形面积。第第6页页 令人诧异是，不一样领域问题却归结为相同模式数学问题：求因变量在某一时刻对自变量改变率；求因变量在一定时间过程中所积累改变。前者造成了微分概念；后者造成了积分概念。更令人诧异是，这二者之间竟然有着亲密联络：它们是互逆两种运算，这个性质是由微积分学基本定理所表达。从而微分学和积分学形成了一门统一学科：微积分学微积分学。第第7页页微积分萌芽微积分萌芽12 23微积分发展微积分发展微积分建立微积分建立4微积分严格化微积分严格化目录5牛顿和莱布尼茨之争牛顿和莱布尼茨之争第第8页页1.微积分萌芽微积分萌芽极限思想极限思想欧多克索斯欧多克索斯穷竭法（古希腊时期）穷竭法（古希腊时期）一一个个量量假假如如减减去去大大于于其其二二分分之之一一量量，再再从从余余下下量量中中减减去去大大于于该该余余量量二二分分之之一一量量，这这么么一一直直下下去去，总总可可使使某一余下量小于已知任何量。某一余下量小于已知任何量。庄子庄子“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”（战国时期）（战国时期）第第9页页 阿阿基基米米德德对对抛抛物物弓弓形形面面积积、球球和和球球冠冠面面积积、螺螺线下面积和旋转双曲体体积研究。线下面积和旋转双曲体体积研究。积分思想积分思想 开普勒开普勒用无穷小微元来确定曲边形面积和体积。用无穷小微元来确定曲边形面积和体积。第第10页页 第一类第一类是求瞬时速度问题。是求瞬时速度问题。第二类第二类是求曲线切线问题。是求曲线切线问题。十七世纪中叶，因为自然科学急速发展，其它学科十七世纪中叶，因为自然科学急速发展，其它学科给数学提出以下四种亟待处理问题：给数学提出以下四种亟待处理问题：第三类第三类是求函数最大值和最小值问题。是求函数最大值和最小值问题。第四类第四类是求曲线长、曲线围成面积、曲面围是求曲线长、曲线围成面积、曲面围 成体积、物体重心、两个非质点间成体积、物体重心、两个非质点间 引力问题。引力问题。2.微积分发展微积分发展第第11页页 曲线切线问题曲线切线问题（第二类问题）（第二类问题）微分思想微分思想 费费尔尔马马在在这这两两个个问问题题上上做做出出了了主主要要贡贡献献，他他先先对对自自变变量量取取增增量量，再再让让增增量量趋趋于于零零，这这就就是是微微分分学学本本质质所在。所在。函数极大极小值问题（函数极大极小值问题（第三类问题）第三类问题）第第12页页 费费尔尔马马也也在在积积分分学学方方面面做做了了许许多多工工作作，如如求求面面积积、体体积积、重重心心等等问问题题（第第四四类类问问题题），但但可可惜惜是是，他他没有发觉微分学和积分学这两类问题之间基本联络。没有发觉微分学和积分学这两类问题之间基本联络。巴巴罗罗（牛牛顿顿老老师师）在在光光学学和和几几何何学学讲讲义义一一书书中中，已已经经把把求求曲曲线线切切线线与与求求曲曲线线下下区区域域面面积积问问题题联联络络了了起起来来，也也就就是是说说他他把把微微分分学学和和积积分分学学两两个个基基本本问问题题联联络络起起来来，但但可可惜惜是是他他没没有有从从普普通通概概念念意意义义下下深深入入深深入研究他们。入研究他们。第第13页页 除了费尔马和巴罗，除了费尔马和巴罗，十七世纪许多著名数学家、十七世纪许多著名数学家、天文学家、物理学家也为处理上述问题作了大量研究天文学家、物理学家也为处理上述问题作了大量研究工作，这些先驱性工作，沿着不一样方向向微积分大工作，这些先驱性工作，沿着不一样方向向微积分大门迫近，但全部这些努力还不足以标志微积分作为一门迫近，但全部这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学诞生。门独立科学诞生。第第14页页3.微积分建立微积分建立 终于十七世纪后半叶，终于十七世纪后半叶，牛顿牛顿和和莱布尼兹，莱布尼兹，在不在不一样国家，几乎在同时总结前人研究结果基础上，一样国家，几乎在同时总结前人研究结果基础上，各自独立创建了划时代微积分各自独立创建了划时代微积分。第第15页页 牛顿将自古希腊以来求解无限小问题各种特殊技巧统一为两类普遍算法正、反流数术亦即微分与积分，并证实了二者互逆关系，从而将这两类运算统一成整体。这是他超越前人功劳，正是在这么意义下，我们说牛顿创造了微积分。牛顿在1665年11月创造“正流数术”(微分法)，第二年5月又建立了“反流数术”(积分法)1666年10月，牛顿将前两年研究结果整理成一篇总结性论文，但他没有拿去发表。第第16页页 莱布尼茨在1684年发表了第一篇微分学论文一个求极大值与极小值以及求切线新方法，在这文章中他给出了微分记号dx和一些微分运算法则，并讨论了微分学一些应用。莱布尼茨深刻认识到同d互逆关系，他断言：作为求和过程积分是微分逆这一思想产生是莱布尼茨创建微积分标志 1686年，莱布尼茨又发表了他第一篇积分学论文，在这篇论文他给出了积分符号，初步叙述了积分与微分互逆关系。第第17页页 牛顿和莱布尼茨发觉了微积分基本定理，并建立 起一套有效微分和积分算法；他们把微积分作为一个适合用于普通函数普遍方法；把微积分从几何形式中解脱出来，采取了代数方法和记号，从而扩展了它 应用范围；把面积、体积及以前作为和来处理问题归结到反微分(积分)这么，十七世纪其它学科提出四个主要问题速度、切线、极值、求和，便全部归结为微分和积分。第第18页页 微积分诞生以后，数学迎来了一次空前繁荣时期。18世纪被称为数学史上英雄世纪。数学家们把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，取得了丰硕结果；在数学本身，他们把微积分作为工具，又发展出微分方程、微分几何、无穷级数等理论分支，大大扩展了数学研究范围。第第19页页4.微积分严格化微积分严格化 微积分建立以后，出现了两个极不协调情景：首先是微积分广泛应用于各个领域，取得了辉煌成就；另首先是人们对于微积分基本概念合理性提出了强烈质疑。19世纪以前，无穷小量概念一直缺乏一个严格数学定义，所以造成了相当严重混乱。尤其地，1734年英国哲学家、红衣主教贝克莱对微积分基础可靠性提出强烈质疑，引发了第二次数学危机。微积分严格化势在必行。第第20页页 法国数学家达朗贝尔用极限方法取代无穷小量方法；法国数学家柯西在达朗贝尔通俗极限基础上，从变量和函数角度出发给出极限动态定义，从而把微积分基础严格地奠定在极限概念之上。德国数学家魏尔斯特拉斯则用静态-语言来刻画柯西动态极限概念，使极限定义到达了最清楚最严密程度，直到如今人们依然在使用他定义。极限理论建立极限理论建立第第21页页 因为严格极限理论建立，无穷小量可用极限语言清楚地加以描述，至此才处理了相关逻辑困难。而且因为 语言建立，微积分发展如虎添翼。第第22页页实数理论实数理论魏尔斯特拉斯无限十进小数表示法 戴德金分割 康托尔柯西列方法 第一次数学危机之无理数处理方案第一次数学危机之无理数处理方案实数完备性实数完备性 确界存在定理-单调有界定理-区间套定理-有限覆盖定理-聚点定理-柯西收敛准则 第第23页页 从以上介绍，能够知道微积分发展历史轨迹是 积分学微分学微积分学极限理论实数理论 但从数学分析课程来看，它理论体系应该是：实数理论极限理论微分学积分学微积分学第第24页页5.牛顿与莱布尼茨之争牛顿与莱布尼茨之争 莱布尼茨发表第一篇微积分论文时间是1684年，比牛顿早三年(牛顿自然哲学之数学原理出版于1687年)，但牛顿早在六十年代就创造了微积分，而莱布尼茨曾于1673年访问过伦敦，并和牛顿及一些知道牛顿工作人经过信于是就发生了莱布尼茨是否独立取得微积分结果问题第第25页页 1684 年莱布尼兹发表了他微积分论文。3年后，牛顿在1687年出版原理书初版中对莱布尼兹贡献表示认同，不过却说：“和我几乎没什么不一样，只不过表示用字和符号不一样。”第第26页页 牛顿流数理论到莱布尼兹发表论文二十年后，即17作为他著作光学附录中正式发表，附录序言中，牛顿提到他1676年给莱布尼兹信，并补充说“若干年前我曾出借过一份包含这些定 理(微积分)原稿，之後就见到一些从那篇当中抄出来东西，所以我现在公开发表这份原稿。”这话意思就暗指他手稿曾经被莱布尼兹看到过，而莱布尼兹 论文就是从他手稿中抄来。第第27页页1711 年3月4日，伦敦皇家学会秘书斯洛（Hans Sloane）收到莱布尼兹寄来一封信，信中埋怨其组员开尔（John Keill）指责莱布尼兹把牛顿微积分改变了少许符号，伪装为自己原创发表，而且申明这不是事实，要求学会给以公正裁决。第第28页页听说这一状告恰好告到了牛顿手上。以后，因为牛顿导演和亲自出马、匿名运作，形成势不两立两派。以英国为一派包含英国著名数学家泰勒和麦克劳林都认为莱布尼兹是剽窃者。另一派是欧洲大陆 数学家，包含著名数学家约翰伯努利等为一派认为牛顿是剽窃者。争论双方停顿学了术交流，不但影响了数学正常发展，也涉及整个自然科学领域，以致发展到 英德两国之间政治摩擦。第第29页页这场由牛顿导演捍卫牛顿战斗，使英国人吃了大亏，一百年多年间在数学上大大落后于欧洲。而莱布尼兹生命中最终年则在这场大争论中痛苦地度过。总之，两个人都很受伤！第第30页页无疑，牛顿创建了微积分。即使莱布尼茨曾收到过牛顿关于微积分工作信件，不过他工作与牛顿工作有显著不一样之处，而且有其突出之处。牛顿出发点是力学，莱布尼茨 出发点是几何学；牛顿符号凌乱，除了他本人以外，其它人甚难接收，莱布尼茨符号系统明了，今日我们依然沿用他当初记号。公平地说，在微积分创建方面，牛顿与莱布尼茨功劳相当。牛顿应与莱布尼茨分享创建微积分荣誉。第第31页页谢谢观赏谢谢观赏第第32页页