人教版八年级初二数学第二学期勾股定理单元-易错题难题测试综合卷检测.doc

人教版八年级初二数学第二学期勾股定理单元 易错题难题测试综合卷检测一、选择题1如图，在四边形ABCD中，与的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：；到AD的距离等于BC的；为BC的中点；其中正确的有（ ）A2个B3个C4个D5个2如图，在RtABC中，ACB90，AC=9，BC=12，AD是BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PCPQ的最小值是( )ABC12D153棱长分别为的两个正方体如图放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱BC上，点P是棱的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是( )ABCD4如图，ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AEB=45，BD=2，将ABC沿AC所在直线翻折180到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B，则DB的长为（ ）A1BCD5如图，在等腰RtABC中，C90，AC7，BAC的角平分线AD交BC于点D，则点D到AB的距离是（） A3B4CD6如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A甲、乙都可以B甲、乙都不可以C甲不可以、乙可以D甲可以、乙不可以7如图，BD为的对角线，于点E，BFDC于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论： ；AB=BH;；其中正确的结论有（ ）ABCD8下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A1、B2、3、4C1、2、3D4、5、69长度分别为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm五根木棍首尾连接，最多可搭成直角三角形的个数为 A1个B2个C3个D4个10已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是()A5B4CD4或二、填空题11如图，MON90，ABC的顶点A、B分别在OM、ON上，当A点从O点出发沿着OM向右运动时，同时点B在ON上运动，连接OC若AC4，BC3，AB5，则OC的长度的最大值是_12如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从处出发沿长方体表面爬行到处，若长方体的长，宽，高，则蚂蚁爬行的最短路径长是_13如图，和都是等腰直角三角形，的顶点在的斜边上若，则的长为_14如图在三角形纸片ABC中，已知ABC=90，AC=5，BC=4，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、BC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值的差为_15如图,，点分别在上，且，点分别在上运动，则的最小值为_16在等腰中，过点作直线，是上的一点，且，则_17如图，在矩形ABCD中，ADAB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连接CN若CDN的面积与CMN的面积比为1：3，则的值为_18如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，ABC=ACB=ADC=45，则19如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角（090）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标在平面斜坐标系中，若45，点P的斜坐标为（1，2），点G的斜坐标为（7，2），连接PG，则线段PG的长度是_20如图，在中，为边上一动点，作如图所示的使得，且，连接，则的最小值为_三、解答题21如图，在ABC中，AB30 cm，BC35 cm，B60，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发(1)经过多少秒，BMN为等边三角形；(2)经过多少秒，BMN为直角三角形22如图，在等腰直角三角形ABC中，ACB=90，AC=BC，AD平分BAC，BDAD于点D，E是AB的中点，连接CE交AD于点F，BD=3，求BF的长23如图，ABC和ADE都是等腰三角形，其中ABAC，ADAE，且BACDAE（1）如图，连接BE、CD，求证：BECD；（2）如图，连接BE、CD，若BACDAE60，CDAE，AD3，CD4，求BD的长；（3）如图，若BACDAE90，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明24如图，已知中，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒（1）当秒时，求的长；（2）求出发时间为几秒时，是等腰三角形？（3）若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间25如图1，在等腰直角三角形中，动点D在直线AB（点A与点B重合除外）上时，以CD为一腰在CD上方作等腰直角三角形，且，连接AE（1）判断AE与BD的数量关系和位置关系；并说明理由（2）如图2，若，P，Q两点在直线AB上且，试求PQ的长（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AB的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ的长是否为定值分别画出图形，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由26如图，ABC中AC=BC，点D，E在AB边上，连接CD，CE(1)如图1，如果ACB=90，把线段CD逆时针旋转90，得到线段CF，连接BF，求证：ACDBCF；若DCE=45， 求证：DE2=AD2+BE2；(2)如图2，如果ACB=60，DCE=30，用等式表示AD，DE，BE三条线段的数量关系，说明理由 27我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差如图1，在中，是边上的中线，与的“广益值”就等于的值，可记为（1）在中，若，求的值（2）如图2，在中，求，的值（3）如图3，在中，是边上的中线，求和的长28已知中，.（1）如图1，在中，连接、，若，求证：（2）如图2，在中，连接、，若，于点，求的长；（3）如图3，在中，连接，若，求的值.29如图1，ABC中，CDAB于D，且BD : AD : CD2 : 3 : 4，（1）试说明ABC是等腰三角形；（2）已知SABC40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒2cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以每秒1cm速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t（秒），若DMN的边与BC平行，求t的值；若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由 图1 图2 备用图30（知识背景）据我国古代周髀算经记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数（应用举例）观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股24 弦25 （2）如果勾用（，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股 ，弦 （解决问题）观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；根据应用举例获得的经验进行填空：（3）如果是符合同样规律的一组勾股数，（表示大于1的整数），则 ， ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组： 、24、 ：第二组： 、 、37【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1C解析：C【分析】过作于，得出，求出，根据三角形内角和定理求出，即可判断；根据角平分线性质求出，即可判断和；由勾股定理求出，即可判断；根据证，推出，同理得出，即可判断【详解】解：过作于，与的平分线相交于边上的点，故正确；平分，同理，故正确；到的距离等于的一半，故错误；由勾股定理得：，又，同理，故正确；在和中，同理，故正确；故选：【点睛】本题考查了角平分线性质，垂直定义，直角梯形，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力2B解析：B【分析】过点D作DEAB于点E，过点E作EQAC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+PQ=EQ是最小值，根据勾股定理可求出AB的长度，再根据EQAC、ACB=90即可得出EQBC，进而可得出，代入数据即可得出EQ的长度，此题得解.【详解】解：如图所示，过点D作DEAB于点E，过点E作EQAC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+PQ=EQ是最小值，在RtABC中，ACB=90，AC=9，BC=12，AD是BAC的平分线，CAD=EAD，在ACD和AED中，ACDAED（AAS），AE=AC=9EQAC，ACB=90，EQBC，.故选B.【点睛】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题以及平行线的性质，找出点C的对称点E，及通过点E找到点P、Q的位置是解题的关键3C解析：C【分析】当E1F1在直线EE1上时，得到AE=14，PE=9，由勾股定理求得AP的长；当E1F1在直线B2E1上时，两直角边分别为17和6，再利用勾股定理求AP的长,两者进行比较即可确定答案【详解】 当展开方法如图1时，AE=8+6=14cm，PE=6+3=9cm，由勾股定理得 当展开方法如图2时，AP1=8+6+3=17cm，PP1=6cm， 由勾股定理得蚂蚁爬行的最短距离是,【点睛】此题考察正方体的展开图及最短路径，注意将正方体沿着不同棱线剪开时得到不同的平面图形，路径结果是不同的4B解析：B【解析】【分析】如图，连接BB根据折叠的性质知BBE是等腰直角三角形，则BB=BE又BE是BD的中垂线，则DB=BB【详解】四边形ABCD是平行四边形，BD=2，BE=BD=1如图2，连接BB根据折叠的性质知，AEB=AEB=45，BE=BEBEB=90，BBE是等腰直角三角形，则BB=BE=,又BE=DE，BEBD，DB=BB=故选B【点睛】考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用5C解析：C【分析】过点D作DEAB于点E，根据角平分线的性质定理，可得：DEDCx，则BEx，进而可得到AEAC7，在RtBDE中，应用勾股定理即可求解【详解】过点D作DEAB于点E，则AED90，AEAC7，ABC是等腰直角三角形，BCAC7，AB，在RtAED和RtACD中，AEAC，DEDC，RtAEDRtACD，AEAC7，设DEDCx，则BD7x，在RtBDE中，即：，解得： ，故选：C【点睛】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，运用方程思想是解题的关键6A解析：A【解析】试题分析：剪拼如下图：乙故选A考点：剪拼，面积不变性，二次方根7B解析：B【分析】根据直角三角形的意义和性质可以得到解答【详解】解：由题意，正确；DBC=45，DEBC，EDB=DBC=45，BE=DE，BH=CD=AB，正确；，ABCD，即 ，正确，没有依据支持成立，正确故选B 【点睛】本题考查直角三角形的意义和性质，灵活应用有关知识求解是解题关键8A解析：A【分析】求出两小边的平方和、最长边的平方,看看是否相等即可.【详解】A、12+（）2=（）2以1、为边组成的三角形是直角三角形,故本选项正确;B、22+3242以2、3、4为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;C、12+2232以1、2、3为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;D、42+5262以4、5、6为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;故选A.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理应用，掌握勾股定理逆定理的内容就解答本题的关键.9B解析：B【解析】试题分析：解：92=81，122=144，152=225，362=1296，392=1521，81+144=225，225+1296=1521，即92+122=152，152+362=392，故选B考点：勾股定理的逆定理点评：本题难度中等，主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键熟知勾股定理逆定理的内容10D解析：D【详解】解：一个直角三角形的两边长分别为3和5，当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x=4；当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x=故选：D二、填空题115【解析】试题分析：取AB中点E，连接OE、CE，在直角三角形AOB中，OE=AB，利用勾股定理的逆定理可得ACB是直角三角形，所以CE=AB，利用OE+CEOC，所以OC的最大值为OE+CE，即OC的最大值=AB=5考点：勾股定理的逆定理，12【分析】连接AC，分三种情况进行讨论：画出图形，用勾股定理计算出AC长，再比较大小即可得出结果【详解】解：如图展开成平面图，连接AC，分三种情况讨论：如图1，AB=4，BC=1+2=3，在RtABC中，由勾股定理得AC=5（cm），如图2，AC=4+2=6，CC=1在RtACC中，由勾股定理得AC=（cm），如图3，AD =2，DC=1+4=5，在RtADC中，由勾股定理得AC=（cm）5，蚂蚁爬行的最短路径长是5cm，故答案为：5cm【点睛】本题考查平面展开-最短路线问题和勾股定理，本题具有一定的代表性，是一道好题，注意要分类讨论13【分析】由题意可知，ACBC，DCEC，DCEACB90，DE45，求出ACEBCD可证ACEBCD，可得AEBD，ADB90，由勾股定理求出AB即可得到AC的长【详解】解：如图所示，连接BD，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACBC，DCEC，DCEACB90，DE45，且ACEBCD90-ACD，在ACE和BCD中，ACEBCD（SAS），AEBD，EBDC45，ADBADC+BDC45+4590，AB，BC，故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键14【分析】分别找到两个极端,当M与A重合时，AP取最大值，当点N与C重合时，AP取最小，即可求出线段AP长度的最大值与最小值之差【详解】如图所示，当M与A重合时，AP取最大值，此时标记为P1，由折叠的性质易得四边形AP1NB是正方形，在RtABC中，AP的最大值为A P1=AB=3如图所示，当点N与C重合时，AP取最小，过C点作CD直线l于点D，可得矩形ABCD，CD=AB=3，AD=BC=4，由折叠的性质有PC=BC=4，在RtPCD中，AP的最小值为线段AP长度的最大值与最小值之差为故答案为【点睛】本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索.1510【分析】首先作M关于OB的对称点M，作N关于OA的对称点N，连接MN，即为MP+PQ+QN的最小值，易得ONN为等边三角形，OMM为等边三角形，NOM=90，继而可以求得答案【详解】作M关于OB的对称点M，作N关于OA的对称点N，连接MN，即为MP+PQ+QN的最小值根据轴对称的定义可知：NOQ=MOB=30，ONN=60，OM=OM=6，ON=ON=8，ONN为等边三角形，OMM为等边三角形，NOM=90在RtMON中，MN=10故答案为10【点睛】本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键16或【解析】如图，作于点，且有个，点睛：本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答，考查了学生的空间想象能力1712【解析】如图，过点N作NGBC于点G，连接CN，根据轴对称的性质有：MA=MC，NA=NC，AMN=CMN.因为四边形ABCD是矩形，所以ADBC，所以ANM=CMN.所以AMN=ANM，所以AM=AN.所以AM=AN=CM=CN.因为CDN的面积与CMN的面积比为1：3，所以DN:CM=1:3.设DN=x，则CG=x，AM=AN=CM=CN=3x，由勾股定理可得NG=，所以MN2=，BM2=.所以=12.枚本题应填12.点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形“平行线+角平分线等腰三角形”)，所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求解.1841【解析】作ADAD，AD=AD，连接CD，DD，如图：BAC+CAD=DAD+CAD，即BAD=CAD，在BAD与CAD中， BADCAD（SAS），BD=CD，DAD=90，由勾股定理得DD= ，DDA+ADC=90，由勾股定理得CD=，BD=CD=，即BD2=41故答案是：41192【分析】如图，作PAy轴交X轴于A，PHx轴于HGMy轴交x轴于M，连接PG交x轴于N，先证明ANPMNG（AAS），再根据勾股定理求出PN的值，即可得到线段PG的长度【详解】如图，作PAy轴交X轴于A，PHx轴于HGMy轴交x轴于M，连接PG交x轴于NP（1，2），G（72），OA1，PAGM2，OM7，AM6，PAGM，PANGMN，ANPMNG，ANPMNG（AAS），ANMN3，PNNG，PAH45，PHAH2，HN1，PG2PN2 故答案为2【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键20【分析】根据已知条件，添加辅助线可得EACDAM（SAS），进而得出当MDBC时，CE的值最小，转化成求DM的最小值，通过已知值计算即可【详解】解：如图所示，在AB上取AM=AC=2，CAB=45，又，EAC+CAD=DAB+CAD=45，EAC =DAB，在EAC与DAB中AE=AD，EAF =DAB，AC =AM，EACDAM（SAS）CE=MD，当MDBC时，CE的值最小，AC=BC=2，由勾股定理可得， ，B=45，BDM为等腰直角三角形，DM=BD，由勾股定理可得DM=BD=CE=DM=故答案为：【点睛】本题考查了动点问题及全等三角形的构造，解题的关键是作出辅助线，得出全等三角形，找到CE最小时的状态，化动为静三、解答题21(1) 出发10s后，BMN为等边三角形；(2)出发6s或15s后，BMN为直角三角形【分析】（1）设时间为x，表示出AM=x、BN=2x、BM=30-x，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；（2）分两种情况：BNM=90时，即可知BMN=30，依据BN=BM列方程求解可得；BMN=90时，知BNM=30，依据BM=BN列方程求解可得【详解】解(1)设经过x秒，BMN为等边三角形，则AMx，BN2x，BMABAM30x，根据题意得30x2x，解得x10，答：经过10秒，BMN为等边三角形；(2)经过x秒，BMN是直角三角形，当BNM90时，B60，BMN30，BNBM，即2x(30x)，解得x6；当BMN90时，B60，BNM30，BMBN，即30x2x，解得x15，答：经过6秒或15秒，BMN是直角三角形【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.22BF的长为【分析】先连接BF，由E为中点及AC=BC，利用三线合一可得CEAB，进而可证AFEBFE，再利用AD为角平分线以及三角形外角定理，即可得到BFD为45，BFD为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF【详解】解：连接BFCA=CB，E为AB中点AE=BE，CEAB，FEB=FEA=90在RtFEB与RtFEA中，RtFEBRtFEA又AD平分BAC，在等腰直角三角形ABC中CAB=45FBE=FAE=CAB=22.5在BFD中，BFD=FBE+FAE=45又BDAD，D=90BFD为等腰直角三角形，BD=FD=3【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线，解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质23（1）证明见解析；（2）5；（3）CD2+CE2BC2，证明见解析【分析】（1）先判断出BAE=CAD，进而得出ACDABE，即可得出结论（2）先求出CDA=ADE=30，进而求出BED=90，最后用勾股定理即可得出结论（3）方法1、同（2）的方法即可得出结论；方法2、先判断出CD2+CE2=2（AP2+CP2），再判断出CD2+CE2=2AC2即可得出结论【详解】解：BACDAE，BAC+CAEDAE+CAE，即BAECAD又ABAC，ADAE，ACDABE（SAS），CDBE（2）如图2，连结BE，ADAE，DAE60，ADE是等边三角形，DEAD3，ADEAED60，CDAE，CDAADE6030，由（1）得ACDABE，BECD4，BEACDA30，BEDBEA+AED30+6090，即BEDE，BD5（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2BC2，理由如下：解法一：如图3，连结BEADAE，DAE90，DAED45，由（1）得ACDABE，BECD，BEACDA45，BECBEA+AED45+4590，即BEDE，在RtBEC中，由勾股定理可知：BC2BE2+CE2BC2CD2+CE2解法二：如图4，过点A作APDE于点PADE为等腰直角三角形，APDE，APEPDPCD2（CP+PD）2（CP+AP）2CP2+2CPAP+AP2，CE2（EPCP）2（APCP）2AP22APCP+CP2，CD2+CE22AP2+2CP22（AP2+CP2），在RtAPC中，由勾股定理可知：AC2AP2+CP2，CD2+CE22AC2ABC为等腰直角三角形，由勾股定理可知：AB2+AC2BC2，即2AC2BC2，CD2+CE2BC2【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出BAE=CAD，解（2）（3）的关键是判断出BEDE，是一道中等难度的中考常考题24（1）；（2）；（3）5.5秒或6秒或6.6秒【分析】（1）根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可；（2）由题意得出，即，解方程即可；（3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况：当时（图，则，可证明，则，则，从而求得；当时（图，则，易求得；当时（图，过点作于点，则求出，即可得出【详解】（1）解：（1），；（2）解：根据题意得：，即，解得：；即出发时间为秒时，是等腰三角形；（3）解：分三种情况：当时，如图1所示：则，秒当时，如图2所示：则秒当时，如图3所示：过点作于点，则，秒由上可知，当为5.5秒或6秒或6.6秒时，为等腰三角形【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用25（1）AE=BD且AEBD；（2）6；（3）PQ为定值6，图形见解析【分析】（1）由“SAS”可证ACEBCD，可得AE=BD，EAC=DBC=45，可得AEBD；（2）由等腰三角形的性质可得PA=AQ，由勾股定理可求PA的长，即可求PQ的长；（3）分两种情况讨论，由“SAS”可证ACEBCD，可得AE=BD，EAC=DBC，可得AEBD，由等腰三角形的性质可得PA=AQ，由勾股定理可求PA的长，即可求PQ的长【详解】解：（1）AE=BD，AEBD，理由如下：ABC，ECD都是等腰直角三角形，AC=BC，CE=CD，ACB=ECD=90，ABC=CAB=45，ACE=DCB，且AC=BC，CE=CD，ACEBCD（SAS）AE=BD，EAC=DBC=45，EAC+CAB=90，AEBD；（2）PE=EQ，AEBD，PA=AQ，EP=EQ=5，AE=BD=4，AQ=，PQ=2AQ=6；（3）如图3，若点D在AB的延长线上，ABC，ECD都是等腰直角三角形，AC=BC，CE=CD，ACB=ECD=90，ABC=CAB=45，ACE=DCB，且AC=BC，CE=CD，ACEBCD（SAS）AE=BD，CBD=CAE=135，且CAB=45，EAB=90，PE=EQ，AEBD，PA=AQ，EP=EQ=5，AE=BD=4，AQ=，PQ=2AQ=6；如图4，若点D在BA的延长线上，ABC，ECD都是等腰直角三角形，AC=BC，CE=CD，ACB=ECD=90，ABC=CAB=45，ACE=DCB，且AC=BC，CE=CD，ACEBCD（SAS）AE=BD，CBD=CAE=45，且CAB=45，EAB=90，PE=EQ，AEBD，PA=AQ，EP=EQ=5，AE=BD=4，AQ=，PQ=2AQ=6.【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明AEBD是本题的关键26（1）详见解析；详见解析；（2）DE2= EB2+AD2+EBAD，证明详见解析【分析】（1）根据旋转的性质可得CF=CD，DCF=90，再根据已知条件即可证明ACDBCF；连接EF，根据中全等三角形的性质可得EBF=90，再证明DCEFCE得到EF=DE即可证明；（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD，DE，BE之间的关系【详解】解：（1）证明：由旋转可得CF=CD，DCF=90ACD=90ACD=BCF 又AC=BCACDBCF证明：连接EF，由知ACDBCFCBF=CAD=CBA=45，BCF=ACD，BF=ADEBF=90EF2=BE2+BF2，EF2=BE2+AD2 又ACB=DCF=90，CDE=45FCE=DCE=45又CD=CF，CE=CEDCEFCEEF=DEDE2= AD2+BE2 DE2= EB2+AD2+EBAD理由：如图2，将ADC绕点C逆时针旋转60，得到CBF，过点F作FGAB，交AB的延长线于点G，连接EF，CBE=CAD，BCF=ACD， BF=ADAC=BC，ACB=60CAB=CBA =60ABE=120，EBF=60，BFG=30BG=BF，FG=BF ACB=60，DCE=30，ACD+BCE=30，ECF=FCB+BCE=30CD=CF，CE=CEECFECDEF=ED 在RtEFG中，EF2=FG2+EG2又EG=EB+BGEG=EB+BF，EF2=（EB+BF）2+（BF）2DE2= （EB+AD）2+（AD）2DE2= EB2+AD2+EBAD【点睛】本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系27(1)AC=9;(2)ABAC=-72,BABC=216;(3)BC=2OC=2,AB=10.【分析】(1)在Rt中,根据勾股定理和新定义可得AO2-OC2=81=AC2;(2)先利用含30的直角三角形的性质求出AO=2,OB=,再用新定义即可得出结论;先构造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出BD,最后用新定义即可得出结论;(3)作BDCD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD是直角三角形,根据中线性质得出OA的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.【详解】(1)已知如图:AO为BC上的中线,在Rt中,AO2-OC2=AC2因为所以AO2-OC2=81所以AC2=81所以AC=9.(2)如图2,取BC的中点D,连接AO,AB=AC,AOBC,在ABC中,AB=AC,BAC=120,ABC=30,在RtAOB中,AB=12,ABC=30,AO=6,OB=,ABAC=AO2BO2=36108=72,取AC的中点D,连接BD,AD=CD=AC=6,过点B作BEAC交CA的延长线于E,在RtABE中,BAE=180BAC=60,ABE=30,AB=12,AE=6,BE=,DE=AD+AE=12,在RtBED中,根据勾股定理得,BD=BABC=BD2CD2=216;(3)作BDCD,因为,所以BD=2,因为,是边上的中线,所以AO2-OC2=-64,所以OC2-AO2=64,由因为AC2=82=64,所以OC2-AO2= AC2所以OAC=90所以OA=所以OC=所以BC=2OC=2,在RtBCD中,CD=所以AD=CD-AC=16-8=8所以AB=【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含30直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.28（1