阿基米德Copula下一般随机序的性质.pdf

高校应用数学学报2023,38(2):137-150阿基米德Copula下一般随机序的性质关清元1,2,34，王炳兴1*，钱昊1，赵添鑫1(1.浙江工商大学统计与数学学院，浙江杭州31 0 0 1 8;2.武夷学院数学与计算机学院，福建武夷山35430 0;3.福建省茶产业大数据应用与智能化重点实验室，福建武夷山35430 0;4.福建省认知计算与智能信息处理高校重点实验室，福建武夷山35430 0)摘要：文中研究了相依随机变量的一般随机序性质将独立随机变量一般随机序的两个特征推广到了阿基米德Copula下的相依随机变量此外还给出了阿基米德Copula相依随机变量的两个闭合性质.研究了两个相依随机变量集的最小和最大次序统计量满足一般随机序的充分条件.用几个数值例子验证所得结果.探讨了这些结果在系统可靠性和精算学中的一些潜在应用.关键词：阿基米德Copula；一般随机序；优化序；异质组合中图分类号：0 2 1 1.6S1 引 言文献标识码：A各种随机序是比较不同方案优劣的一种重要工具，其在保险精算 1-3，风险管理 4-5 以及可靠性 6-7 等领域有广泛的应用许多研究人员研究了各种随机序成立的条件及其实际应用，这些研究主要集中在独立随机变量情形.例如文 5 研究了止损序及其在个体模型中的应用；文 8 考虑了基于独立随机变量的各种随机比较；基于独立非负随机变量，文 9 获得了多种序的比较结果.对于独立负二项随机变量；文 1 0 研究了次序统计量的多种随机序的比较有关更多随机序比较及其应用，请参阅 1 1-1 3.在现实世界中，随机变量通常是相关的因此研究相依随机变量的各种随机比较是十分重要的因为Copula不仅包含边缘分布的信息，还包含随机变量之间的相依信息，所以常用Copula刻画随机变量之间的相依关系阿基米德Copula是一种非常重要的Copula，涵盖了很多相依结构，包括具有生成器exp(-t)的独立Copula.阿基米德Copula被广泛地用在许多领域，比如环境科学 1 4，保险精算 1 5，金融 1 6-1 7 ，可靠性 1 8 等有关Copula及其应用的全面回顾，请收稿日期：2 0 2 1-1 2-0 5修回日期：2 0 2 3-0 3-2 2*通讯作者，Email:基金项目：国家自然科学基金(1 1 8 7 1 431)；浙江省重点建设高校优势特色学科(浙江工商大学统计学)(1 0 2 0 JYN4120004G-093)文章编号：1 0 0 0-442 4(2 0 2 3)0 2-0 1 37-1 4138高校应用数学学报第38 卷第2 期参阅 1 9-2 3 在阿基米德Copula下，文 2 4 研究了两个系统寿命的随机比较.文 2 5 讨论了阿基米德Copula下次序统计量的随机比较.基于阿基米德Copula，文 2 6 刻画了最大次序统计量的序的比较特征.对比例失效率模型和比例逆失效率模型，文 2 7 得到了基于阿基米德生存Copula的次序统计量的随机比较结果.文 2 8 获得了基于阿基米德Copula的尺度模型次序统计量的随机比较结果.对于串并联和并串联系统，文 2 9 研究了基于阿基米德Copula的多种随机比较.作者发现,对于相依随机变量，很少有研究考虑一般随机序的特征和闭合性质上述文献中提到的基于阿基米德Copula的随机序的应用，包括文 7 中研究的最小次序统计量在可靠性和精算科学中的应用，促使作者考虑本文的问题.本文余下部分组织如下8 2 介绍了一些相关的定义和引理。8 3给出了一般随机序的特征和闭合性质，这些结果将文 30 中的一些定理推广到阿基米德Copula相依情形，并提供了说明性的例子.8 4讨论了本文结果的一些潜在应用.方便起见,记Rn=(z1,zn)zi E（-0 0,0 0),i=1,n),以及D=(a1,an):ai.:an 0.82预备知识在这一节中，回顾了Copula，一般随机序和优化序的概念，并给出了一些有用的引理。2.1Copula定义2.1 31】如果对任意的t E(a,b)以及kE0,1,函数h(-)的任意阶导数都存在并且满足(-1)*h(k)(t)0,其中a,b E（-0 0,0),h(k)表示h()的k;阶导函数,则称h()在区间(a,b)上是完全单调的.定义2.2 2 1 假设：(0,1 0,)是一个完全单调函数，且(1=0，(0)=00.令Cs(u）=C（u 1,un）=-1(ui)+.+(un)，其中-1是p的反函数则称C为有严格生成器的阿基米德Copula.假设F是一个n维随机向量Xn的分布函数，Fi，Fn 是边缘分布函数。与分布函数F有关的Copula是F(a1,.,an)=C(Fi(ri),.,Fn(an).与生存函数F有关的Copula是F(a1,.,an)=C(F1(r1),.,Fn(an).简记Fxn(an)=(Fi(a1),.,Fn(an),Fxn(an)=(F1(a1),.,Fn(an).根据文 31 中Bernstein定理1 2 a知，如果-1是一个完全单调函数，则必然存在一个分布函数L-1使得e-a dLs-1(a).因此有8I (ua)-(a)=Jo=1其中G(ui)=e-$(ui).ne-ad(ua)dL s-1(a),0i=1(1)关清元等：阿基米德Copula下一般随机序的性质1392.2一般随机序定义2.3假设X和Y是两个随机变量，它们各自的分布函数分别为Fx，Fy 如果对任意的E（-0,o 0)，有Fx()Fy()，则称X在一般随机序意义下小于Y，记作Xst Y.众所周知，XstY等价于对任意增函数，有E(X)E(d(Y).本文假设所有涉及到的期望都存在.对各种随机序及其相互关系的讨论可参考文 30,32 .2.3优化序定义2.4假定向量u=(u,un),um um)表示u1,un的递减序列,u,ERn.(i)如果i=1 =1,i=1,并且=1“)=1 ,则称向量u在优化序意义下大于向量u，记作uu;m(i）如果=a=,i=1,，n，则称向量u在弱上超优化序意义下大于向量，记作uu;(i）如果=1 uZ=1,=1,，n，则称向量u在弱下超优化序意义下大于向量,记作uwV.显然，u暗含着u与uw.优化序及其应用更详细的讨论可参见文 33.2.4若干引理为了得到本文的结果，需要下述引理。引理2.1 33 假设是定义在J上的实值连续可微函数，其中J是一个开区间，则函数是Schur凸(凹)的充要条件是(i)函数在Jn上是对称的；(ii)对任意的uE Jn，有0d(u)(u)(ui-uj)(0(0),i j,uiui其中ad(u)/ou;表示关于u的第i个分量的偏导函数.引理2.2 33】假设是定义在集合ACR上的实值函数，则(i）u w 意味着(u)(u)的充要条件是是A上的增Schur凸函数;(ii）u 意味着(u)(u)的充要条件是是A上的减Schur凸函数.引理2.3假设U和V是两个随机变量，而：(0,1)R+是一个单调递减函数，且(1)=0,d(0)=8.(i)对任意的0,定义U()和V()的生存函数分别为exp(-(Fu)和exp-d(Fv),则UstV成立的充要条件是对任意的0,U()st V()都成立;(ii）对任意的0,定义U()和V()的分布函数分别为exp-(Fu)和exp(-(Fv),则UstV成立的充要条件是对任意的0,U()stV()都成立.140高校应用数学学报第38 卷第2 期证（i）由于d()是的减函数，所以对任意的0,有Ust V Fu(t)Fv(t)exp(-(Fu(t)exp(-d(Fv(t)一 Fu(a)(t)Fv(a)(t)0,假设U()和V()的生存函数分别为exp-(Fu)和exp-(Fv)，且相互独立如果UstV，则根据引理2.3,有U(）s t V()从而由文 2 8 中定理1.A.9知，对任意的g E Gi,有g(U(),V()st g(V(),U().因此对任意的增函数,有E(g(U(),V()Ep(g(V(),U(a).另外由等式(1)可以得到对任意的0,(U,V)的联合生存函数可以表示为Fu,v(u,u)=-1(Fu(u)+(Fv(u)=/Ga(Fu(u)Ga(Fv(u)dLs-1(a).所以(U,V)的联合概率密度函数为fu.v(u,)=Ououf而hu(u;)=afu(u)Ga-1(Fu(u)G(Fu(u),hv(v;)=afv(u)Ga-1(Fv(u)G(Fv(u).注意到对任意的0,hu(u;)和hv(u;)分别是U()和V()的概率密度函数因此利用Fubini定理可得E(g(U,V)=同理可得E(g(V,U)=从(2),(3)和(4)式可得这意味着对任意的g E G1,有g(U,V)st g(V,U).定理得证.显然定理3.1 把文 2 8 中定理1.A.9的结果推广到有阿基米德Copula相依的随机变量情形.另外类似可以证明，文 2 8 中定理1.A.10的结果也可被推广到有阿基米德Copula相依的随机变量情形.(2)08hu(u;a)hv(v;)dLs-1(),g(u,u)hu(u;)hv(v;)dLs-i()dudv0g(u,)hu(u;a)hv(v;a)dudvdLs-1(a)0JE(g(U(),V()dLs-1().JoXE(g(V(),U()dLs-1(a).E (g(U,V)E (g(V,U).(3)(4)关清元等：阿基米德Copula下一般随机序的性质141定理3.2 假设C(Fu(u),Fv(u)是(U,V)的联合生存函数，其中C是有严格生成器的阿基米德Copula.则Ust V对任意的(g1,92)E G2,有 Egi(U,V)Eg2(U,V),其中G2=(g1,92)：A g(u,)对在u上每个u关于u减少，而且对在 u上每个u关于u增加,当uv时,g(u,u)-g(u,u),g(u,u)=g 2(u,u)-g i(u,).注3.1 定理3.1 和定理3.2 提供了在阿基米德Copula下一般随机序的两个等价定义.正如文 34 指出，这种随机比较对于解决参数的成对交换是必不可少的，参数的成对交换可以用于随机调度问题.另外，文 2 8 中定理1.A.3(b)和定理1.A.4也能被推广到相依随机变量的情况.结果见下面两个定理.定理3.3假设C(Fu，(u n)和C(Fv,(un)分别是随机向量(U1,Un)和(Vi,Vn)的联合生存函数，其中C是有严格生成器的阿基米德Copula如果UstVh，k=1,2,：，n，则对任意增函数g,有g(Ui,Un)0,U=(U1，,Un)的联合生存函数可以表示为Z(Fu,(uk)Fu(u,.,un)=$-1(k=1因此，（U1，,Un)的联合概率密度函数为nfu(ui,*.,un)=(-1)nFu(u,.,un)=Jui.un其中hus(uk;)=fu(u)G-1(Fus(uk)G(Fus(uk),1 kn.对任意的0,假设随机变量Ui(),Un(a)相互独立，且exp-p(Fu)是U;(a)的生存函数显然，对任意的0,U;()的概率密度函数为hu,（u;).所以对任意的增函数，有E(sg(U)=II hu.(ui a)d Ls-(a)du1.dunu1un0J18E(g(Ui(),.,Un()dLs-1(),0第二个等式中运用了Fubini定理.此外，假设随机变量Vi()，,Vn()相互独立，且Vi()的生存函数为exp-p(Fv).则类似有E(g(Vi,.,Vn)=因为UstVs，所以根据引理2.3,对任意的0,有Us()stVi()。从而根据文 2 8 中定理1.A.3(b),有g(Ui(),Un(a)st g(Vi(),Vn().这意味着对任意的增函数，有E (g(Ui(),.,Un()E (g(Vi(),.,Vn(a).(7)结合(5),(6)以及(7)式,有E(g(Ui,.,Un)E(g(Vi,.,Vn).所以有g(U1,.,Un)st g(Vi,.,Vn).II Ga(Fu(ux)L-1(a).nk=1IT hu(uk;a)Lo-(a),nJok=1ng(ui,.,un)0=1ng(ui,.,un)II hu.(ui;a)dui.dundLs-1(a)JunE(g(Vi(a),.,Vn()dLs-1().1(5)(6)142高校应用数学学报第38 卷第2 期0.80.60.40.200T,的生存函数T,的生存函数0.20.40.60.81X1.21.41.61.8图1=2 的Gumbel Copula下F(c)和F()的图像利用定理3.3，可以得到相依随机变量和与积的比较结果，这在金融和保险领域有着非常重要的应用。推论3.1 假设随机向量(U1，,Un)和(Vi，Vn)如定理3.3中设置的那样而a1,，a n是非负实数，则(i)Dh=1 akUk st Dh=1 ah Vh;(i)如果(U1,Un)和(Vi,.,Vn)是非负向量，则II=1akUst II=1akVh.定理3.3的结果可以用下面的例子来说明.例3.1 考虑有两个冷储备元件的组件A和B.假设(U1,U2,U3)和(V,V2,V3)分别表示组件A和B以及两个元件的寿命。它们的寿命分布均服从指数分布：UkE x p(入)，VkE x p(uk),其中入=（入1,入2,入3）=(3,4,5)，=（,2,3）=(2,2.5,4.5)。取(t)=(1nt)2,它是=2的GumbelCopula.有两个冷储备元件的组件A和B的寿命可表示为Ti=U1+U2+U和T2=Vi+V2+V3.很容易验证UstVs，k=1,2,3.图1 给出了Ti和T2的生存函数图像.从图1 中可以观察到Ti的生存函数图像总在T2的生存函数图像的下方，这验证了定理3.3的结果.定理3.4设非负随机变量序列 U1,U2，V1,V2，是相依的，随机向量(Ui,Un)和(Vi,，Vn)的联合生存函数分别为C(Fun（u n)和C(Fvn（u n)，其中C是有严格生成器p的阿基米德Copula而非负整值随机变量Ni和N2与随机变量U;和V;相互独立如果N1stN2,且Us st Ve,k=1,则ZM=,s et ZN=,Vve证因为Nist N2和随机序列 U1,U2,是非负的，所以有N1CUko.ZU.k=1k=1为了证明想要的结果，只需证明2k=1N2N2k=1关清元等：阿基米德Copula下一般随机序的性质143对任何增函数g()有N2EgUk(k=1同理有N2EgVk=1j=1由于Ukst Vs,k=1,2,j,所以由定理3.3得Vi,j=1,2,.k=1k=1所以Eg(k=1结合(8)，(9)以及(1 0)式，立刻有定理得证.注3.22 当C(Fun(un)和C(Fvn(un)分别被替换为C(Fun(un)和C(Fv,(un)时，上面四个定理的结论仍然成立.注3.3需要强调的是，在定理3.1，3.2，3.3以及3.4中建立的相依随机变量结果的充分条件分别与文 2 8 中的定理1.A.9,1.A.10,1.A.3(b)和1.A.4关于独立随机变量结果的充分条件相同.以下两个定理展示了在阿基米德Copula下，两个由相依异质部件组成的串联或并联系统寿命的一般随机序.定理3.5设C(Fu（u n)和C(Fv.（o n)分别是非负随机向量(U,Un)，(Vi,Vn)的联合生存函数，其中C是有严格生成器的阿基米德Copula如果对任意的入，ERn,Fus(u)=G(u,入k),Fve(u)=G(u,入),k=1,2,.,n,函数g(入)=n=1 d(G(z,入)关于入是Schur凸的，则有入U(1)stV(1).进一步，如果g()是入的减函数，则有入U(1)st V(1)证注意到U(1)的分布函数为Fu(a)(a)=所以根据等式(5)有Fu.,(a,.,a)=8E9j=1(k=18Egj=1k=18Eg a)1-P(Ui c,U2,.,Un a)1-Fu.u,(c,.,a).8nII Ga(Fu(a)dLs-(a)0k=1exp/-a0(g.x)dJok=1N2Uk/N2=UkP(N2=j).VkP(N2=j).Vk,j=1,2,.;P(N2=j)(8)(9)(10)144高校应用数学学报第38 卷第2 期因此有Fu(n)()=1-同理有Fva)(a)=1-注意到g()是关于入的Schur凸函数，所以当入入 时，有g()g(入).结合(1 1)和(1 2)式，对所有的0,有Fva)(a)Fu()(a)此外，当g(入)是入的减函数时，根据引理2.2 可得入U(1)st V(1).定理得证.推论3.2 设随机向量(U1,Un)和(Vi,Vn)如定理3.5中所定义，若G(u,入)是入的凹函数,则有入U(1)stV(1),进一步,当(u,)是入的增函数时,则有入U(1)stV(1),证首先证明当G(u,)是入的凹函数时，g()是入的Schur凸函数。显然，函数g(入)是对称的.求g(入)关于入的偏导函数，得(13)其中h(k）=G(,入k).简便起见，记u(t)=h(t)p(h(t).又注意到G(c,入k)是入的凹函数，并且是阿基米德Copula的严格生成器，则有所以u(t)是t的增函数.注意到)=(入)，则当ij时，有(入;一入;)(0.入;因此，由引理2.1 知，g()是入的Schur凸函数，从而由定理3.5得入U(1）s t V(1)下面证明当G(c,入)是入的增函数时，g(入)是入的减函数.当(a，入)是入的增函数时，由于()是减函数，根据(1 3)式，有%0.所以g()是入的减函数.再根据定理3.5,有入入U(1)stV(1).定理得证.下面的例子验证了定理3.5和推论3.2 的有效性.例3.2 假设G(u,)=1-exp(u)/1-exp(-1),0 0.很明显G(a,入)是入的增凹函数.假定U G(u,入h),Vh G(u,k),Wk G(u,Vk),=1,2,3.取入=(1,入2,入3)=(3,1,6),，=（1,2,3)=(4,2,5)以及=(V1,V2,V3)=(6,8,3).考虑=2/3的ClaytonCopula:容易验证入v，从推论3.2 可得W(1）s t V(1)s t U(1)：图2 显示了Fu(n)(u)，Fv a)(u),Fwa)(u)的图像，从图2 可以发现Fw(1)(u)的图像在Fvan)(u)的图像的上方，并且Fu(a)（u)的图像在Fva)(u)的图像的下方，这验证了定理3.5和推论3.2 的结果.下面的反例表明，定理3.5和推论3.2 中关于生存函数的充分条件不能被舍弃.反例3.1 假定G(u,)=1-exp(-入u),u 0,入 0.U G(u,入),V G(u,k),=1,2,3.入=（入1,入2,入3）=(3,1,6)，=（1,2,3）=（4,2,4.9)。阿基米德Copula和例3.2 中一样。容易验证入，但是G(u,入)不是入的增凹函数.图3显示了Fu1)(u)和Fv%,Fve(u)=G(u)*,k=1,2,n.如果入X,则U(n)st V(n).下面的两个例子说明了定理3.6 和推论3.3的有效性.例3.3 假定U E x p(入z),Vh E x p(u k),W E x p(v k),=1,2,3.入,V,阿基米146高校应用数学学报第38 卷第2 期0.90.80.70.60.50.40.30.20.100.511.522.533.5.4Ug的生存两数V(a的生存函数W的生存函数4.55图 4=2/3的Clayton Copula下FU(s)(a),FV(s)(a)和Fw(s)(a)的图像0.9h0.80.70.60.50.40.3的生存插数尚的生存函数Wo的生存函数7.588.599.51010.51111.512图 5 =2/3的Clayton Copula下Fu(s)(a),FV(s)(a)和FW(s)(n)的图像德Copula和例3.2 中一样.显然，指数分布的分布函数G(u;入)是入的增凹函数由于v三兰入，所以用推论3.3可得W(3）s t V(3)s t U(3)。图4显示了函数Fu(s)(a),FV(s)(a)和Fw(s(ac)的图像.从图中可以发现Fu(s（a)的图像在Fves)(a)的图像的上方，并且Fve)(a)的图像在Fw(a)(a)的图像的上方，这验证了定理3.6 和推论3.3的结果.例3.4如果U的分布函数是F(u;入,)=G二其中入和(0)是参数并且G()是基线分布函数,则U服从位置尺度族(记作ULS(入,).在位置尺度模型中，取基线概率密度函数为假定Uk LS(入z,3),V LS(k,3),W LS(Vk,3),k =1,2,3.取入=(A1,入2,入3)=(6,-3,7)，=（1,2,3）=(5,-2,4),=(v1,V2,V3）=（-1,0,3).阿基米德Copula和例3.2 中一样。由于w入，所以用推论3.3可得：W(3)stV(s3）s t U(3)：图5给出了Fucs(a),Fve)(a)和FW(a)(a)的图像.可以看到Fu(a)（a)的图像在Fv入,山g(a)=-(1+2)-3.关清元等：阿基米德Copula下一般随机序的性质1470.520.5-U,的生存函数0.480.460.440.420.40.380.360.340.328V3)(3)的生存函数101214X16182022图 6=2/3的Clayton Copula下FU(s)(a)和Fv(s()的图像反例3.2 假定Uk，V和Copula如例3.2 中设定的那样。取入=(3,1,6)，=（4,2,4.9)容易验证条件入w不成立。对于这种情况，Fu(s)（u)与Fves)（u)的图像呈现在图6 中，从图中能够发现定理3.6 和推论3.3的结果不成立，84 一些应用本节说明本文结果的一些潜在应用一个应用是比较两家保险公司的最大预留索赔额。假设Ni(t)和N2(t)表示这两家保险公司在时刻t时保单数量，U;(t)和Vi(t)表示这两家保险公司在时刻时第价保单的索赔金额。则9 U(C)和冶V(C)表示这两家保险公司在时剂时的最大预留索赔额.利用定理3.4可得下面的定理，用它可以比较这两个量。定理4.1 假定 Ui(t),U2(t),和 Vi(t),V2(t),是二个非负相依的随机变量序列，并且C是有严格生成器的阿基米德Copula.而(Ui(t),Un(t)和(Vi(t),Vn(t)的联合生存函数分别是C(Fun(t)（u n(t)和C(Fva()(un(t)。非负整值随机变量Ni(t)和N2(t)与随机变量U;(t)和Vi(t)相互独立.如果对k=1,2,.,有Uk(t)st Vk(t),Ni(t)st N2(t),则Ni(t)k=1另外一个应用是比较两个不同的风险组合的最小索赔量。假设U;表示在保险期间第i个风险因素的随机索赔额的大小，Ip,表示伯努利随机变量，当没有索赔发生时，Ip：=0，反之，Ip;=1.进一步假设(Ip1，Ip n）和(pi，Ip s）是二组独立伯努利随机变量，且分别和U，V独立，满足E（Ip）=p i,E（p s）=p.在这种情况下，U=IpU;和V*=IpV;相当于两个风险投资组合中的索赔额。则Ua)=min(IpU,，Ip n U n)和Va)=min(piVi,，Ip Vn)表示两个风险组合中最小的索赔额.下面结果显示了最小索赔额的随机比较结果.N2(t)k=1148高校应用数学学报第38 卷第2 期定理4.2 假定Us G(u,s),Vh G(u,入),k=1,.,n.C(Fun(un)和C(Fv,(un)分别是随机向量(U1,Un)和(Vi,，Vn)的联合生存函数，其中C是有严格生成器的阿基米德Copula.如果对任意入，E Rn，函数ng()=d(G(,入k)k=1关于入是Schur凸的，并且II=1PkI=1P%，则入=X U()st V(i)进一步,如果g(入)是入的减函数，则=X Ua)st V(i)证 U(i)的生存函数为Fua,(c)=PP(Ui a,U2 a,.,Un a)P(Ip=1,Ip2=1,.,Ipn=1)n(II pk)Fua(a).k=1考虑到nIIpkIIpt,nk=1由定理3.5即得所要结论.定理得证.利用推论3.2，可以得到下面的最小索赔额的比较结果.推论4.1 假设(U1,Un)和(Vi,，Vn)如定理4.2 中设置的那样，如果G(u,入)是入的凹函数,并且II=1 Ph II=1 Pk,则进一步,如果G(u,入)是入的增函数，则k=1X U(a)st V(i)入2 XU(1)st V(i).参考文献：1 2 3 45Denuit M,Frostig E.Heterogeneity and the need for capital in the individual modelJ.Scandinavian Actuarial Journal,2006,2006(10):42-66.Balakrishnan N,Zhang Yiying,Zhao Peng.Ordering the largest claim amounts and rangesfrom two sets of heterogeneous portfoliosJ.Scandinavian Actuarial Journal,2018,2018(1):23-41.Li Chen,Li Xiaohu.Hazard rate and reversed hazard rate orders on extremes of hetero-geneous and dependent random variablesJ.Statistics and Probability Letters,2019,146:104-111.Zhang Yiying,Cai Xiong,Zhao Peng.Ordering properties of extreme claim amounts fromheterogeneous portfoliosJJ.ASTIN Bulletin:The Journal of the International ActuarialAssociation,2019,49(2):525-554.Barmalzan G,Najafabadi A T P,Balakrishnan N.Stochastic comparison of aggregate claimamounts between two heterogeneous portfolios and its applicationsJ.Insurance:Mathe-matics and Economics,2015,61:235-241.关清元等：阿基米德Copula下一般随机序的性质1496Fang Longxiang,Balakrishnan N.Ordering properties of the smallest order statistics fromgeneralized birnbaum-saunders models with associated random shocksJJ.Metrika:Interna-tional Journal for Theoretical and Applied Statistics,2018,81(1):19-35.7Panja A,Kundu P,Pradhan B.Stochastic comparisons of lifetimes of series and parallelsystems with dependent and heterogeneous componentsJj.Operations Research Letters,2021,49(2):176-183.8 Fang Longxiang,Zhang Xinsheng.Stochastic comparisons of parallel systems with expo-nentiated Weibull componentsJ.Statistics and Probability Letters,2015,97:25-31.9Torrado N.Stochastic comparisons between extreme order statistics from scale modelsJ.Statistics,2017,51(6):1359-1376.10 Chen Jianbin,Zhang Yiying,Zhao Peng.Comparisons of order statistics from heterogeneousnegative binomial variables with applicationsJJ.Statistics,2019,53(5):990-1011.11 Denuit M.Laplace transform ordering of actuarial quantitiesJJ.Insurance:Mathematicsand Economics,2001,29(1):83-102.12 Goovaerts M J,Kaas R,Laeven R,et al.A Comonotonic Image of Independence for AdditiveRisk MeasuresJJ.Insurance:Mathematics and Economics,2004,35(3):581-594.13Shaked M.Stochastic comparisons of multivariate random sums in the Laplace transformorder,with applicationsJ.Statistics and Probability Letters,2007,77(12):1339-1344.14Ji Zhonghui,Liu Xueqin.Comparative analysis of PM2.5 pollution risk in China usingthree-dimensional Archimedean Copula methodJ.Geomatics,Natural Hazards and Risk,2019,10(1):2368-2386.15 Li Hong,Lu Yang.Modeling cause-of-death mortality using hierarchical Archimedean Cop-ulaJ.Scandinavian Actuarial Journal,2019,2019(3):247-272.16 Prange D,Scherer W.Correlation smile matching for collateralized debt obligation trancheswith-stable distributions and fitted Archimedean Copula modelsJ.Quantitative Finance,2009,9(4):439-449.17Trede M,Savu C.Do stock returns have an Archimedean Copula?J.Journal of AppliedStatistics,2013,40(8):1764-1778.18 Rezapour M,Salehi E T,Alamatsaz M H.Stochastic comparison of residual and past lifetimesof(n-k+1)-out-of-n systems with dependent componentsJ.Communications in Statistics-Theory and Methods,2013,42(12):2185-2199.19 Cherubini U,Luciano E,Vecchiato W.Copula Methods in FinanceM.New York:JohnWiley and Sons,2004.20 Cherubini U,Mulinacci S,Gobbi F,et al.Dynamic Copula Methods in FinanceM.NewYork:John Wiley and Sons,201l.21 Denuit M,Dhaene J,Goovaerts M,et al.Actuarial Theory for Dependent Risks Measures,Orders and ModelsM.New York:John Wiley and Sons Ltd,2005.22 Joe H.Multivariate Models and Dependence ConceptsM.London:Chapman and Hall,1997.23 Nelsen R.An Introduction to CopulasM.New York:Springer,2006.24 Rezapour M,Alammatsaz M H.Stochastic comparison of lifetimes of two(n-k+1)-out-of-n systems with heterogeneous dependent componentsJ.Journal of Multivariate Analysis,2014,130:240-251.150高校应用数学学报第38 卷第2 期25 Li Xiaohu,Fang Rui.Ordering properties of order statistics from random variables ofArchimedean Copulas with applicationsJJ.Journal of Multivariate Analysis,2015,133:304-320.354300,China;Education Institutions,Wuyishan 354300,China)26 Mesfioui M,Kayid M,Izadkhah S.Stochastic comparisons of order statistics from heteroge-neous random variables with Archimedean CopulaJJ.Metrika,2017,80(6):749-766.27 Fang Rui,Li Chen,Li Xiaohu.Stochastic comparisons on sample extremes of dependentand heterogeneous observationsJ.Comput Math Appl,Statistics,2016,50(4):930-955.28 Li Chen,Fang Rui,Li Xiaohu.Stochastic comparisons of order statistics from scaled andinterdependent random variablesJ.Metrika,2016,79(5):553-578.29 Fang Longxiang,Balakrishnan N,Jin Qing.Optimal grouping of heterogeneous componentsin series-parallel and parallel-series systems under Archimedean Copula dependenceJ.Jour-nal of Computational and Applied Mathematics,2020,377:1-16.30 Shaked M,Shant