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索洛模型文献综述
摘要：经济增长一直是经济学讨论的焦点之一,经济增长理论也自然相伴而生并且层出不穷。从亚当·斯密和大卫·李嘉图为代表的古典经济理论到哈罗德—多马经济增长模型,再到索洛含技术进步因素的新古典经济增长理论,都对经济增长有着不同的建树。本文通过对索洛模型相关文献资料的收集、整理，对索洛模型进行分析总结。

关键词：索洛模型；经济增长

前言
英国古典经济学家亚当·斯密( 1776)在其历史巨著《国富论》中,第一次系统地探讨了达到尽可能快的经济增长的途径,而且也系统地论证了自由竞争的市场经济对近代经济增长的积极作用。他认为,增加国民财富和促进经济增长的主要途径是增加劳动者的数目、增加资本投入、加强分工和改良机器以提高生产率;并指出,这些因素都可以由市场自行解决,而毋须国家的干预。自此以后,经济增长和经济增长理论就成为经济学研究的核心课题之一。经济增长理论的不断发展其实就是经济学家不断寻找和解释经济增长源泉的过程。20世纪50年代末期，索洛等经济学家建立的索洛模型更是对经济增长理论的发展做出了卓越贡献。
一、 模型的基本假定
所有的新古典经济增长模式都采用了同样的一般均衡结构。首先，家庭拥有经济中的投入和资产，并选择收入用于消费和储蓄的份额。其次，厂商雇佣资本和劳动，并用这些投入生产产品以销售给家庭或其他厂商。最后，在市场中，一方面厂商想家庭和其他厂商销售产品，另一方面家庭向厂商供给投入。需求量和供给量决定了各种投入和产品的相对价格。索洛模型的基本假定如下：
（1） 假定经济是封闭的，家庭不能购买外国产品和资产，也不能向国外出售产品和资产。
（2） 假定经济中只存在两种投入，物质资本K(t)和劳动L(t)。生产函数形式为：
Y(t)=F[K(t),L(t)],Y(t)是t时的产出。
（3） 假定产出是用来消费C(t)、投资I(t)或生产新资本K(t)。
（4） 假定储蓄率是外生给定的。
（5） 假定资本折旧率δ<0,是常数。
（6） 假定经济关于时间是连续的。初始的资本和劳动水平给定，分别为K0，L0且人口以不变的外生变量增长，即n≥0。
二、 模型的基本性质
索洛模型的核心是其新古典生产函数，如果忽略技术变化则有：Y=F(K,L),假设F函数：是二阶连续可微的，并满足如下性质：
(1)对所有K>0,L>0,F函数是一个非递减函数，投入越多，产出越多。即，它关于每一投入具有正的和递减的边际产品：
,
,

（2）F函数是一个齐次函数，具有规模收益不变：
对上式进行微分，可得欧拉方程：
即产出在资本和劳动之间分割，厂商利润为零。
（3）生产函数F满足稻田条件（Inada conditions），即：

（4）生产函数F是拟凹函数，实际中一般假设其为严格凹函数，对于λ∈（0,1）,(K1,L1),(K2,L2)有：

（5）物质资本和劳动必须都要投入：F（0,L）=F(K,0)=0
（6）在不变收益假设下，生产函数可写为人均的形式：

三、 索洛模型公式推导
利用因素分析法对索洛模型公式进行推导。
设: t为计算期角码, 0为基期角码, Y为产值, L为劳动力, K为资金,△为增量
因为:产值=资金额×资金产值率　即Y=K (Y/K)
所以:△Y=Yt-Yo=Kt(Yt/Kt) -K0(Y0/K0)
= (Kt-K0) (Y0/K0) +Kt(Yt/Kt-Y0/K0) (①)
因为:产值=劳动人数×劳动生产率　　即Y=L (Y/L)
所以:△Y=Yt-Y0=Lt(Yt/Lt) -L0(Y0/L0)
= (Lt-L0) (Y0/L0) +Lt(Yt/Lt-Y0/L0) (②)
(①×a+②×b) / (a+b),得:
　　△Y=a/ (a+b) (Y0/L0) (Kt-Ko) +a/ (a+b)×Kt(Yt/Kt-Y0/K0)
+b/ (a+b) (Y0/L0) (Lt-L0) +b/ (a+b) Lt(Yt/Lt-Y0/L0) (③)
令:α=a/ (a+b);β=b/ (a+b),
　　△Y=α(Y0/K0) (Kt-K0) +αKt(Yt/Kt-Y0/K0)
+β(Y0/L0) (Lt-L0) +βLt(Yt/Lt-Y0/L0) (④)
④式两边同除Y0,整理后得:
　　△Y/Y0=α(Kt-K0) /K0+β(Lt-L0) /L0
+α(Yt/Y0-Kt/K0) +β(Yt/Y0-Lt/L0) (⑤)
已知: Y=△Y/Y0———产值增长速度
　　　K= (Kt-K0) /K0=△K/K0———资金投入增长速度
　　　L= (Lt-L0) /L0=△L/L0———劳动力增长速度
并令: A=α(Yt/Y0-Kt/K0) +β(Yt/Y0-Lt/L0),
⑤式即简化为:
Y=A+αK+βL———索洛模型公式!
四、 索洛模型的内容
1．对于储蓄资源的分配
产出在消费和投资之间划分，在不变的资本折旧率下资本折旧的情况下，资本积累方程：
假定人均资本为r=k=K/L,对人均资本求导：
<1>
对上式两边同时除以L，得，
<2>
根据<1>、<2>式得到： <3>（索洛模型的基本动态方程式）
装换： <4>
<4>式表明，经济增长来自对社会储蓄资源的分配。从上述公式可以看出，一个社会的人均储蓄可以用于两个部分：
（1）资本的深化：人均资本k的增加，每个人所配备的资本设备更多。
（2）资本的广化：每一个增加的人口所配备的人均应得到的资本和用于弥补固定资产损耗的资本（n+δ）k
2.经济增长的稳态
（1）不考虑技术因素
根据所得到的公式，可以看出，不论经济的初始位置如何，该经济总会收敛于一条平衡增长路径、平衡增长路径是这样一种状态，经济中的每一变量都以常数率增长。在索洛模型中，对应<3>式为零，如图1中sf(k)与(n+δ)k的交点，即k*满足如下的均衡增长条件：
sf(k*)=(n+δ)k*

(n+δ)k
f(k)
sf(k)
c

K
k(0) K*
图1 经济增长的稳态

图2 K的相位图

图2给出了索洛模型中的k的相位图：
。在相位图中，是k的函数。如果初始的k小于k*，实际投资超过稳定状态水平，因此为正值，即曲线上升。如果k大于k*, 为负值，曲线下降。最后如果k等于k*，为零。不管k的初始值如何，它总收敛于k*。
（2）考虑技术因素
在上面的索洛模型公式中，如果人口增长率为零，经济增长率会趋于零，而这与实际情况偏差很大，这是一个非常“令人不愉快的结果”。为了克服这一结果索洛与1957年在《技术变化和总量生产函数》经典论文中引入外生的技术因素，以解释各国经济中可能出现的正的人均收入的长期增长。何谓技术，索洛（1957）年指出，是“生产函数任意一种形式变动的简称”，“经济的加速和减速、劳动力教育质量的改进、各种各样移动生产函数的因素都可以归入’技术变化’”之中。将外生的技术变量引入增长模式，假定生产函数具有劳动扩大型技术进步，即生产函数采取如下形式：
Y=F[K,A(t)L]
其中AL是有效劳动，A以常熟率增长，即：

同理，可知资本积累方程为：
根据不考虑技术因素的推导过程，得出考虑技术因素之后的基本方程式为：

将上式两边同除以k,得到考虑技术因素后的经济增长率为:
根据定义稳定增长率g*是常数，F[k,A(t)]/k在稳定状态中也是常数。因为不变的规模收益，资本的平均产品等于F[1,A(t)/k]，并且当且仅当k和A以同样的比率增长，即g*=λ时是常数。人均产出：y=F[k,A(t)]=kF[1,A(t)/k]。因为在稳定状态中k和A以同样的比率λ增长，y的稳定状态增长率等于λ。从而，因为c=(1-s)y,则c的稳定状态增长率也等于λ。
在稳定状态中k和A以同样的比率λ增长，可以令，变量是有效劳动量，变量是每单位有效劳动的资本数量，则每单位有效劳动的产出数量为 为：，从而推出变量的动态方程：
。
因为的稳定状态增长率为零，稳定状态值为满足下面的条件：
sf()=
在稳定状态中，变量，，是常数。由此稳定状态中人均变量k,y,c以外生的技术进步率增长。水平变量K,Y,C在稳定状态中以比率n+λ增长，即增长率等于人口增长和技术进步之和。
五、 评价
1. 索洛模型的意义
（1）重新假定生产要素具有相互替代性，使资本-产出比由固定不变成为可变。这样人们可以通过调整资本-劳动比来改变资本-产出比，从而降低资本的收入，提高劳动的收入，以刺激劳动增长实现充分就业。
（2）强调市场机制对经济增长的调节作用。当储蓄率既定而经济增长出现不稳定时，通过市场机制的调节，改变利润率或工资率来调节资本与劳动的投入量，从而使资本-产出比得到调整，以与经济增长率相适应，最终实现理想的经济增长。
（3）说明经济增长过程中的收入分配趋势。资本可以替代劳动使资本-劳动比提高，但资本投入的增加使资本边际生产率递减从而利润下降，而劳动投入减少将使劳动边际生产率相对增加从而工资率上升，因而收入分配有利于工人而不利于资本家。
（4）突破了经济增长理论中的“唯资本论”的观点，第一次提出了“技术进步对经济增长具有最重要的贡献”的观点，并且把技术进步因素单独列项，作为经济增长因素中最有意义、贡献最大的一个因素独立出来。
2、模型的局限性
（1）模型中假定生产过程中资本与劳动可以任意替代，以便生产要素充分利用，实现均衡增长，是不切实际的。
（2）模型中自由市场能够完全自动实现均衡的假定多数早已被凯恩斯所否定，并且也与实际情况所不符。

参考文献：
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