Boussinesq方程的孤子与Jacobi椭圆函数波的相互作用解及动力学研究.pdf

第 卷第期华中师范大学学报(自然科学版)V o l N o 年月J OUR NA LO FC E N T R A LCH I NANO RMA LUN I V E R S I T Y(N a t S c i)A u g 收稿日期:基金项目:国家自然科学基金项目();贵州省科技计划项目(黔科合平台人才 号)通信联系人 E m a i l:q q c o mD O I:/j c n k i 文章编号:()B o u s s i n e s q方程的孤子与J a c o b i椭圆函数波的相互作用解及动力学研究 刘鹏,向靖峰(贵州师范大学物理与电子科学学院,贵阳 )摘要:B o u s s i n e s q方程及其精确解在自然科学领域有着极其重要的作用该文应用C R E方法求解B o u s s i n e s q方程,得到了孤立波与J a c o b i正弦周期波的相互作用解通过选择J a c o b i椭圆函数的不同模量,可以得到孤立波和周期波相互作用的不同动力学行为关键词:B o u s s i n e s q方程;C R E方法;相互作用解;动力学中图分类号:O 文献标志码:A开放科学(资源服务)标志码(O S I D):寻找非线性偏微分方程的解析解有助于解释复杂的非线性物理现象,非线性偏微分方程解析解的研究受到了许多数学家和物理学家的关注随着非线性研究的发展,数学家和物理学家提出了很多有效的方法,例如分离变量法、反散射法、B c k l u n d变换、H i r o t a双线性变换法、齐次平衡法等,这些方法可以获得非线性偏微分方程的孤立波解随着计算机技术的发展与非线性研究的深入,计算机符号计算成为求解非线性偏微分方程的 有 力 手 段 之 一 年,范 恩 贵基 于R i c c a t i方程 的精确解,提出t a n h函 数 展 开 法 年,刘式适等提出了比T a n h函数展开法更通用的J a c o b i椭圆函数展开法,用于构造非线性波动方程的精确周期解 年,楼森岳利用R i c c a t i方程,提出了求解非线性系统的相容的R i c c a t i展开方法,即C R E方法,该方法可根据非线性偏微分方程的C R E可解性条件来构造新的相互作用解 年,法国物理学家B o u s s i n e s q提出了著名的B o u s s i n e s q方程来解决两个方向的浅水波运动问题该方程为:ut t ux x(u)x x ux x x x,()其中,下角标x和t表示偏微分 B o u s s i n e s q方程主要用来研究等离子体物理、固体物理和流体力学等领域的物理现象目前,已经有很多报道寻找B o u s s i n e s q方程精确解的有效方法例如,文献 利用B c k l u n d变换得到B o u s s i n e s q方程的孤子解和周期波解文献 利用R i c c a t i展开法得到了B o u s s i n e s q方程的孤立波解和三角函数解文献 利用F展开法得到B o u s s i n e s q方程的多种精确行波解文献 使用雅可比(J a c o b i)椭圆函数展开法得到B o u s s i n e s q方程的J a c o b i椭圆周期波和孤立波解文献 基于齐次平衡法给出了B o u s s i n e s q方程新的精确解,并且研究了方程的混沌行为以上的这些方法没有得到孤立波与J a c o b i椭圆周期波的相互作用解本文将楼森岳教授提出的C R E方法应用于B o u s s i n e s q方程,得到了孤立波与J a c o b i椭圆周期波的相互作用解,通过改变J a c o b i椭圆函数的模数得到了相互作用解的不同动力学行为,并作图说明了这种复杂解的物理意义 C R E方法简介考虑一个非线性偏微分方程p(t,x,x,xn,u),()设方程()有如下形式解u(x,t)NiuiR(w)i,()这里,u与w是关于x,t的函数;N为正整数,其值由方程()中的非线性项和最高阶导数项平衡得到;R(w)是R i c c a t i方程的严格解 R i c c a t i方程的形式为RwR(w),()华中师范大学学报(自然科学版)第 卷这里,Rw表示(dR(W)/dw,是常数将()式和()式代入()式,得到关于R(w)的方程,并令R(w)各阶次项的系数为零,求解得出ui的关系式,再将ui代入()式中进行求解就可以得到方程()的解再令R(w)各阶次项的系数为零,过程中得出方程数量多于未知数个数的情况,由此得到的代数方程组为超定方程组,解该超定方程组得到方程()的相容性条件F(w)()因此,只要方程()有解w(x,t),将解w(x,t)代入()式中就可以得到方程()的解,即方程()是自洽的,说明非线性偏微分方程()是C R E相容系统 C R E方法可应用于证明一个系统为相容系统,并适用于寻找一个非线性系统的相互作用解 B o u s s i n e s q方程的奇异孤立波解和三角函数波解考虑形如()式的B o u s s i n e s q方程,设其形式解为()式,通过平衡非线性项和最高阶导数项得到N,由此得到方程()的截断展开解为uuuR(w)uR(w),()这里,u,u,u和w是关于x,t的函数,R(w)是方程()的解,方程()含个特解 当时,Rt a n h(w),()Rc o t h(w);()当时,Rt a n(w),()Rc o t(w);()当时,Rw()将()式和()式代入方程()中,从而得到关于R(w)的方程:m utwtm R(w)utwtm R(w)uwtmuwtm R(w)uwtut tR(w)ut tR(w)ut tm uwt tm R(w)ut twt t(m uxwxm R(w)uxwxm R(w)uwxmuwxm R(w)uwxux xR(w)ux xR(w)ux xm uwx xm R(w)uwx x)(uxR(w)(uxR(w)ux)m(uR(w)uwx)(uR(w)(uR(w)u)(m uxwxm R(w)uxwxm R(w)uwxmuwxm ux xR(w)ux xm uwx xm R(w)uwx x)(R(w)uwx R(w)wx(uxwxuwxuwx x)m ux(R(w)wxR(w)wxwx xwx x x)R(w)(wx(uxwx xwx(ux xuwx x)u(wxwx xwxwx x x)ux x x x(ux xwx x wx(ux xuxwx x)wx(uxwx xux x x)u(wxwx xwxwx x x)uwx x x x)R(w)(ux xwx x wx(ux xuwx x)wx(uxwx xux x x)u(wxwx xwxwx x x)ux x x xuwx x x x)R(w)(wxux x uwxwx xux xwx xwxux x xux(wxwx x x)u(wxwx xwxwx x x)uwx x x x)R(w)(wxwx x x)u(wxwx xwxwx x x)ux x x x(ux xwx xwx(ux x uwx x)wxux x xuwx x x x),()其中,mR(w)令方程()中R系数为零,可得u wx,()令方程()中R系数为零,可得u wx x,()令方程()中R系数为零,可得uwt wx wx wx x wxwx x xwx()令方程()中R系数为零,并将式()()代入,可得wtwx x wxwx x wx x wxwx xwx x x wxwx x x xwxwt t()将式()()代入方程(),求得Ri(w)的系数,应用软件m a t h e m a t i c a 验证其系数均为零所以,方程()是C R E方法可解的()式是B o u s s i n e s q方程的相容性条件,只要证明w是方程()的解,则方程()有解uwt wx wx wx x wxwx x xwx wx xR(w)wxR(w)()构造方程()有如下行波解wkxwt,()这里,w是关于x,t的函数,k,k为任意常数第期刘鹏等:B o u s s i n e s q方程的孤子与J a c o b i椭圆函数波的相互作用解及动力学研究 由式()、()和()可得孤立波解uk(wkk)k t a n h(t wkx),()由式()、()和()可得奇异孤立波解uk(wkk)k c o t h(t wkx),()由式()、()、()和()可得三角函数波解uk(wkk)k t a n(t wkx),()uk(wkk)k c o t(t wkx)()B o u s s i n e s q方程的孤立波周期波相互作用解由方程()的C R E性质,可构造该方程孤立波与J a c o b i椭圆函数周期波的相互作用解设()式的形式解为wkxwtF(kxwt),()其中,k,k,w和w为任意常数且令F(kxwt)F()F,()其中,F满足第一类椭圆函数方程FCCFCF,()这里,FF;C,C和C是常数当C,C(k),Ck,()方程()存在特解 Fs n(,k),()其中,s n表示J a c o b i正弦函数,k(k)是模数将式()和()代入方程()中,展开整理可得kwFkwFCkk FCk Fkk FkwwFFkkwFFCkk FF kk FFCkk FF kk FFCkk FF kk FFCk FFk FF,()这里,令F的各阶次项系数为零,可以解得Ckwkkwwkw kk k,Ckwwkwkk kk,C()将()式代入()式,可以得出()式成立的条件,(kk)(kkk)wkk(kkkkk),wkkwkkwkkkwkwkkkkkkkk,k,()这里,k,k和w是不全为零的任意常数如上式()成立,则根据式()(),方程()有特解wkxwts n(,k)dkxwtl n(c n(,k)d n(,k)C,()其中,c n表示J a c o b i余弦函数,d n是第三种J a c o b i正弦函数 由()式可知,满足R i c c a t i方程的特解为式()和()将上式()和()代入方程(),同时取C,从而通过求解得出方程()的一个孤立波和J a c o b i椭圆周期波的相互作用解,u(kkS)(wS wwSwkkkS kSCDkDkkS Ck kkS DkSCk kS(kkS)C D k(kkS)T a n(Lt wkx)(kkS)T a n(Lt wkx),()其中,S s n(,k),D dn(,k),C c n(,k),L l o g(k CD)/k基于式(),如果自由参数取值如下:k ,k ,w ,()可以得到孤立波J a c o b i椭圆周期波相互作用解的空间结构和时间演化,如图所示不同颜色曲线表示模数取值不同,其取值分别为k (绿色),k (红色),k (蓝色)图是图对应的时空演化图及其密度图从图(a)结构图可以看出,k (接近模量下限的值),相互作用解u退化为单个钟型孤立波,且幅度数值只接近 ;当k ,相互作用解u表现出含周期波的孤立波,且幅度数值达到 左右从图可看出,当k 和 时,孤立波 华中师范大学学报(自然科学版)第 卷J a c o b i椭圆周期波相互作用随时间变化的过程中,振幅几乎保持不变,体现了孤子能量守恒的性质但当k (接近模量上限的值)时,从图(a)和图(c)看出u呈现出周期型变化,但从密度图(f)可以看出,孤立波J a c o b i椭圆周期波相互作用导致了波形和幅度发生了变化图不同模数k条件下,B Q方程的孤立波 J a c o b i椭圆周期波相互作用解F i g I n t e r a c t i o ns o l u t i o n s()b e t w e e ns o l i t o na n dJ a c o b i e l l i p t i cp e r i o d i cw a v e f o rB Qe q u a t i o nu n d e rd i f f e r e n tm o d u l u sk图不同模数k条件下,B Q方程的孤立波 J a c o b i椭圆周期波相互作用的时间演化及其密度图F i g T i m ee v o l u t i o n sa n dd e n s i t yp l o t so f i n t e r a c t i o ns o l u t i o n s()b e t w e e ns o l i t o na n dJ a c o b ie l l i p t i cp e r i o d i cw a v e f o rB Qe q u a t i o nu n d e rd i f f e r e n tm o d u l u sk结论本文用C R E方法求解B o u s s i n e s q方程,得到B o u s s i n e s q方程的相容性方程(),说明该非线性方程C R E可解通过构造相容性方程()的不同形式解,得到了B o u s s i n e s q方程单孤子解,以及孤子与J a c o b i椭圆正弦周期波的相互作用解进一步,作图说明了在不同模数k条件下,孤子与J a c o b i椭圆正弦周期波的相互作用解的结构,以及随时间演化的动力学行为 B o u s s i n e s q方程是一个著名的孤立子方程,应用于众多科学领域,本文结论有利于深入认识该方程的物理意义参考文献:T AN GX Y,L OUSYAv a r i a b l es e p a r a t i o na p p r o a c ht os o l v et h ei n t e g r a b l e a n d n o n i n t e g r a b l e m o d e l s:c o h e r e n ts t r u c t u r e so ft h e()d i m e n s i o n a lK d V e q u a t i o nJC o mm u n i c a t i o n s i nT h e o r e t i c a lP h y s i c s,():WAN G X B,HAN BT h eg e n e r a lf i f t h o r d e rn o n l i n e a rs c h r d i n g e re q u a t i o n w i t h n o n z e r o b o u n d a r y c o n d i t i o n s:i n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r ma n d m u l t i s o l i t o ns o l u t i o n sJT h e o r e t i c a l a n dM a t h e m a t i c a lP h y s i c s,():毛辉两个广义短脉冲方程的B c k l u n d变换及其应用J应用数学学报,():MA O HB c k l u n dt r a n s f o r m a t i o no ft w og e n e r a l i z e ds h o r ti m p u l s ee q u a t i o n sa n d i t sa p p l i c a t i o nJ A c t aM a t h e m a t i c a e第期刘鹏等:B o u s s i n e s q方程的孤子与J a c o b i椭圆函数波的相互作用解及动力学研究 A p p l i c a t a eS i n i c a,():(C h)H I R O TA R E x a c t s o l u t i o n o f t h e k o r t e w e g d e v r i e se q u a t i o nf o r m u l t i p l ec o l l i s i o n so fs o l i t o n sJP h y s i c a lR e v i e wL e t t e r s,():T AHA WM,I B R AH I M I A,NO O R AN I M N e wa p p l i c a t i o nf o rg e n e r a l i z e dr e g u l a r i z e dl o n g w a v e(G R LW)e q u a t i o n,m o d i f i e dd i s p e r s i v ew a t e rw a v e(MDWW)e q u a t i o na n dk a w a h a r ae q u a t i o nb yh o m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o dJJ o u r n a l o fE n g i n e e r i n ga n dA p p l i e dS c i e n c e s,():F AN E G E x t e n d e d t a n h f u n c t i o n m e t h o d a n d i t sa p p l i c a t i o n st on o n l i n e a re q u a t i o n sJP h y s i c sL e t t e r sA,():L I USK,F UZT,L I USD,e ta l J a c o b i e l l i p t i cf u n c t i o ne x p a n s i o nm e t h o da n dp e r i o d i cw a v es o l u t i o n so fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n sJP h y s i c s L e t t e r s A,():L OUSY C o n s i s t e n t r i c c a t i e x p a n s i o n f o r i n t e g r a b l e s y s t e m sJS t u d i e si n A p p l i e d M a t h e m a t i c s,():WZWA Z AM N e w h y p e r b o l i c s c h e m e s f o r r e l i a b l et r e a t m e n to fb o u s s i n e s qe q u a t i o nJP h y s i c sL e t t e r s A,():CHE NY,L IB,Z HAN GHQ G e n e r a l i z e d r i c c a t i e q u a t i o ne x p a n s i o n m e t h o d a n di t sa p p l i c a t i o nt ot h e()d i m e n s i o n a lb o u s s i n e s qe q u a t i o nJ I n t e r n a t i o n a lJ o u r n a lo fM o d e r nP h y s i c sC,():C HE NJ,YAN G K Q,HE H S Ag e n e r a l i z a t i o no fF e x p a n s i o nm e t h o da n d i t sa p p l i c a t i o nt o()d i m e n s i o n a lb o u s s i n e s qe q u a t i o nJC o mm u n i c a t i o n si n T h e o r e t i c a lP h y s i c s,():X I AN GCH J a c o b i e l l i p t i c f u n c t i o ns o l u t i o n s f o r()d i m e n s i o n a l b o u s s i n e s qa n dk a d o m t s e v p e t v i a s h v i l i e q u a t i o nJA p p l i e dM a t h e m a t i c s,():任晓静,葛 楠 楠()维K P B o u s s i n e s q和B K P B o u s s i n e s q方程的 孤子解J西北 大学学报(自 然 科 学版),():R E NXJ,G ELL S o l i t o ns o l u t i o n so f()d i m e n s i o n a lK P b o u s s i n e s qe q u a t i o n s a n dB K P b o u s s i n e s qe q u a t i o n sJJ o u r n a l o fN o r t h w e s tU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c e),():(C h)刘萍,徐恒睿,杨建荣 B o u s s i n e s q方程的L a x对、B c k l u n d变换、对称群变换和R i c c a t i展开相容性J物理学报,():L I U P,XU H R,YAN GJRT h eb o u s s i n e s qe q u a t i o n:l a x p a i r,b c k l u n d t r a n s f o r m a t i o n,s y mm e t r y g r o u pt r a n s f o r m a t i o na n dc o n s i s t e n tr i c c a t ie x p a n s i o ns o l v a b i l i t yJA c t aP h y s i c aS i n i c a,():(C h)MASH,F AN GJP,Z HE N GCLN e we x a c ts o l u t i o n sf o r t h e()d i m e n s i o n a l j i m b o m i w as y s t e mJ C h a o s,S o l i t o n s&F r a c t a l s,():刘式适,刘式达物理学中的非线性方程M北京:北京大学出版社,L I USS,L I USD N o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s i np h y s i c sM B e i j i n g:P e k i n gU n i v e r s i t yP r e s s,(C h)D y n a m i c s r e s e a r c ha n d i n t e r a c t i o ns o l u t i o nb e t w e e ns o l i t o na n dJ a c o b ie l l i p t i c f u n c t i o nw a v eo fB o u s s i n e s qe q u a t i o nL I UP e n g,X I ANGJ i n g f e n g(S c h o o l o fP h y s i c a l a n dE l e c t r o n i cS c i e n c e,G u i z h o uN o r m a lU n i v e r s i t y,G u i y a n g ,C h i n a)A b s t r a c t:B o u s s i n e s qe q u a t i o na n di t se x a c ts o l u t i o np l a ya ni m p o r t a n tr o l ei n m a n yf i e l d so f n a t u r a ls c i e n c e I n t e r a c t i o n s o l u t i o n s b e t w e e n s o l i t a r y w a v e a n d J a c o b is i n u s o i d a lp e r i o d i c w a v ea r ed e r i v e df r o m B o u s s i n e s qe q u a t i o nb yc o n s i s t e n tR i c c a t ie x p a n s i o nm e t h o di nt h i sp a p e r T h ed y n a m i cb e h a v i o r sb e t w e e ns o l i t a r y w a v ea n dp e r i o d i cw a v e i sd e m o n s t r a t e db yc h a n g i n gt h em o d u l u so f J a c o b i e l l i p t i c f u n c t i o n K e y w o r d s:B o u s s i n e s q e q u a t i o n;c o n s i s t e n tr i c c a t ie x p a n s i o n m e t h o d;i n t e r a c t i o ns o l u t i o n s;d y n a m i c s