1、科学出版社第四节一、多元复合函数求导链式法则一、多元复合函数求导链式法则二、多元复合函数全微分二、多元复合函数全微分多元复合函数求导法则 第八八章 第1页科学出版社一元复合函数求导法则微分法则第2页科学出版社定理定理1.在对应点（u,v）可微,在点 t 可导,则复合函数证证:则对应中间变量且有链法则（见右边树图）有增量u,v,因为 f 可微，所以上式两端同时除以t，得到一、多元复合函数求导链式法则一、多元复合函数求导链式法则若函数设 t 为t 增量,第3页科学出版社导数，(t0 时,根式前加“”号)为了与偏导数区分,称为全全导数还能够写成:第4页科学出版社若定理中 注注:如如:易知:但不可微（
2、验证），此时复合函数可微减弱为偏导数存在,则定理结论不一定成立.第5页科学出版社推广推广:1)中间变量多于两个情形.设下面所包括函数都可微.比如,定理定理2.设则偏导数都存在，第6页科学出版社例例1.设 其中 求 解解:代入解法二，所以 先代入，变成一元函数求导.因为解法一，第7页科学出版社例例2.解解设第8页科学出版社例例3.偏导数.解解:有了多元函数链法则，就不需要用对数求导法了.由 复合而成，于是 同理可得求这是一个幂指函数，第9页科学出版社例例4.设 求全导数解解:注意：验证解问题中经常碰到,以下几个例题有利于掌握这方面问题求导技巧与惯用导数符号.求导口诀求导口诀:分段用乘,分叉用加.
3、多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与第10页科学出版社求复合函数 偏导数.例例5.都具备可微条件，解解:注：有时会出现复合函数一些中间变量本身又是复合函数自变量情况，这时要注意预防记号混同.如左图，有在应用链法则时，设第11页科学出版社如,当它们都含有可微条件时,有注意注意:这里表示 复合函数f(x,(x,t)固定 t 对 x 求导表示f(x,y)固定 y 对 x 求导与不一样,第12页科学出版社例例6.设 都有一阶求 连续偏导数，解解:代入中间变量，得到复合函数第13页科学出版社为简便起见,引入记号例例7.f 含有二阶连续偏导数,求解解:令则 设第14页科学出版社二、一阶全微分形式不变性二、一阶全微分形式不变性设函数全微分为可见不论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数都可微,其全微分表示 形式都一样,这性质叫做一阶全微分形式不变性.第15页科学出版社利用这个性质，轻易证实，不论 u,v 是自变量还是中间变量，用链法则求复合函数偏导数时，和中间变量.有了一阶全微分形式不变性，考虑这种区分，使计算变得方便。能够不再首先要分清自变量都有下面微分法则：第16页科学出版社例例 8.全微分和偏导数.解解:求则所以设第17页科学出版社例例 9.都可微,求d z.解解:.设利用一阶全微分形式不变性，有第18页科学出版社例例10.已知求解解:两边求微分,得又因为所以由条件第19页
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