人教版八年级初二数学第二学期勾股定理单元-易错题难题测试综合卷检测试题.doc

人教版八年级初二数学第二学期勾股定理单元 易错题难题测试综合卷检测试题

一、选择题
1．如图，点的坐标是，若点在轴上，且是等腰三角形，则点的坐标不可能是（ ）

A．（2，0） B．（4，0）
C．（－，0） D．（3，0）
2．△ABC的三边分别为，下列条件能推出△ABC是直角三角形的有（ ）
①;②;③ ∠A＝∠B∠C; ④∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 ;⑤;⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是

A．13 B．2 C．47 D．
4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，P是BC上一点，且DB＝DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB＝1：3，BC＝，则PE+PF的长是（ ）

A． B．6 C． D．
5．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（    ）

A．20 B．24 C． D．
6．在ΔABC中,,则∠A( )
A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．非上述答案
7．我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么 的值为（ ）.

A．49 B．25 C．13 D．1
8．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，则点D到AB的距离是（  ）

A．3 B．4 C． D．
9．下列各组数据，是三角形的三边长能构成直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
10．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（　　）
A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米
二、填空题
11．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，BC＝5，若点 M、N 分别是线段 AC、AB上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为_____________________．

12．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为 ，，，若，则的值是__________．

13．如图，△ABC是一个边长为1的等边三角形，BB1是△ABC的高，B1B2是△ABB1的高，B2B3是△AB1B2的高，……Bn-1Bn是△ABn-2Bn-1的高，则B4B5的长是________，猜想Bn-1Bn的长是________．

14．在△ABC 中，若，则最长边上的高为_____．
15．若为直角三角形，，，，点在斜边上，且，则的长为__________．
16．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,以AC为斜边向外作等腰直角三角形COA，已知BC=8,OB=10,则另一直角边AB的长为__________.

17．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A对应的点B就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.

18．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的边长分别为5和12，则b的面积为_________________.

19．如图的实线部分是由经过两次折叠得到的.首先将沿高折叠，使点落在斜边上的点处，再沿折叠，使点落在的延长线上的点处.若图中，，，则的长为______.

20．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的处，则点的坐标为______.

三、解答题
21．如图，在两个等腰直角和中，∠ACB = ∠DCE=90°．
（1）观察猜想：如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点C在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出 AD的长．

22．如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．

（1）当秒时，求的长；
（2）求出发时间为几秒时，是等腰三角形？
（3）若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
23．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．

（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝　 　度；
（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．
24．在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点D、E、C三点在同一条直线上，连接BD．

（1）如图1，求证：△ADB≌△AEC
（2）如图2，当∠BAC＝∠DAE＝90°时，试猜想线段AD，BD，CD之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝120°时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的数量关系式为：　 　（不写证明过程）
25．已知a，b，c满足＝|c﹣17|+b2﹣30b+225，
（1）求a，b，c的值；
（2）试问以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．
26．中，，，，分别是边和上的动点，在图中画出值最小时的图形，并直接写出的最小值为 .

27．如图，点A是射线OE：y＝x（x≥0）上的一个动点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，过点B作OA的平行线交∠AOB的平分线于点C．

（1）若OA＝5，求点B的坐标；
（2）如图2，过点C作CG⊥AB于点G，CH⊥OE于点H，求证：CG＝CH．
（3）①若点A的坐标为（2，2），射线OC与AB交于点D，在射线BC上是否存在一点P使得△ACP与△BDC全等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P1（，），P2（2，2），P3（2+，2﹣），请你判断也满足△ACP与△BDC全等的点是　 　．（写出你认为正确的点）
28．如图，在边长为正方形中，点是对角线的中点，是线段上一动点（不包括两个端点），连接.

（1）如图1，过点作交于点，连接交于点.
①求证：;
②设，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
（2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以为边的菱形.
29．（已知：如图1，矩形OACB的顶点A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D是y轴上一点且坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC﹣CB方向运动，到达点B时运动停止．
（1）设点P运动时间为t，△BPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当点P运动到线段CB上时（如图2），将矩形OACB沿OP折叠，顶点B恰好落在边AC上点B′位置，求此时点P坐标；
（3）在点P运动过程中，是否存在△BPD为等腰三角形的情况？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，CD是边AB的高线，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC运动；同时，动点F从点C出发，以相同的速度沿射线CB运动．设E的运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）AE＝　 　（用含t的代数式表示），∠BCD的大小是　 　度；
（2）点E在边AC上运动时，求证：△ADE≌△CDF；
（3）点E在边AC上运动时，求∠EDF的度数；
（4）连结BE，当CE＝AD时，直接写出t的值和此时BE对应的值．

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一、选择题

1．D
解析：D
【详解】
解：（1）当点P在x轴正半轴上，
①以OA为腰时，

∵A的坐标是（2，2），
∴∠AOP=45°，OA=，
∴P的坐标是（4，0）或（，0）；
②以OA为底边时，

∵点A的坐标是（2，2），
∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP=AP；
（2）当点P在x轴负半轴上，
③以OA为腰时，

∵A的坐标是（2，2），
∴OA= ，
∴OA=AP=
∴P的坐标是（-，0）．
故选D．
2．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，分别对每个选项进行判断，即可得到答案.
【详解】
解：∵，得，符合勾股定理逆定理，则①正确；
∵，得到，符合勾股定理逆定理，则②正确；
∵∠A＝∠B∠C，得∠B=∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=90°，故③正确；
∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，∠A+∠B+∠C=180°，
∴，故④正确；
∵，则⑤不能构成直角三角形，故⑤错误；
∵，则⑥能构成直角三角形，故⑥正确；
∴能构成直角三角形的有5个；
故选择：D.
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理进行判断三角形是直角三角形.
3．C
解析：C
【分析】
根据勾股定理即可得到正方形A的面积加上B的面积加上C的面积和D的面积是E的面积．即可求解．
【详解】
四个正方形的面积的和是正方形E的面积：即；故答案为C．
【点睛】
理解正方形A，B，C，D的面积的和是E的面积是解决本题的关键．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据三角形的面积判断出PE+PF的长等于AC的长，这样就变成了求AC的长；在Rt△ACD和Rt△ABC中，利用勾股定理表示出AC，解方程就可以得到AD的长，再利用勾股定理就可以求出AC的长，也就是PE+PF的长．
【详解】
∵△DCB为等腰三角形，PE⊥AB，PF⊥CD，AC⊥BD，
∴S△BCD=BD•PE+CD•PF=BD•AC，
∴PE+PF=AC，
设AD=x，BD=CD=3x，AB=4x，
∵AC2=CD2-AD2=（3x）2-x2=8x2，
∵AC2=BC2-AB2=（）2-（4x）2，
∴x=2，
∴AC=4，
∴PE+PF=4．
故选C
【点睛】
本题考查勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法证明线段之间的关系，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．
5．B
解析：B
【分析】
设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+x）,另一边为（b+x）,根据矩形的面积的即等于两个三角形的面积之和，也等于长乘以宽，列出方程，化简再代入a,b的值，得出x2＋7x=12，再根据矩形的面积公式，整体代入即可.
【详解】
设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+x）,另一边为（b+x）,根据题意得 ：2（ax+x2+bx）=（a+x）（b+x）,
化简得 ：ax+x2+bx-ab=0，
又∵ a = 3 ， b = 4 ，
∴x2＋7x=12;
∴该矩形的面积为=（a+x）（b+x）=（3+x）（4+x）=x2＋7x+12=24.
故答案为B.
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键.
6．A
解析：A
【解析】
【分析】根据以及三角形三边关系可得2bc＞a 2 ，再根据（b-c） 2 ≥0，可推导得出b 2 +c 2 ＞a 2 ，据此进行判断即可得.
【详解】∵ ，
∴，
∴2bc=a（b+c），
∵a、b、c是三角形的三条边，
∴b+c＞a，
∴2bc＞a·a，
即2bc＞a 2 ，
∵（b-c） 2 ≥0，
∴b 2 +c 2 -2bc≥0，
b 2 +c 2 ≥2bc，
∴b 2 +c 2 ＞a 2 ，
∴一定为锐角，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形三边关系、完全平方公式、不等式的传递性、勾股定理等，题目较难，得出b 2 +c 2 ＞a 2 是解题的关键.
7．A
解析：A
【分析】
根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方25，也就是两条直角边的平方和是25，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12，据此即可得结果.
【详解】
根据题意，结合勾股定理a2+b2=25，
四个三角形的面积=4×ab=25-1=24，
∴2ab=24，
联立解得：（a+b）2=25+24=49．
故选A.
8．C
解析：C
【分析】
过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质定理，可得：DE＝DC＝x，则BE＝－x，进而可得到AE＝AC＝7，在Rt△BDE中，应用勾股定理即可求解．
【详解】
过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED＝90°，AE＝AC＝7，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AC＝7，AB＝，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
AE＝AC，DE＝DC，
∴Rt△AED≌Rt△ACD，
∴AE＝AC＝7，
设DE＝DC＝x，则BD＝7－x，
在Rt△BDE中，，
即：，
解得： ，
故选：C．

【点睛】
本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，运用方程思想是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理的逆定理对各选项进行判断即可．
【详解】
解：A、∵22+32=13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵42+52=41≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵62+82=100=102，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
10．A
解析：A
【解析】
分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
详解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．
故选A．
点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．
二、填空题

11．8
【解析】
如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于的最小值
作交于，则为所求；
设,,

由，，
h+5=8，即BM+MN的最小值是8.

点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键．
12．48
【分析】
用a和b表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出的面积．
【详解】
解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a，较短的长度为b，即图中的，，
则，，，
∵，
∴

，
∴．
故答案是：48．
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用．
13．
【分析】
根据等边三角形性质得出AB1＝CB1＝，∠AB1B＝∠BB1C＝90°，由勾股定理求出BB1＝，求出△ABC的面积是；求出，根据三角形的面积公式求出B1B2＝，由勾股定理求出BB2，根据代入求出B2B3＝，B3B4＝，B4B5＝，推出Bn﹣1Bn＝．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝AC，
∵BB1是△ABC的高，
∴AB1＝CB1＝，∠AB1B＝∠BB1C＝90°，
由勾股定理得：BB1＝；
∴△ABC的面积是×1×；
∴，
∴×1×B1B2，
B1B2＝，
由勾股定理得：BB2＝，
∵，
∴，
B2B3＝，
B3B4＝，
B4B5＝，
…，
Bn﹣1Bn＝．
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是能根据计算结果得出规律．
14．
【分析】
解方程可求得a=4，b=3，故三角形ABC是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.
【详解】
解：∵，
将两个方程相加得：，
∵a＞0，
∴a=4
代入得：，
∵b＞0，
∴b=3，
∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形，
如下图，∠ACB=90°，CD⊥AB，

，
即：，
解得：CD=，
故答案为：.
【点睛】
本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.
15．5
【分析】
在直角中，依据勾股定理求出的长度，再算出，过点B作于点E，通过等面积法求出BE，得到两个直角三角形，分别运用勾股定理算出，两者相加即为的长.
【详解】
解：如图，过点B作于点E，则,,

∵直角中，，，，
∴,
又∵，
∴，,
∴,
∵,
∴,,
∴.
故答案为：5.
【点睛】
本题考查了勾股定理，通过作直角三角形斜边上的高，既构造了两个直角三角形求位置线段，又通过等面积法求出了一条直角边的长度，为运用勾股定理求线段创造了条件；故在求线段长时，可以考虑构造直角三角形.
16．12
【分析】
延长BA至E，使AE=BC，并连接OE.证∆BCO≅∠EAO，再证三角形BOE是等腰直角三角形，利用勾股定理可得BE=，可得AB=BE-AE.
【详解】

如图，延长BA至E，使AE=BC，并连接OE.
因为三角形COA是等腰直角三角形
所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°
因为∠ABC=90°，∠AOC=90°，
所以∠BAO+∠BCO=180°,
又∠BAO+∠OAE=180°
所以∠BCO=∠OAE
所以∆BCO≅∠EAO
所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA
所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90°
所以三角形BOE是等腰直角三角形
所以BE=
所以AB=BE-AE=20-8=12
故答案为：12
【点睛】
考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键.
17．5
【分析】
设绳索x尺，过点B向地面及AO作垂线BE、BC，构成直角三角形OBE，利用勾股定理求出x的值
【详解】
如图， 过点B作BC⊥OA于点C，作BD垂直于地面，延长OA交地面于点D
由题意知AD=1，BE=5，BC=10
设绳索x尺，则OA=OB=x
∴OC=x+1-5=x-4
在Rt△OBC中，OB2=OC2+BC2
∴
得x=14.5（尺）
故填14.5
,
【点睛】
此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键.
18．169
【解析】
解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，∴△ACB≌△DCE，∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即Sb=Sa+Sc==169．
故答案为：169．

点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
19．3
【分析】
根据题意利用折叠后图形全等，并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分析求解.
【详解】
解：由题意可知,
∵，，
∴，
∵，
∴(等量替换)，（三线合一），
∴
利用勾股定理假设的长为m，，则有，
解得，
所以的长为3.
【点睛】
本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定理分析是解题的关键.
20．（0，）.
【分析】
由求出点A、B的坐标，利用勾股定理求得AB的长度，由此得到，设点C的坐标为（0，m），利用勾股定理解得m的值即可得到答案.
【详解】
在中，当x=0时，得y=2，∴A（0,2）
当y=0时，得，∴，∴B(,0),
在Rt△AOB中，∠AOB=90，OA=2，OB=,
∴,
∴,
设点C的坐标为（0，m）
由翻折得，
∴，
在Rt中， ,
∴，解得m=，
∴点C的坐标为（0，）.
故答案为：（0，）.
【点睛】
此题考查勾股定理，翻折的性质，题中由翻折得是解题的关键，得到OC与A’C的数量关系，利用勾股定理求出点C的坐标.
三、解答题

21．（1），；（2）成立，理由见解析；（3）14或2．
【分析】
（1）先根据等腰三角形的定义可得，，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得，由此即可得；
（2）先根据三角形全等的判定定理与性质可得，，再根据直角三角形两锐角互余可得，然后根据对顶角相等、等量代换可得，从而可得，由此即可得；
（3）先利用勾股定理求出，再分①点在直线上，且点E位于中间，②点在直线上，且点D位于中间两种情况，结合（1）（2）的结论，利用勾股定理求解即可得．
【详解】
（1），，理由如下：
如图1，延长AE交BD于H，
由题意得：，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
故答案为：，；

（2）成立，理由如下：
如图2，延长AE交BD于H，交BC于O，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
即；

（3）设，
，
，
由题意，分以下两种情况：
①如图3-1，点在直线上，且点E位于中间，
同理可证：，，
，
，
在中，，即，
解得或（不符题意，舍去），
即，
②如图3-2，点在直线上，且点D位于中间，
同理可证：，，
，
，
在中，，即，
解得或（不符题意，舍去），
即，
综上，AD的长为14或2．

【点睛】
本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并画出图形是解题关键．
22．（1）；（2）；（3）5.5秒或6秒或6.6秒
【分析】
（1）根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可；
（2）由题意得出，即，解方程即可；
（3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当时（图，则，可证明，则，则，从而求得；
②当时（图，则，易求得；
③当时（图，过点作于点，则求出，，即可得出．
【详解】
（1）解：（1），
，
，
；
（2）解：根据题意得：，
即，
解得：；
即出发时间为秒时，是等腰三角形；
（3）解：分三种情况：
①当时，如图1所示：

则，
，
，
，

，
，
，
秒．
②当时，如图2所示：

则
秒．
③当时，如图3所示：

过点作于点，
则
，
，
，
秒．
由上可知，当为5.5秒或6秒或6.6秒时，
为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．
23．（1）45度；（2）∠AEC﹣∠AED＝45°，理由见解析；（3）见解析
【分析】
（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝140°，可得∠CAE＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝65°，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝180°﹣2α，可得∠CAE＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α，可得结论；
（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，由等腰直角三角形的性质可得EH＝EF，CH＝CG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得结论．
【详解】
解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，
∴AB＝AC＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，
∵∠AED＝20°，
∴∠ABE＝∠AED＝20°，
∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°
∴∠CAE＝50°，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，
∴∠AEC＝∠ACE＝65°，
∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，
故答案为：45；
（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，
理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，
∴∠BAE＝180°﹣2α，
∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，
∴∠AEC＝45°+α，
∴∠AEC﹣∠AED＝45°；
（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，

∵∠AEC﹣∠AED＝45°，
∴∠FEH＝45°，
∵AH⊥BE，
∴∠FHE＝∠FEH＝45°，
∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，
∴EH＝EF，
∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，
∴∠GCH＝∠FHE＝45°，
∴GC＝GH，
∴CH＝CG，
∵∠BAC＝∠CGA＝90°，
∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，
∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，
∴△AFB≌△CGA（AAS）
∴AF＝CG，
∴CH＝AF，
∵在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，
∴（AF）2+（EF）2＝2AE2，
∴EH2+CH2＝2AE2．
【点睛】
本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.
24．（1）见解析；（2）CD＝AD+BD，理由见解析；（3）CD＝AD+BD
【分析】
（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；
（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE＝AD，可得结论；
（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH＝AD，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD，即可解决问题；
【详解】
证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
（2）CD＝AD+BD，
理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
∴BD＝CE，
∵∠BAC＝90°，AD＝AE，
∴DE＝AD，
∵CD＝DE+CE，
∴CD＝AD+BD；
（3）作AH⊥CD于H．

∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
∴BD＝CE，
∵∠DAE＝120°，AD＝AE，
∴∠ADH＝30°，
∴AH＝AD，
∴DH＝＝AD，
∵AD＝AE，AH⊥DE，
∴DH＝HE，
∴CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD，
故答案为：CD＝AD+BD．
【点睛】
本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.
25．（1）a＝8，b＝15，c＝17；（2）能，60
【分析】
（1）根据算术平方根，绝对值，平方的非负性即可求出a、b、c的值；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面积和周长
【详解】
解：（1）∵a，b，c满足＝|c﹣17|+b2﹣30b+225，
∴，
∴a﹣8＝0，b﹣15＝0，c﹣17＝0，
∴a＝8，b＝15，c＝17；
（2）能．
∵由（1）知a＝8，b＝15，c＝17，
∴82+152＝172．
∴a2+c2＝b2，
∴此三角形是直角三角形，
∴三角形的周长＝8+15+17＝40；
三角形的面积＝×8×15＝60．
【点睛】
此题考查算术平方根，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理判断三角形的形状.
26．作图见解析，
【分析】
作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，连接AN，首先用等积法求出AH的长，易证△ACH≌△A'NH，可得A'N=AC=4，然后设NM=x，利用勾股定理建立方程求出NM的长，A'M的长即为AN+MN的最小值．
【详解】
如图，作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，最小值为A'M的长．

连接AN，
在Rt△ABC中，AC=4，AB=8，
∴BC=
∵
∴AH=
∵CA⊥AB，A'M⊥AB，
∴CA∥A'M
∴∠C=∠A'NH，
由对称的性质可得AH=A'H，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N
在△ACH和△A'NH中，
∵∠C=∠A'NH，∠AHC=∠A'HN，AH=A'H，
∴△ACH≌△A'NH（AAS）
∴A'N=AC=4=AN，
设NM=x，
在Rt△AMN中，AM2=AN2-NM2=
在Rt△AA'M中，AA'=2AH=，A'M=A'N+NM=4+x
∴AM2=AA'2-A'M2=
∴
解得
此时的最小值=A'M=A'N+NM=4+=
【点睛】
本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
27．（1）（5，0）；（2）见解析；（3）①P（4，2），②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．
理由见解析
【分析】
（1）由题意可以假设A（a，a）（a＞0），根据AB2+OB2=OA2，构建方程即可解决问题；
（2）由角平分线的性质定理证明CH=CF，CG=CF即可解决问题；
（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP=DB，连接AP．只要证明△ACP≌△CDB（SAS），△ABP是等腰直角三角形即可解决问题；
②根据SAS即可判断满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3；
【详解】
解：（1）∵点A在射线y＝x（x≥0）上，故可以假设A（a，a）（a＞0），
∵AB⊥x轴，
∴AB＝OB＝a，即△ABO是等腰直角三角形，
∴AB2+OB2＝OA2，
∴a2+a2＝（5）2，
解得a＝5，
∴点B坐标为（5，0）．
（2）如图2中，作CF⊥x轴于F．

∵OC平分∠AOB，CH⊥OE，
∴CH＝CF，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∵BC∥OE，
∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，
∵CG⊥BA，CF⊥BF，
∴CG＝CF，
∴CG＝CH．
（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP＝DB，连接AP．

由（2）可知AC平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠DAE＝（180°﹣45°）＝67.5°，
由OC平分∠AOB得到∠DOB＝∠AOB＝22.5°，
∴∠ADC＝∠ODB＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠ADC＝∠DAC＝67.5°，
∴AC＝DC，
∠BDC＝∠OBD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°，
∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，
∠OCB＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∠ACP＝180°﹣∠ACD﹣∠OCB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，
在△ACP和△CDB中， ，
∴△ACP≌△CDB（SAS），
∴∠CAP＝∠DCB＝22.5°，
∴∠BAP＝∠CAP+∠DAC＝22.5°+67.5°＝90°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∴AP＝AB＝OB＝2，
∴P（4，2）．
②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．
理由：如图4中，

由题意：AP1＝BD，AC＝CD，∠CAP1＝∠CDB，根据SAS可得△CAP1≌△CDB；
AP2＝BD，AC＝CD，∠CAP2＝∠CDB，根据SAS可得△CAP2≌△CDB；
AC＝CD，∠ACP3＝∠BDC，BD＝CP3根据SAS可得△CAP3≌△DCB；
故答案为P1、P2，P3．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．(1)①见解析；②；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）①连接DE，如图1，先用SAS证明△CBE≌△CDE，得EB=ED，∠CBE=∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC=∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；
②将△BAE绕点B顺时针旋转90°，点E落在点P处，如图2，用SAS可证△PBG≌△EBG，所以PG=EG=2－x－y，在直角三角形PCG中，根据勾股定理整理即得y与x的函数关系式，再根据题意写出x的取值范围即可.
（2）由（1）题已得EB=ED，根据正方形的对称性只需再确定点E关于点O的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长交AD于点M，再连接MO并延长交BC于点N，再连接DN交AC于点Q，问题即得解决.
【详解】
（1）①证明：如图1，连接DE，∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，
又∵CE=CE，∴△CBE≌△CDE（SAS），
∴EB=ED，∠CBE=∠1，
∵∠BEC=90°，∠BCF=90°，
∴∠EBC+∠EFC=180°，
∵∠EFC+∠2=180°，
∴∠EBC=∠2，
∴∠1=∠2.
∴ED=EF，
∴BE=EF.

②解：∵正方形ABCD的边长为，∴对角线AC=2.
将△BAE绕点B顺时针旋转90°，点A与点C重合，点E落在点P处，如图2，
则△BAE≌△BCP，
∴BE=BP，AE=CP=x，∠BAE=∠BCP=45°，∠EBP=90°，

由①可得，∠EBF=45°，∴∠PBG=45°=∠EBG，
在△PBG与△EBG中，，
∴△PBG≌△EB