磁场专题复习：带电粒子在磁场中的运动轨迹的分析.pdf

有关磁场专题复习分1 的 析带电粒子(不计重力)在匀强磁场中的运动X X X XX X X X分析：带电粒子在磁场中运动时，它所 受的洛伦兹力总与速度方向垂直，洛伦兹力 在速度方向没有分量，所以洛伦兹力不改变 带电粒子速度的大小，或者说洛伦兹力不对 带电粒子做功，不改变粒子的能量。由于粒 子速度大小不变，所以粒子在匀强磁场中所 受洛伦兹力的大小也不改变，加之洛伦兹力 总与速度方向垂直，正好起到了向心力的作 用。所以沿着与磁场垂直的方向射入磁场的 带电粒子，在匀强磁场中做匀速图周运动。(1)洛伦兹力提供向心力qvB=m周期:T=2TTRT=2qB07年理综宁夏卷24题赏析24、在半径为A的半圆形区域中有一匀强磁场，磁 场的方向垂直于纸面，磁感应强度为石。一质量为根,带有电量夕的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径力D 方向经P点（4P=d 射入磁场（不计重力影响）。如果粒子恰好从a点射出磁场,求入射粒子的速度。如果粒子经纸面内。点从磁场中射出，出射方向与 半圆在2点切线方向的夹角为、如图）。求入射粒子的速度。一为入、I)解：由于粒子在P点垂直射入磁场，故圆弧 轨道的圆心在ZP上，ZP是直径。设入射粒子的速度为匕，由洛伦兹力的表达式 和牛顿第二定律得：解得：匕=警2m设0是粒子在磁场中圆弧轨道的圆心，连接设由几何关系得：AOQO=(pOOr=R!+R-dAOf O D由余弦定理得：(OO)2=R2+R2-2初C0S(P解得：R=R dl2/1(1+cos(p)-d设入射粒子的速度为也由v2 m=qBv解得：v=qBd(2R-d)2m R(l+coscp)-d此题是通过粒子的一段运动轨迹找圆心位置 以及确定轨迹圆和磁场圆半径的几何关系，尤其是“余弦定理”的应用，这是应用数学 知识处理物理问题最为突出的地方。考生只 有具备扎实的应用数学知识处理物理问题的 能力，才能根据问题和运动规律列出物理量 之间的关系式，从而进行推理和求解。思路导引：带电粒子在匀强磁场中做圆7RJ运动在高中物理中占有非常重要的地位，既是高中物理一个难点，又是高考 的热点。解决这类问题既要用到物理中的洛伦兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的几何知识，综合性强。带电粒子做匀速圆周运动的求解关键是画轨迹、找圆心，根据几何图形关系，确定它的半径、偏向角，最后求出带电粒子 在磁场中的运动时间。带电粒子（不计重力）在匀强磁场中的运动 圆心的确定：xp x:基本思路：圆心一定在与速度方向垂直咬又、x：的直线上，通常有两种方法：1乂 乂 x x/乂 Y a、两个速度方向垂直线的交点。|个*x；（常用在有界磁场的入射与出射方向x x!已知的情况下）ixx x!b、一个速度方向的垂直线和一条弦的卜从，中垂线的交点 lxzx x!x x!注意：从一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边 界的夹角（弦切角）相等。带电粒子沿径向射入圆形磁场区 域内，必从径向射出。关注几种常见图形的画法，如图所示:1、直线边界（进出磁场具有对称性）2、平行边界（存在临界条件）3、圆形边界（沿径向射入必沿径向射出）X X X X半径的确定主要由三角形几何关系求出（一般是三角形的边边关系、边角关系、全等、相似等）。例如：已知出射速度与水平方 向夹角0，磁场宽度为d,则有关系式Ld/sin0,如图所示。再例如：已知出射速度与水平方向夹角。和圆形磁场区域的 半径r,则有关系式R=（cot，如图所示。0。声运动时间的确定先确定偏向角。带电粒子射出磁场的速度方向对射入磁场的 速度的夹角e,即为偏向角，它等于入射点与出射点两条半径间 的夹角（圆心角或回旋角）。由几何知识可知，它等于弦切角 的2倍，即8=2a=3t,如图所示。然后确定带电粒子通过磁场的时间。粒子在磁场中运动一周27zm的时间为厂舞，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为e时,其运动时间甫下式表示：O3603T带电粒子在无界磁场中的运动【例题】如图，在例=9.1 X10 4T 的匀强磁场中，。、D是垂直于 磁场方向的同一平面上的两点,相距=0.05m。在磁场中运动 的电子经过C点时的速度方向 与CD成”=30。角，并与CD在同 一平面内，问：X X X xX X o X X(1)若电子后来又经过刀点，则电子的速度大小是多少?(2)电子从。到刀经历的时间是多少？(电子质量a=9.lxio3ikg,电量=L6X10-19C)带电粒子在半无界磁场中的运动如果垂直磁场边界进入，粒子作半运动后垂直原边界飞出;XXXX如果与磁场边界成夹角。进入，仍以与磁场 边界夹角。飞出（有两种轨迹，图中若两轨迹 共弦，则01=02）。B【例题】如图所示，在YeBd/m(1+sin0)B.veBd/m(1+cos0)C.v eBd/msinO D.v5BqL/4m；C.使粒子的速度vBqL/m；D.使粒子速度BqL/4mvv5BqL/4moA,o2xx、匕、/XX VxXXX粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在5点，有 L4 2VqvB=m一qBrx_ qBL.”蟠 4mX Vx X XX X X X粒子擦着上板从右边穿出时，圆心在。2点，有=Z?+(r-1)2 2号_qBr _5qBL 5qBLV2=”Vm 4m 4 加粒子不打春搬橡上可第从左端穿出，曲可能从右端穿出，盛须全面分析问题.拓展：一大群这种带电粒子沿平行于板的方向从各个 位置以速度V从金属板的左端射入板间，为了使这些正 电荷都不从板间穿出，这些带电粒子的速度需满足什 么条件?5dXX dxXtxMX N带电粒子沿逆时针方向做半径相同的匀速圆周运动，如果从 下板进入场区的带电粒子不从板间穿出，则这些正电荷就都 不从板间穿出.eBd/3eBd-v-2mm2.如图所示，一足够长的矩形区域abed内充满方向垂 直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边 中点。方向垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹角 0=30。、大小为V。的带电粒子，已知粒子质量为m、电量为q,ab边足够长，ad边长为L,粒子的重力不 计。求：,粒子能从ab边上射出磁场的V。大小范围。.如果带电粒子不受上述V。大小范围的限制，求粒子 在磁场中运动的最长时间。XXXXXXXXX XX XX XXX571m3qB7|(l+sin30)rx-，3、，_qBq _qBLH-一-m 3mG=LqBr2 _ qBLm m qBL vx X X XX X X X X X XX X X/XX XX XX XX XXX XX/zxXX XXXXX XX 勺X/XX X X X X X XX X XX X XX X X X X X X XXXxxxxxxxxxxxxxxx x x x x xxXIX XXX X/炎XX XXXXXXXXXXXXXXXX XXxq、文 y x_x JGXXXXX力、X XXXX&XXX X X XX，攵X X X X X二_X-XXXXXXXXX X XXXXXXXXX XX带电粒子在形磁场区域中的运动穿过圆形磁场区。画好辅助线（半径、速度、轨 迹圆的圆心、连心线）。偏向角可由S=二求出。*2 R 9R、/勺小a g，/经历时间由，=运得出。?;/Bq Of/注意：由对称性,射出线的反向延长线必过磁场圆的 圆心。【例题】圆形区域内存在垂直纸面的半径为R的匀强磁 场，磁感强度为B,现有一电量为q、质量为m的正离子从a点沿圆形区域的直径射入,方向与入射方向的夹角为60。,设正离子射出磁场区域的 求此离子在磁场区域内飞行的时间及射出的位置。(_ 60 丁 _ 1 2Tzm _ 7im360。6qB3qBx=R cos60=R2厂y=Ksin60。=RJ 2x 1 V3凡三R)【习题】1、电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术 实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆 形匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。磁 场区的中心为0,半径为r。当不加磁场时，电子束将 通过0点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏 幕边缘P,需要加磁场，使电子束偏转一已知角度。，此时磁场的磁感应强度PM+peU=mv2 2y 2 evB=mR2、如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反旦都 垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径N.4为边界的两个 半圆形区域I、II中，474与的夹角为6。一质 量为阳、带电量为+夕的粒子以某一速度从I区的边缘点 4处沿与44成30。角的方向射入磁场，随后该粒子以 垂直于的方向经过圆心。进入II区，最后再从4处 射出磁场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为，,求I区和n区中磁感应强度的大小（忽略粒子重力）。解析：设粒子的入射速度为V,已知粒子带正电，故他在磁场中先顺时针做圆 周运动，再逆时针做圆周运动，最后从，4射出，如图2所示。用B7、4、R、尺2、丁1、72分别表示在磁场I区和II区中磁感应强度、轨道半径和周期，2 2V VqvB、=m=m 如 2兀R、2jim r-_ 271nlL V 一遇设圆形区域的半径为r,已知带电粒子过圆心且垂直于Z24进入II区磁场。连 接44，冽。4为等边三角形，4 2为带电粒子在I区磁场中运动轨迹的圆心，其轨迹的半径 弓=44=。4圆心角 244。帮她粒子在I区中运动 的时间为 A=771 6 1带电粒子在n区磁场中运动轨迹的圆心在04的中点，即衣2=)粒子在磁场n中运动的时间为t2/T-y带电粒子运动的总时间为 t=tx+t2/J.，?：、士 7 匚一r”日 八 57rm 八 57rm /有以上各式可得 4=-B、./*”:;6qt 3qt、./*/夕JJ3、如图所示，虚线所围区域内有方向垂直纸面向里 的匀强磁场，磁感应强度为石。一束电子沿圆形区域 的直径方向以速度以射入磁场，电子束经过磁场区后,其运动的方向与原入射方向成夕角。设电子质量为阳,电荷量为不计电子之间的相互作用力及所受的重力。求：X(1)电子在磁场中运动轨迹的半径A；工室必(2)电子在磁场中运动的时间介、x(3)圆形磁场区域的半径入解：（1 由牛顿第二定律和洛沦兹力公式得evB=mv2/R解得 R崂 eB（2 设电子做匀速圆周运动的周期为T,贝 Ij T=27iR=27rmv eB由如图所示的几何关系得:圆心角a=0所以a m3t=2T=lB 3 由如图所示几何关系可知,所以/a r tan=2 Rmv 0r-tan一eB 2变式考题：例.如图所示，一个带电量为正的粒子，从A点正对着 圆心0以速度v射入半径为R的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂 直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。要使带 电粒子与圆筒内壁碰撞多次并绕筒一圈后仍从A点射出，求正离子在磁场中运动的时间t.设粒子与圆筒内壁碰撞 时无能量和电量损失，不计粒子的重力。/XX X/x x xx x Z-xjX X X X分析与解：设粒子与圆筒碰（n-l 次有:n（7T0 =2n0=n-2n/n由几何关系得：tan（。/2=R/r正离子在磁场中运动的时间t=n(r0/v)t=(n-2)TT R tan(TT/n)/v(n三 3)再变:若将上题中的“并绕筒一圈”五字去掉呢?还能变吗？阴 力反鎏X j1、筒变成正q鱼喔、立耍 2、原题中的金丽吗?如：不沿半径方啬呢？t=(n-2k)nRtan(kn/n)/v试一试:(n2k k=L 2,3)出道题考考你的同桌4.如图所示，一个质量为m、电量为q的正离子，在小 孔S处正对着圆心0以速度v射入半径为R的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大 小为B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A点 射出，求正离子在磁场中运动的时间t,设粒子与圆筒内 壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。解:粒子经过与圆筒发生n(n=253,4)次与圆筒碰撞从原孔射出，其在圆筒磁场 中运动的轨迹为n+1段对称分布的圆弧，g _ 2万 每段圆弧的圆心角为(Zi)n2正离子在磁场中运动的时间2万 兀一%=(+1)。=(+1)171(n+1)271m _(n-2 兀 qB qBr=Rtan 72+1八 27r6=71-s+i)27r。息=(+1)(_Q)=(_1)乃(一 1)戒 tan-1 n2vv5.如图所示，在半径为R的圆筒内有匀强磁场，质量为m、带电量为q的正离子在小孔S处，以速度V。向着 圆心射入，施加的磁感应强度为多大，此粒子才能在最短的时间内从原孔射出？（设相碰时电量和动能均无损失）解:粒子经过n=2,3,4 次与圆筒 碰撞从原孔射出，其运动轨迹具 有对称性.当发生最少碰撞次数n=2时9=60y=Rcot3QP=CR口 v mvr.qvB=m一 B=-r qr43qR4 Q 1 rri 7UTI t=3x-T=6 qBg成%当发生碰撞次数n=3时8=90r=R 2v mv0 加%qvB=m一 b=-=r qr qR2成%f=4x-r=42TzmqBt可见发生碰撞次数越多，所用时间越长，故当n=2时所用 时间最短r=J?cot30=V3J?R Vo qv0B=m rrq 43Rq思考：求碰撞次数n=2时粒子在磁场中运动的时间.271m 2成/-.-_qB%,126成成t=3x-T=-=-6 2%带电粒子在三角形磁场区域中的运动例题.如图所示，在边长为2a的等边三角形AABC内 存在垂直纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场，有一带 电量为小质量为m的粒子从距八点四的D点垂直于AB 方向进入磁场。若粒子能从AC间离开磁场，求粒子速 率应满足什么条件及粒子从AC间什么范围内射出？答案：要粒子能从AC间离开磁场，粒子速率应满足3Q“)aqB 粒子从距A点(253)。闻 的EG间射出v 43aqB m解题规律小结：1、基本公式需熟练掌握:qvB=rt=-T InT 2 1=-vI*CC B或t=T 3602、画轨迹找几何关系列相应方程1 确定圆心；2 求半径；3 求时间3、注意题设中的隐含条件和临界条件