概率水利-课件.ppt

A.太阳从东方升起；太阳从东方升起；B.明天的最高温度；明天的最高温度；C.上抛物体一定下落；上抛物体一定下落；D.新生婴儿的体重新生婴儿的体重.考察下面的现象考察下面的现象:确定性现确定性现象象 在我们所生活的世界上，在我们所生活的世界上，充满了不确定性充满了不确定性 从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化万化，我们无时无刻不面临着不确定性和随，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性机性.如同物理学中基本粒子的运动、生物学中遗如同物理学中基本粒子的运动、生物学中遗传因子和染色体的游动、以及处于紧张社会中的传因子和染色体的游动、以及处于紧张社会中的人们的行为一样，自然界中的人们的行为一样，自然界中的不定性不定性是是固有的固有的.这些与其说是基于决定论的法则，不如说是基于这些与其说是基于决定论的法则，不如说是基于随机论法则的不定性现象，已经成为自然科学、随机论法则的不定性现象，已经成为自然科学、生物科学和社会科学理论发展的必要基础生物科学和社会科学理论发展的必要基础.从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作识到随机性在生活中的作用，他们把随机性看作为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的东西西.他们没有认识到有可能去研究随机性，或者他们没有认识到有可能去研究随机性，或者是去测量不定性是去测量不定性.将将不定性数量化不定性数量化,来尝试回答这些问题，是来尝试回答这些问题，是直到直到2020世纪初叶才开始的世纪初叶才开始的.还不能说这个努力已还不能说这个努力已经十分成功了经十分成功了,但就是那些已得到的成果但就是那些已得到的成果,已经已经给人类活动的一切领域带来了一场革命给人类活动的一切领域带来了一场革命.这场革命为研究新的设想这场革命为研究新的设想,发展自然科学知发展自然科学知识识,繁荣人类生活繁荣人类生活,开拓了道路开拓了道路.而且也改变了我而且也改变了我们的思维方法们的思维方法,使我们能大胆探索自然的奥秘使我们能大胆探索自然的奥秘.下面我们就来开始一门下面我们就来开始一门“将不定性数量化将不定性数量化将不定性数量化将不定性数量化”的的课程的学习，这就是课程的学习，这就是 特点特点 1 当人们在一定的条件下对不定性现象加以观当人们在一定的条件下对不定性现象加以观察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能结果察或进行试验时，观察或试验的结果是多个可能结果中的某一个中的某一个.而且在每次试验或观察前都无法确知其而且在每次试验或观察前都无法确知其结果结果.现在我们来考察一下不定性现象的特点现在我们来考察一下不定性现象的特点例如例如:在相同的条件下抛同一枚硬币在相同的条件下抛同一枚硬币,其结果其结果可能是正面朝上可能是正面朝上,也可能是反面朝上也可能是反面朝上,并且在并且在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么.又如又如:一门火炮在一定条件下向同一一门火炮在一定条件下向同一目标进行射击目标进行射击,各次的弹着点不尽相各次的弹着点不尽相同同,在一次射击之前无法预测弹着点在一次射击之前无法预测弹着点的确切位置的确切位置.例如例如:一门火炮在一定条件下进行射击一门火炮在一定条件下进行射击,个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差机性的误差,但大量炮弹的弹着点则表但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性现出一定的规律性,如一定的命中率如一定的命中率,一一定的分布规律等等定的分布规律等等.又又如如:在在一一个个容容器器内内有有许许多多气气体体分分子子,每每个个气气体体分分子子的的运运动动存存在在着着不不定定性性,无无法法预预言言它它在在指指定定时时刻刻的的动动量量和和方方向向.但但大大量量分分子子的的平平均均活活动动却却呈呈现现出出某某种种稳稳定定性性,如如在在一一定定的的温温度度下下,气气体体对对器器壁壁的的压压力力是是 稳稳 定定 的的,呈呈 现现“无无 序序 中中 的的 规规 律律”.特点特点 2 不定性现象在大量重复观察或试验下，它的不定性现象在大量重复观察或试验下，它的结果却呈现出固有规律性结果却呈现出固有规律性.统计规律性统计规律性 在个别试验中其结果呈现出不确定性在个别试验中其结果呈现出不确定性,在大量重复在大量重复观察或试验中其结果却具有统计规律性的现象观察或试验中其结果却具有统计规律性的现象,称为称为随随机现象机现象.从表面上看从表面上看,随机现象的每一次观察结果都随机现象的每一次观察结果都是随机的是随机的,但多次观察某个随机现象但多次观察某个随机现象,便可以发现便可以发现,在大量的偶然之中存在着必然的规律在大量的偶然之中存在着必然的规律.小小 结结概率论的研究对象概率论的研究对象 随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性第一章第一章 随机事件及概率随机事件及概率第一节第一节 随机事件随机事件随机试验随机试验样本空间样本空间随机事件随机事件事件之间的关系与运算事件之间的关系与运算事件运算法则事件运算法则 我们了解到，随机现象有其偶然性的一面，我们了解到，随机现象有其偶然性的一面，我们了解到，随机现象有其偶然性的一面，我们了解到，随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现在大量也有其必然性的一面，这种必然性表现在大量也有其必然性的一面，这种必然性表现在大量也有其必然性的一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性，称为重复试验或观察中呈现出的固有规律性，称为重复试验或观察中呈现出的固有规律性，称为重复试验或观察中呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性.而概率论正是研究随而概率论正是研究随而概率论正是研究随而概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科机现象统计规律性的一门学科机现象统计规律性的一门学科机现象统计规律性的一门学科.现在，就让我们一起，步入这充满随机性现在，就让我们一起，步入这充满随机性现在，就让我们一起，步入这充满随机性现在，就让我们一起，步入这充满随机性的世界，开始第一步的探索和研究的世界，开始第一步的探索和研究的世界，开始第一步的探索和研究的世界，开始第一步的探索和研究.概率论是研究随机现象的规律性的科学概率论是研究随机现象的规律性的科学概率论是研究随机现象的规律性的科学概率论是研究随机现象的规律性的科学.一、随机试验一、随机试验 研究随机现象研究随机现象,首先要对研究对象进行首先要对研究对象进行观察试验观察试验.所谓所谓试验试验就是一定的综合条件的就是一定的综合条件的实现实现,这种综合条件可以任意多次重复出现这种综合条件可以任意多次重复出现.大量现象就是很多次试验的结果大量现象就是很多次试验的结果.在试验结在试验结果中果中,所发生的现象叫做事件所发生的现象叫做事件.几个具体试验几个具体试验 :的情况的情况的情况的情况.和反面和反面和反面和反面观察正面观察正面观察正面观察正面将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次,T THHE E2 2出现出现出现出现 :观察正面观察正面观察正面观察正面将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次,HHE E7 7出现的次数出现的次数出现的次数出现的次数.在一批灯泡中任意抽取一支在一批灯泡中任意抽取一支在一批灯泡中任意抽取一支在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命测试它的寿命测试它的寿命测试它的寿命.上述试验具有下列共同的特点上述试验具有下列共同的特点上述试验具有下列共同的特点上述试验具有下列共同的特点:(1)(1)试验可以在相同的条件下重复进行试验可以在相同的条件下重复进行试验可以在相同的条件下重复进行试验可以在相同的条件下重复进行;(2)(2)每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能事并且能事并且能事并且能事先明确试验的所有可能的结果先明确试验的所有可能的结果先明确试验的所有可能的结果先明确试验的所有可能的结果;(3)(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会进行一次试验之前不能确定哪一个结果会进行一次试验之前不能确定哪一个结果会进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现出现出现出现.在概率论中将具有上述特点的试验称为在概率论中将具有上述特点的试验称为在概率论中将具有上述特点的试验称为在概率论中将具有上述特点的试验称为随机试随机试随机试随机试验验验验.二、二、样本空间样本空间 :观察正面观察正面观察正面观察正面将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次,HHE E7 7出现的次数出现的次数出现的次数出现的次数.我们注意到我们注意到 试验被观察到多个不同的结果试验被观察到多个不同的结果试验被观察到多个不同的结果试验被观察到多个不同的结果.试验的全部可能结果试验的全部可能结果试验的全部可能结果试验的全部可能结果,是在试验前就明确的是在试验前就明确的是在试验前就明确的是在试验前就明确的;或者虽或者虽或者虽或者虽不能确切知道试验的全部可能结果不能确切知道试验的全部可能结果不能确切知道试验的全部可能结果不能确切知道试验的全部可能结果,但可知道它不超过但可知道它不超过但可知道它不超过但可知道它不超过某个范围某个范围某个范围某个范围.样本空间样本空间我们把随机试验的每个基本结果即基本事件，也我们把随机试验的每个基本结果即基本事件，也我们把随机试验的每个基本结果即基本事件，也我们把随机试验的每个基本结果即基本事件，也称为称为称为称为样样本点本点本点本点，记作，记作，记作，记作 .全体样本点的集合称为全体样本点的集合称为全体样本点的集合称为全体样本点的集合称为样样本空本空本空本空间间.样本空间用样本空间用样本空间用样本空间用 表示表示表示表示.A.样本点样本点 例如例如例如例如,试验是将一枚硬币抛掷两次试验是将一枚硬币抛掷两次试验是将一枚硬币抛掷两次试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面观察正面观察正面观察正面HH、反面反面反面反面T T出现的情况出现的情况出现的情况出现的情况:=(=(H,HH,H),(),(H,TH,T),(),(T,HT,H),(),(T,TT,T)第第第第1 1次次次次第第第第2 2次次次次HHHHT THHHHT TT TT T(H,TH,T)：(T,HT,H):):(T,TT,T)：(H,HH,H):):在每次试验中必有在每次试验中必有在每次试验中必有在每次试验中必有一个样本点出现且仅一个样本点出现且仅一个样本点出现且仅一个样本点出现且仅有一个样本点出现有一个样本点出现有一个样本点出现有一个样本点出现 .则样本空间则样本空间则样本空间则样本空间如果试验是测试某灯泡的寿命：如果试验是测试某灯泡的寿命：如果试验是测试某灯泡的寿命：如果试验是测试某灯泡的寿命：则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，=t：t 0样本空间样本空间样本空间样本空间故故故故 若试验是将一枚硬币抛掷两次若试验是将一枚硬币抛掷两次若试验是将一枚硬币抛掷两次若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现观察正面出现观察正面出现观察正面出现的次数：的次数：的次数：的次数：则样本空间则样本空间则样本空间则样本空间 :观察正面观察正面观察正面观察正面将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次,HHE E7 7出现的次数出现的次数出现的次数出现的次数.请注意：请注意：请注意：请注意：实际中实际中实际中实际中,在进行随机试验时在进行随机试验时在进行随机试验时在进行随机试验时,我们往往我们往往我们往往我们往往会关心某个或某些结果是否会出现会关心某个或某些结果是否会出现会关心某个或某些结果是否会出现会关心某个或某些结果是否会出现.例如在测试某灯泡的寿命这一试验中例如在测试某灯泡的寿命这一试验中例如在测试某灯泡的寿命这一试验中例如在测试某灯泡的寿命这一试验中,若规定若规定若规定若规定灯泡的寿命灯泡的寿命灯泡的寿命灯泡的寿命 (小时小时小时小时)小于小于小于小于500500为次品为次品为次品为次品,那么我们关心那么我们关心那么我们关心那么我们关心灯泡的寿命灯泡的寿命灯泡的寿命灯泡的寿命 是否满足是否满足是否满足是否满足 .或者说或者说或者说或者说,我们关心我们关心我们关心我们关心满足这一条件的样本点组成的一个集合满足这一条件的样本点组成的一个集合满足这一条件的样本点组成的一个集合满足这一条件的样本点组成的一个集合 .三、随机事件三、随机事件在试验的结果中在试验的结果中在试验的结果中在试验的结果中,有可能发生有可能发生有可能发生有可能发生,也有可能不发生也有可能不发生也有可能不发生也有可能不发生的事件的事件的事件的事件,叫做叫做叫做叫做随机事件随机事件随机事件随机事件.通常用字母通常用字母通常用字母通常用字母A,B,C,.A,B,C,.表表表表示随机事件示随机事件示随机事件示随机事件.例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中，我们可以研究以下试验：我们可以研究以下试验：我们可以研究以下试验：我们可以研究以下试验：“掷出掷出1点点”“掷出掷出1点点”A A=掷出掷出掷出掷出1 1点点点点；B B=掷出奇数点掷出奇数点掷出奇数点掷出奇数点；C C=掷出的点数小于掷出的点数小于掷出的点数小于掷出的点数小于44等等等等两个特殊的事件：两个特殊的事件：必必必必件件件件然然然然事事事事例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于掷出点数小于掷出点数小于掷出点数小于7 7”是必是必是必是必然事件然事件然事件然事件;即在试验中必定发生的事件，常用即在试验中必定发生的事件，常用即在试验中必定发生的事件，常用即在试验中必定发生的事件，常用U U表示表示表示表示;不不不不件件件件可可可可事事事事能能能能即在一次试验中不可能发生的事件，常用即在一次试验中不可能发生的事件，常用即在一次试验中不可能发生的事件，常用即在一次试验中不可能发生的事件，常用V V 表示表示表示表示 .而而而而“掷出点数掷出点数掷出点数掷出点数8 8”则是不可能事件则是不可能事件则是不可能事件则是不可能事件.如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .事件事件事件事件 B=B=掷出奇数点掷出奇数点掷出奇数点掷出奇数点 事件事件事件事件 A=A=掷出掷出掷出掷出1 1点点点点 事件事件事件事件 C C 出现的点数大于出现的点数大于出现的点数大于出现的点数大于4444=基本事件基本事件基本事件基本事件:(相对于观察目的不可再分解的事件相对于观察目的不可再分解的事件相对于观察目的不可再分解的事件相对于观察目的不可再分解的事件)事件事件事件事件 B B=掷出奇数点掷出奇数点掷出奇数点掷出奇数点 如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .事件事件事件事件 A Ai i =掷出掷出掷出掷出i i点点点点,i i=1,2,3,4,5,6=1,2,3,4,5,6由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集.基本事件基本事件基本事件基本事件 当且仅当集合当且仅当集合当且仅当集合当且仅当集合A A中的一个样本点中的一个样本点中的一个样本点中的一个样本点出现时出现时出现时出现时,称称称称事件事件事件事件A A发生发生发生发生.如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .事件事件事件事件 B=B=掷出奇数点掷出奇数点掷出奇数点掷出奇数点 B B发生当且仅当发生当且仅当发生当且仅当发生当且仅当B B中的样本点中的样本点中的样本点中的样本点1,1,3,53,5中的某一个中的某一个中的某一个中的某一个出现出现出现出现.四、事件间的关系与运算四、事件间的关系与运算同时发生所构成的事件为同时发生所构成的事件为同时发生所构成的事件为同时发生所构成的事件为称事件称事件称事件称事件的积事件。的积事件。的积事件。的积事件。则称则称则称则称为为为为 两事件两事件两事件两事件A A、B B互斥：互斥：互斥：互斥：两事件两事件两事件两事件A A、B B互逆或互为对立事件互逆或互为对立事件互逆或互为对立事件互逆或互为对立事件即即即即A A与与与与B B不可能同时发生不可能同时发生不可能同时发生不可能同时发生.除要求除要求除要求除要求A A、B B互斥互斥互斥互斥()外，还要求外，还要求外，还要求外，还要求 则称这则称这则称这则称这n n n n个事件构成个事件构成个事件构成个事件构成完备事件组完备事件组完备事件组完备事件组。如果如果n n个事件个事件 中至少有一个事件中至少有一个事件一定发生，一定发生，即即7 7、互不相容的完备事件组、互不相容的完备事件组、互不相容的完备事件组、互不相容的完备事件组:五、事件运算法则五、事件运算法则例例例例4 4 4 4或或或或练习练习1 设一个工人生产了三个零件，记设一个工人生产了三个零件，记 表示第表示第 个零件是正品（个零件是正品（=1，2，3），），试表示：试表示：（1）没有一个零件是次品；）没有一个零件是次品；（2）只有第一个零件是次品；）只有第一个零件是次品；（3）恰好有一个零件是次品；）恰好有一个零件是次品；（4）至少有一个零件是次品。）至少有一个零件是次品。四、小结四、小结样本空间和随机事件的定义样本空间和随机事件的定义事件间的关系与事件的运算事件间的关系与事件的运算 第二节第二节 随机事件的概率随机事件的概率频率频率概率的统计定义概率的统计定义频率的性质频率的性质 研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是小，也就是小，也就是小，也就是事件的概率事件的概率事件的概率事件的概率.概率是随机事件概率是随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量 事件发生的可能性事件发生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！了解事件发生的可能性即概率的大了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？小，对人们的生活有什么意义呢？我先给大家举几个例子，也希望你我先给大家举几个例子，也希望你们再补充几个例子们再补充几个例子.例如，了解发生意外人身事故的例如，了解发生意外人身事故的可能性大小可能性大小,确定保险金额确定保险金额.了解来商场购物的顾客人数的各种了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员可能性大小，合理配置服务人员.了解每年最大洪水超警戒线可能了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度性大小，合理确定堤坝高度.一、一、频率频率试验者试验者抛币次数抛币次数n“正面向上正面向上”次次数数 频率频率De Morgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005抛掷钱币试验记录抛掷钱币试验记录 可见可见,在大量重复的试验中在大量重复的试验中,随机事件出现的随机事件出现的频率具频率具 有稳定性有稳定性.即通常所说的即通常所说的统计规律性统计规律性.二、概率的统计定义二、概率的统计定义三、概率的性质三、概率的性质由概率的公理化定义，可以推得概率的一些重要性质由概率的公理化定义，可以推得概率的一些重要性质.性质性质1 对于任意事件对于任意事件性质性质2性质性质3 对于两两互不相容对于两两互不相容的的个事件个事件 则有则有则有则有特别地特别地,对于互不相容事件对于互不相容事件,有有有有,性质性质4 设设为任意两个事件为任意两个事件为任意两个事件为任意两个事件,则有则有则有则有 ,特别地特别地，若事件若事件,则有则有则有则有性质性质5 设设是随机事件是随机事件的对立事件的对立事件的对立事件的对立事件,则有则有则有则有特别地特别地 性质性质6 对于任意的事件对于任意的事件,有有有有,推广推广:设设是三个事件是三个事件,则有则有 三个事件和的概率公式三个事件和的概率公式例例1 某乳业公司向一小区提供两种乳品：纯牛某乳业公司向一小区提供两种乳品：纯牛奶和酸奶奶和酸奶.经调查经调查,小区内住户订纯牛奶的有小区内住户订纯牛奶的有45%,订酸奶的有订酸奶的有35%,两种都订的有两种都订的有10%.现从现从小区内任选一住户小区内任选一住户,求求:(1)(1)此住户至少订一种奶品的概率此住户至少订一种奶品的概率此住户至少订一种奶品的概率此住户至少订一种奶品的概率;(2)(2)此住户只订一种奶品的概率此住户只订一种奶品的概率此住户只订一种奶品的概率此住户只订一种奶品的概率.解解 设设 订纯牛奶订纯牛奶,订酸奶订酸奶,则则 至少订一种奶品至少订一种奶品.(1)(2)只订一种奶品只订一种奶品,小小 结结 1.随机事件的频率随机事件的频率.2.2.统计规律性统计规律性-频率的稳定频率的稳定性性.3.3.概率的统计定概率的统计定义义.4.4.概率的性质概率的性质.第三节第三节 古典概型古典概型古典概型及其概率计算古典概型及其概率计算几何概率几何概率 我我们们首首先先引引入入的的计计算算概概率率的的数数学学模模型型，是是在在概概率率论论的的发发展展过过程程中中最最早早出出现现的的研研究究对象，通常称为对象，通常称为古典概型古典概型 一、古典概型及其概率计算一、古典概型及其概率计算 在古代在古代在古代在古代,人们利用研究对象的物理或几何性质人们利用研究对象的物理或几何性质人们利用研究对象的物理或几何性质人们利用研究对象的物理或几何性质所具有的对称性确定了计算概率的一种方法所具有的对称性确定了计算概率的一种方法所具有的对称性确定了计算概率的一种方法所具有的对称性确定了计算概率的一种方法.例如例如例如例如,在抛掷硬币试验中在抛掷硬币试验中在抛掷硬币试验中在抛掷硬币试验中,令令令令 表示表示表示表示“出现正面出现正面”,表示表示表示表示“出现反面出现反面出现反面出现反面”,则样本空间则样本空间则样本空间则样本空间 中两个基本中两个基本中两个基本中两个基本事件事件事件事件 和和和和 发生的可能性是相等的发生的可能性是相等的发生的可能性是相等的发生的可能性是相等的,因而因而因而因而可以规定可以规定可以规定可以规定=常常把这样的试验结果称为常常把这样的试验结果称为“等可能的等可能的”.e1,e2,，eN 试验结果试验结果你认为哪个你认为哪个结果出现的结果出现的可能性大？可能性大？称这种试验为称这种试验为称这种试验为称这种试验为等可能随机试验等可能随机试验等可能随机试验等可能随机试验或或或或古典概型古典概型古典概型古典概型.若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件：(1)(1)它的样本空间只有有限多个样本点；它的样本空间只有有限多个样本点；它的样本空间只有有限多个样本点；它的样本空间只有有限多个样本点；(2)(2)每个样本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同.定义定义定义定义 1 1 概率的古典定义概率的古典定义 试验的样本空间总共有试验的样本空间总共有 N N 个等个等可能的基本事件可能的基本事件,其中有且仅有其中有且仅有 M M 个个基本事件是包含于随机事件基本事件是包含于随机事件 A A 的的,则则随机事件随机事件 A A 所包含的基本事件数所包含的基本事件数 M M 与基本事件总数与基本事件总数 N N 的比值叫做随机的比值叫做随机事件事件 A A 的概率的概率,记作记作 P(A),P(A),即即THTHHHTT例例例例1 1 1 1 将一枚硬币抛二次将一枚硬币抛二次将一枚硬币抛二次将一枚硬币抛二次（2 2）解解解解（1 1）例例例例3 3 3 3 设有设有设有设有N N件产品件产品件产品件产品,其中有其中有其中有其中有MM件次品件次品件次品件次品,现从这现从这现从这现从这N N件中件中件中件中任取任取任取任取n n件件件件,求其中恰有求其中恰有求其中恰有求其中恰有k k件次品的概率件次品的概率件次品的概率件次品的概率.这是一种无放回抽样这是一种无放回抽样这是一种无放回抽样这是一种无放回抽样.解解解解 令令令令B B=恰有恰有恰有恰有k k件次品件次品件次品件次品 P(P(B B)=)=？次品次品次品次品正品正品正品正品MM件次件次件次件次品品品品N-MN-M件件件件正品正品正品正品 例例例例4 4 将将将将3 3个球随机的放入个球随机的放入个球随机的放入个球随机的放入3 3个盒子中去，问：个盒子中去，问：个盒子中去，问：个盒子中去，问：（1 1）每盒恰有一球的概率是多少？）每盒恰有一球的概率是多少？）每盒恰有一球的概率是多少？）每盒恰有一球的概率是多少？（2 2）空一盒的概率是多少？）空一盒的概率是多少？）空一盒的概率是多少？）空一盒的概率是多少？解解解解 设设设设 每盒恰有一球每盒恰有一球每盒恰有一球每盒恰有一球,空一盒空一盒空一盒空一盒 .3 3个球随机的放入个球随机的放入个球随机的放入个球随机的放入3 3个盒子中共有个盒子中共有个盒子中共有个盒子中共有 种不同放法种不同放法种不同放法种不同放法,即试验所含的基本事件总数是即试验所含的基本事件总数是即试验所含的基本事件总数是即试验所含的基本事件总数是 个个,(1)(1)事件事件事件事件 包含的基本事件个数是包含的基本事件个数是包含的基本事件个数是包含的基本事件个数是 个个,所以所以(2)(2)()“等可能性等可能性等可能性等可能性”是一种假设，在实际应用中，我是一种假设，在实际应用中，我是一种假设，在实际应用中，我是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的事件或样本点是等可能的事件或样本点是等可能的事件或样本点是等可能的.在应用古典概型时必须注意在应用古典概型时必须注意在应用古典概型时必须注意在应用古典概型时必须注意“等可能性等可能性等可能性等可能性”的条件的条件的条件的条件.请注意：请注意：二、几何概率二、几何概率 在概率论的发展初期，人们就认识到，仅假在概率论的发展初期，人们就认识到，仅假在概率论的发展初期，人们就认识到，仅假在概率论的发展初期，人们就认识到，仅假定样本空间为有限样本空间是不够的，有时需要定样本空间为有限样本空间是不够的，有时需要定样本空间为有限样本空间是不够的，有时需要定样本空间为有限样本空间是不够的，有时需要处理有无穷多个样本点的情形处理有无穷多个样本点的情形处理有无穷多个样本点的情形处理有无穷多个样本点的情形.我们先看下面两个我们先看下面两个我们先看下面两个我们先看下面两个例子例子例子例子.例例例例5 5 在区间在区间在区间在区间11，66上随机地任意产生一个数上随机地任意产生一个数上随机地任意产生一个数上随机地任意产生一个数，求求求求 不大于不大于不大于不大于 的概率的概率的概率的概率.例例例例6 6 随机地在单位圆域内任掷一点随机地在单位圆域内任掷一点随机地在单位圆域内任掷一点随机地在单位圆域内任掷一点，求点，求点，求点，求点 到原点距离不大于到原点距离不大于到原点距离不大于到原点距离不大于 的概率的概率的概率的概率.以上两个例子都具有以上两个例子都具有以上两个例子都具有以上两个例子都具有“等可能性等可能性等可能性等可能性”的特征的特征的特征的特征.描述这样一些随机试验的样本空间描述这样一些随机试验的样本空间描述这样一些随机试验的样本空间描述这样一些随机试验的样本空间，都是一个，都是一个，都是一个，都是一个 区间或区域，其样本点在区域区间或区域，其样本点在区域区间或区域，其样本点在区域区间或区域，其样本点在区域 内具有内具有内具有内具有“等可能分布等可能分布等可能分布等可能分布”的特点的特点的特点的特点.设区域设区域设区域设区域，如果样本点落入，如果样本点落入，如果样本点落入，如果样本点落入 中，中，中，中，我们就说事件我们就说事件我们就说事件我们就说事件 发生了发生了发生了发生了.这样可作以下定义这样可作以下定义这样可作以下定义这样可作以下定义.定义定义定义定义2 2 设样本空间设样本空间设样本空间设样本空间 为一个有限区域，以为一个有限区域，以为一个有限区域，以为一个有限区域，以 表示表示表示表示 的度量（一维为长度，二维为面积，三维为体积等）的度量（一维为长度，二维为面积，三维为体积等）的度量（一维为长度，二维为面积，三维为体积等）的度量（一维为长度，二维为面积，三维为体积等）.是是是是 中一个可以度量的子集，中一个可以度量的子集，中一个可以度量的子集，中一个可以度量的子集，表示表示表示表示 的度量，定义的度量，定义的度量，定义的度量，定义为事件为事件为事件为事件 发生的概率，称其为发生的概率，称其为发生的概率，称其为发生的概率，称其为几何概率几何概率几何概率几何概率.在许多场合，在许多场合，在许多场合，在许多场合，由对称性和均衡性，由对称性和均衡性，由对称性和均衡性，由对称性和均衡性，我们就可我们就可我们就可我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率件的概率件的概率件的概率.四、小结四、小结古典概型的定义古典概型的定义古典概率的求法古典概率的求法几何概率几何概率1.4 条件概率条件概率条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式 在解决许多概率问题时，往往需要在有某在解决许多概率问题时，往往需要在有某在解决许多概率问题时，往往需要在有某在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息些附加信息些附加信息些附加信息(条件条件条件条件)下求事件的概率下求事件的概率下求事件的概率下求事件的概率.一、一、条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式 1.1.条件概率的概念条件概率的概念条件概率的概念条件概率的概念如在事件如在事件如在事件如在事件B B发生的条件下求事件发生的条件下求事件发生的条件下求事件发生的条件下求事件A A发生的概率，发生的概率，发生的概率，发生的概率，将此概率记作将此概率记作将此概率记作将此概率记作P P(A A|B B).).一般地一般地 P(A|B)P(A)P P(A A)=1/6)=1/6，例例例例如如如如，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，A A=掷出掷出掷出掷出2 2点点点点，B B=掷出偶数点掷出偶数点掷出偶数点掷出偶数点，P P(A A|B)B)=？掷骰子掷骰子掷骰子掷骰子 已知事件已知事件已知事件已知事件B B发生，此时试验所有可能发生，此时试验所有可能发生，此时试验所有可能发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是结果构成的集合就是结果构成的集合就是结果构成的集合就是B B，P P(A A|B B)=1/3.)=1/3.B B中共有中共有中共有中共有3 3个元素个元素个元素个元素,它们的出现是等它们的出现是等它们的出现是等它们的出现是等可能的可能的可能的可能的,其中只有其中只有其中只有其中只有1 1个在集个在集个在集个在集A A中中中中.容易看到容易看到容易看到容易看到P(A|B)若事件若事件若事件若事件B B已发生已发生已发生已发生,则为使则为使则为使则为使 A A也也也也发生发生发生发生 ,试验结果必须是既试验结果必须是既试验结果必须是既试验结果必须是既在在在在 B B 中又在中又在中又在中又在A A中的样本点中的样本点中的样本点中的样本点 ,即即即即此点必属于此点必属于此点必属于此点必属于ABAB.由于我们已经由于我们已经由于我们已经由于我们已经知道知道知道知道B B已发生已发生已发生已发生,故故故故B B变成了新的变成了新的变成了新的变成了新的样本空间样本空间样本空间样本空间 ,于是于是于是于是 有有有有(1).(1).设设设设A A、B B是两个事件，且是两个事件，且是两个事件，且是两个事件，且P P(B B)0,)0,则则则则 (1)(1)2.2.条件概率的定理条件概率的定理条件概率的定理条件概率的定理由条件概率的定义：由条件概率的定义：由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即即即 若若若若P P(B B)0,)0,则则则则P P(ABAB)=)=P P(B B)P P(A A|B B)(2)(2)3.3.3.3.乘法公式乘法公式乘法公式乘法公式若已知若已知若已知若已知P P(B B),),P P(A A|B B)时时时时,可以反求可以反求可以反求可以反求P P(ABAB).).P P(A A)0,)0,则则则则 P P(ABAB)=)=P P(A A)P P(B B|A A)(3)(3)(2)(2)和和和和(3)(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式式都称为乘法公式式都称为乘法公式,利用利用利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率注意注意P(AB)与与P(A|B)的区别！的区别！请看下面的例子请看下面的例子 例例例例1 1 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产10001000个零件，个零件，个零件，个零件，其中其中其中其中 300300件是乙厂生产的件是乙厂生产的件是乙厂生产的件是乙厂生产的.而在这而在这而在这而在这300300个零件中，个零件中，个零件中，个零件中，有有有有189189个是标准件，现从这个是标准件，现从这个是标准件，现从这个是标准件，现从这10001000个零件中任取个零件中任取个零件中任取个零件中任取一个，问一个，问一个，问一个，问这个零件是乙厂生产的标准件这个零件是乙厂生产的标准件这个零件是乙厂生产的标准件这个零件是乙厂生产的标准件的概率的概率的概率的概率是多少？是多少？是多少？是多少？所求为所求为所求为所求为P P(ABAB).).设设设设B B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产零件是乙厂生产零件是乙厂生产 A A=是标准件是标准件是标准件是标准件 若改为若改为若改为若改为“发现它是发现它是发现它是发现它是乙厂生产的乙厂生产的乙厂生产的乙厂生产的,问它问它问它问它是标准件的概率是标准件的概率是标准件的概率是标准件的概率是多少是多少是多少是多少?”?”求的是求的是求的是求的是 P P(A A|B B).).B B发生发生发生发生,在在在在P P(ABAB)中作为结果中作为结果中作为结果中作为结果;在在在在P P(A A|B B)中作为条件中作为条