混凝土坝瞬态热传导分析的快速边界面法.pdf

水利水电科技进展,2016,36(1)摇 Tel:[phone]摇 E鄄mail:jz hhu. edu. cn摇 http:/ / www. hehaiqikan. cn 第 36 卷第 1 期 Vol. 36 No. 1 水 利 水 电 科 技 进 展 Advances in Science and Technology of Water Resources 2016 年 1 月 Jan. 2016 基金项目:国家自然科学基金(11172098);国家重点基础研究项目(973 计划)(2010CB328005) 作者简介:何建平(1966),男,高级工程师,博士,主要从事水电、机械计算机仿真研究。 E鄄mail:jianping_he163. com DOI:10. 3880/ j. issn. 10067647. 2016. 01. 013 混凝土坝瞬态热传导分析的快速边界面法 何建平1,2,张见明1,李光耀1,郭帅平1 (1. 湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室,湖南 长沙摇 410082; 2. 中国电建集团中南勘测设计研究院有限公司,湖南 长沙摇 410014) 摘要:采用与快速算法相结合的边界面法,对大坝浇筑过程中的瞬态热传导问题进行仿真分析,预 测混凝土大坝施工过程中温度的分布及随时间的变化。 采用时间卷积法计算时间积分,通过Taylor 级数展开将基本解中的空间变量和时间变量分离,一次性计算并存储空间变量的积分,提高了卷积 积分的计算效率。 算例仿真分析表明:边界面法的计算温度分布与有限元法计算结果高度吻合,将 边界面法应用于真实大坝浇筑过程瞬态热传导分析是可行的。 关键词:边界面法;有限元法;时间卷积法;瞬态热分析;混凝土坝 中图分类号:O241; O414摇 摇 摇 文献标志码:A摇 摇 摇 文章编号:10067647(2016)01007106 Fast boundary face method for transient heat conduction analysis of concrete dams/ / HE Jianping1, 2, ZHANG Jianming1, LI Guangyao1, GUO Shuaiping1(1. State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body, Hunan University, Changsha 410082, China; 2. Power China Zhongnan Engineering Corporation Limited, Changsha 410014, China) Abstract: The boundary face method (BFM), combined with a fast algorithm, was applied to transient heat conduction analysis of concrete dams during the pouring process, so as to predict the temperature distribution and its time history in concrete dams during the construction process. Using the time convolution method to compute the time integration and the Taylor series expansion method to separate the spatial variables and time variables in fundamental solutions, the spatial variable integrals can be calculated and stored at the same time, improving the calculation efficiency of the convolution integral. A case study shows that the temperature distribution obtained by the fast BFM agrees with the results of the finite element method, demonstrating the feasibility of application of the fast BFM to transient heat conduction analysis during the actual dam construction process. Key words: boundary face method; finite element method; time convolution method; transient heat conduction analysis; concrete dam 摇 摇计算机辅助工程(CAE)对于推动产品研发和 指导工程建设具有重要意义。 计算机技术的快速发 展推动了 CAE 的发展。 但 CAE 仍面临许多难 题1,比如如何对复杂几何形体进行离散才能进行 有效计算,如何处理大规模工程问题的数值计算。 陆续涌现出的有限差分法(FDM)、有限体积法 (FVM)、有限元法(FEM)和边界元法2(BEM)都未 能很好地解决这些问题。 目前大多数 CAE 软件采 用的是有限元法。 有限元法需对整个求解域进行离 散处理,其应力计算精度较位移精度低。 相比有限元法,另一种有吸引力的数值方法是 以边界积分方程为基础的边界元法3,该法不仅可 以减轻有限元法的网格离散困难,还具有高精度和 便于处理无限域问题、边界及界面问题、奇异性问题 等突出优点,因此在工程数值分析领域被公认是有 限元法的一个重要补充。 近年来一些关键技术的突 破使边界元法又发生了革命性的变化:淤稠密矩阵 稀疏化技术,包括快速多极算法4、分级矩阵和小 波算法(其中快速多极算法是 20 世纪十大算法之 一),可以将边界元满阵方程的求解复杂度降为线 性,从而使得边界元法在解题规模上优于有限元法; 于对偶互易法、径向积分法5和奇异边界法6的提 出大大扩展了边界元法的应用范围,使得边界元法 不仅能够求解基本解存在的线弹性问题,还可以求 解非均质问题、非线性问题和时域问题;盂奇异积 分7鄄8、近奇异积分处理技术的发展9,使得边界元 17 水利水电科技进展,2016,36(1)摇 Tel:[phone]摇 E鄄mail:jz hhu. edu. cn摇 http:/ / www. hehaiqikan. cn 法可以基于三维理论求解超薄型结构。 然而,在传 统的边界元法中,三维 CAD 几何模型被离散成边界 元分析模型后,CAD 模型的原始几何信息基本被丢 掉,导致设计和分析变成了两个相互独立的过程。 由于 CAD 模型和分析模型的分离,在边界元自适应 网格细分过程中,需要反复地与 CAD 系统进行交 互,而每个交互过程都是很烦琐的。 为了克服上述缺点,张见明等10在边界元法和 边界点法11的基础上提出了边界面法(BFM)。 在 边界面法中,对边界的数值积分和场变量的插值都 在边界曲面的二维参数空间中进行,CAE 分析直接 在 CAD 模型上进行,实现了复杂结构的 CAE 分析 自动化。 由于 CAE 模型与 CAD 几何模型融为一 体,不管网格离散有多么粗糙,分析模型在几何上都 是精确的,并且在自适应网格细分过程中,不再需要 与 CAD 系统反复地进行交互,使自适应分析变得简 单。 目前边界面法已经取得了许多研究成果,如参 数曲面内的网格自动生成算法12、多域稳态热传导 分析13、弹性静力分析、温度应力分析、声场分 析14以及近奇异积分计算9。 张见明等15通过快 速多级子算法、自适应交叉拟合(ACA)和分级矩阵 (H鄄matrix)技术,成功地将计算量级从 O(N2)降至 O( NlgN), 并且基于 GPU 高性能并行计算, 在 CUDA 编程环境中实现了边界面法正则积分的并行 加速,使边界面法的大规模工程应用成为可能。 混凝土大坝施工过程的温度控制对于防止大坝 混凝土开裂进而保证大坝安全运行具有重要意义。 温度控制的目的是保证基础温差、上下层温差、内外 温差在许可范围内,以保证温度应力在可控范围内, 对大坝施工期及运行期瞬时温度场的预测是温度控 制的关键。 笔者运用边界面法对大坝逐层浇筑施工 期及运行期的瞬态温度进行数值仿真,结合自适应 交叉拟合算法和基本解时间积分与空间积分分离方 法解决瞬态热传导问题中存在的计算时间长、需要 存储空间大等问题,对大坝自然冷却过程中经典瞬 态热传导过程16及真实大坝冷却过程进行仿真,以 验证边界面法计算大坝瞬态热传导问题的有效性。 1摇 瞬态热传导问题的时域卷积法 1. 1摇边界积分方程 大坝浇筑及其温度场演变过程是一个包含水化 热生成的瞬态热传导过程,坝体几何形状、内部温 度、热流密度随时间而变化。 瞬态热传导问题的数 学模型为 k 籽c 2u + Q 籽c = 觶 u摇 (x 沂 赘) u = 軈u 摇 (x 沂 Su) - k 鄣u 鄣n 以 q = 軃q摇 (x 沂 Sq) q = 茁(u - ua)摇 (x 沂 SR ) (1) 式中:赘 为目标结构所占区域,其边界 祝=Su胰Sq胰 SR;Su、Sq、SR分别为已知温度、热流密度、对流关系 的边界;n 为外法向量;u、q 分别为温度和热流密 度;軈u、軃q 为温度和热流密度的边界已知量; 觶 u 为温度 对时间的导数;Q 为热源密度函数;ua为对流表面 流体的平均温度; k、籽、c 分别为材料的传热系数、密 度、比热容;茁 为对流系数。 瞬态热传导问题的基本解17为 u*(y,x,t,子) = 1 (4仔K(t - 子)1郾 5 e - r2 4K(t-子) q*(y,x,子,t) =- k 鄣 鄣n(x)u *(y,x,子,t ) (2) 其满足 K 2u*+ 觶 u*=- 啄(y - x)啄(t - 子)(3) 式中:u*为位移基本解;K 为导温系数;q*为位移基 本解的法向导数;y、x 分别为源点和场点;t、子 分别 为时间变量和待分析时刻;r 为源点和场点间的距 离函数;啄 为狄利克雷函数。 运用式(2)中的基本解 可得到式(1)的等效积分形式17: 1 籽c乙 子 0乙祝u *(y,x,子,t) k鄣u(x,t) 鄣n(x () ) d祝(x)dt - 1 籽c乙 子 0乙祝u(x,t) k 鄣u*(y,x,子,t) 鄣n(x () ) d祝(x)dt + 乙 赘u *(y,x,子,0)u(x,0)d赘(x) + 1 籽c乙 子 0乙赘u *(y,x,子,t)Q(x,t)d赘(x)dt = C(y)u(y,子) (4) 其中C(y) = 0摇 y 埸 赘,y 埸 祝 1摇 y 沂 赘 兹 4仔 摇 y 沂 祝 式中 兹 为 y 点处的立体角。 式(4)中的边界积分方 程为实现瞬态热传导数值仿真的基础。 为简单起 见,暂不考虑热源及初始条件,亦即假设结构内部无 热源并且结构的初始温度为零。 实际上,当热源密 度分布、初始温度分布满足 Laplace 方程时,式(4) 中相应的体积分项可以通过互易原理转化为边界积 分。 边界积分方程可表示为 C(y)u(y,子) = 1 籽c乙 子 0乙祝u(x,t)q *(y,x,子,t)d祝(x)dt - 27 水利水电科技进展,2016,36(1)摇 Tel:[phone]摇 E鄄mail:jz hhu. edu. cn摇 http:/ / www. hehaiqikan. cn 1 籽c乙 子 0乙祝u *(y,x,子,t)q(x,t)d祝(x)dt (5) 1. 2摇 时域卷积法 运用边界面法分析瞬态热传导问题时,时域方 法计算时间积分的方案有拟初始条件方法和时间卷 积法。 拟初始条件法的基本原理是每一个时间步的 计算结果都作为下一步计算的初始条件,因此需要 计算对初始条件的体积分;时间卷积法的基本原理 是每一步的计算都需要用到初始时刻到当前时间步 之间所有时间步的边界温度及热流密度。 采用时间 卷积法,结合边界面法离散技术,将方程(5)最终转 化为线性方程组进行求解。 将时间区间0,子均匀分成 M 个长度为 驻t 的 时间步,在每个时间步内假设温度和热流密度不随 时间改变,于是式(5)通过时间离散为 C(y)u(y,tM) = 1 籽c移 M m = 1乙祝u(x,t m)乙 tm tm-1q *(y,x,t M,t) dtd祝(x) - 1 籽c移 M m = 1乙祝 q(x,tm)乙 tm tm-1u *(y,x,t M,t)dtd祝(x) (6) 其中 tm=m驻t,记 TM+1-m(y,x) =乙 tm tm-1u *(y,x,t M,t)dt (7) FM+1-m(y,x) =乙 tm tm-1q *(y,x,t M,t)dt (8) 则式(6)可化简为 C(y)u(y,tM) = 1 籽c移 M m = 1乙祝 u(x,tm)FM+1-m(y,x)d祝(x) - 1 籽c移 M m = 1乙祝q(x,t m)TM+1-m(y,x)d祝(x) (9) 摇 摇 使用边界面法将上述边界积分方程进行空间离 散,具体过程可以参见稳态热问题的离散过程13, 以下只列出离散之后的边界积分方程: C(y)u(y,tM) = 1 籽c移 M m = 1移 N j = 1 u(xj,tm)移 NP k = 1乙祝kN j(x) FM+1-m(y,x)d祝(x) - 1 籽c移 M m = 1移 N j = 1 q(xj,tm) 移 NP k = 1乙祝kN j(x)TM+1-m(y,x)d祝(x) (10) 方程(10)组织成矩阵形式为 移 M m = 1 HmMum=移 M m = 1 GmMqm(11) 其中摇 摇 HmM,ij= 1 籽c移 NP k = 1乙祝kN j(x)FM+1-m(yi,x)d祝(x) - C(yi)啄mM(12) GmM,ij= 1 籽c移 NP k = 1乙祝kN j(x)TM+1-m(yi,x)d祝(x) (13) um,j= u(xj,tm)(14) qm,j= q(xj,tm)(15) 式中:N 为单元形函数;下标 i、j 分别为域边界号和 单元号。 式(11)在考虑边界条件后重新组织可以得到 AMMXM= bM- 移 M-1 m = 1 HmMum-移 M-1 m = 1 GmMq() m (16) 式中 XM为 tM时边界上的未知量。 1. 3摇 基本解的展开 在式(16)右端积分的计算中,对于每一个 M, 前面时间步对应的矩阵 HmM、GmM都需要进行更新, 并且分别与节点温度向量、节点热流密度向量相乘。 当边界条件类型以及时间步长都未发生改变时,矩 阵 A 是不变的,因此 A 只需要分解求逆一次,便可 存储起来供后续时间步计算使用。 但是 H1M、G1M在 每一个时间步计算时都需要计算并存储,计算第 M 个时间步时就得计算并存储 2M 个矩阵。 特别当时 间步长发生改变时,所有卷积矩阵都得重新计算,这 种计算非常耗时,缺乏应用的可行性。 研究发现,这种情况的根源在于基本解中时间 变量和空间变量相互掺和在一起,虽然空间变量一 直没发生变化,但随着时间的更新,矩阵必须不断更 新,每更新一次就得计算一次边界积分。 针对此问 题的解决方法是将基本解通过 Taylor 级数展开,将 时间变量从基本解中分离出来,然后取展开后无穷 级数中的有限项进行近似计算。 因此,空间变量的 积分可以一次性计算并存储,卷积矩阵可以通过这 些存储的矩阵计算出来,而不需要在每一个时间步 中反复计算边界积分,从而节省大量的计算时间。 考察式(7)与式(8),其等价形式为 TM+1-m(y,x) =乙 tm tm-1u *(y,x;t M,t)dt = 1 4仔1郾 5Kr祝(0郾 5,am-1) - 祝(0郾 5,am) (17) FM+1-m(y,x) =乙 tm tm-1q *(y,x;t M,t)dt = - k 2仔1郾 5Kr2 鄣r 鄣n祝(1郾 5,am-1) - 祝(1郾 5,am)摇 摇(18) 其中am= r2 4K(tM- tm) 式中:祝() 为不完整 Gamma 函数;am为无符号 参数。 对于式(17)中 祝 0郾 5, r2 4K驻 t 有: 祝 0郾 5, r2 4K驻 () t = 仔 1 - erf r 2K驻 t = 仔 1 - 2 仔乙 r 2K驻t 0 e -t2d t (19) 37 水利水电科技进展,2016,36(1)摇 Tel:[phone]摇 E鄄mail:jz hhu. edu. cn摇 http:/ / www. hehaiqikan. cn 式中的误差函数有如下展开形式: erf(x) = 2 仔移 肄 n = 0 ( - 1) nx2n+1 n! (2n + 1) (20) 将式(20)代入式(19)可得 祝 0郾 5, r2 4K驻 () t =仔 -移 肄 n = 0 pn(r)驻t-n-0郾 5(21) 其中pn(r) = 2( - 1) n n! (2n + 1) r 2 K 2n+1 式中 pn(r)为与时间无关的量。 对式(21)中的无穷 级数截断取有限项,在计算边界积分时,首先将有限 个 pn(r)对应的影响矩阵 Pn计算并存储,在后续计 算中可直接使用。 对式(12)中卷积项通过基本解 展开可表示为 HmM,ij= 1 籽c移 NP k =1乙祝kN j(x( ) 1 仔1郾5Kr2 鄣r 鄣n移 肄 n =0 (- 1)n (2n + 3)n! (a 3 2 +n m - a 3 2 +n m-1) )d祝(x)(22) 为了将时间变量和空间变量分离,简记 H(n) ij = 1 籽c移 NP k = 1乙祝kN j(x( ) 1 仔1郾 5Kr2 鄣r 鄣n ( - 1) n (2n + 3)n! r2 4 () K 3 2 ) +n d祝(x)(23) 则式(23)可简化为 HmM,ij=移 NT n = 0 1 tM- t () m 3 2 +n - 1 tM- tm- () 1 3 2 () +n H(n) ij (24) 式中 NT为截断项数。 H(n) ij 仅与空间有关,可在分析 之前一次性计算并存储,在每个时间步的卷积矩阵计 算中可直接使用,不需重复计算,节约了计算时间。 2摇 算摇 例 图 1摇 几何模型 2. 1摇 大坝的自然冷却 以如图 1 所示大坝模型为例分析其自然冷却过 程。 模型的上部为混凝土坝体,下部为基底。 假定 混凝土内部初始温度为 20益,基底初温为与外界气 温均为 0益,模型周边施加固定温度边界条件,其值 也为 0益,基底和坝体内均无热源。 研究在自然冷 却条件下,域内温度随时间的变化过程。 在使用有 限元法对本文中的算例仿真时,均将其简化为二维 模型,而在采用边界面法仿真时,仍然将其作为三维 问题进行计算。 图 2 至图 4 为部分时间点(1 a,5 a,8 a)对相应 的温度分布云图。 可以看出,通过边界面法和有限 元计算得到的温度云图高度吻合。 表 1 列出了两种 方法在截取的部分时间点的温度最大值与最小值, 数值基本吻合。 图 2摇 1 a 后坝体上温度分布(单位:益) 图 3摇 5 a 后坝体上温度分布(单位:益) 图 4摇 8 a 后坝体上温度分布(单位:益) 表 1摇 有限元与边界面法自然冷却温度计算结果 时间/ a 最大值/ 益最小值/ 益 有限元法边界面法有限元法边界面法 117郾 13417郾 8401郾 904-0郾 135 37郾 7677郾 8090郾 863-0郾 043 53郾 8293郾 6770郾 426-0郾 026 81郾 6861郾 5260郾 187-0郾 013 本算例证明边界面法在瞬态热传导分析中具备 很高的分析精度,具备在实际工程结构中应用的可 行性。 47 水利水电科技进展,2016,36(1)摇 Tel:[phone]摇 E鄄mail:jz hhu. edu. cn摇 http:/ / www. hehaiqikan. cn 2. 2摇 多域问题的瞬态热传导 以文献16中的经典算例进行比较计算,计算 模型为岩基上 16 层混凝土浇筑块,几何模型如 图 5(a)所示。浇筑块长25m,厚1m。 材料热导率为 2郾 78 W/ (mK),表面传热系数为 16郾 67 W/ (m2 K),混凝土初温和气温均为 0益,层间间歇 10 d,混 凝土的绝热温升 兹(子)= 25郾 0子/ (4郾 50+子),其中 兹 为 热生成率,子 为龄期。 基岩的绝热温升 兹(子)= 0。 边 界面法网格模型如图 5(b)所示,边界条件包括三 类,如图 6 所示。 图 5摇 16 层浇筑块模型 图 6摇 边界条件示意图 按照如前所述的热源和边界条件进行 16 层浇 筑块的瞬态热分析,并将计算结果和有限元法计算 结果进行对比。 为了得到精确的对比数据,截取如 图5 中所示的 A-A 截面上的温度值绘成温度曲线如 图7 所示。 边界面法在分析多域瞬态热传导问题的 计算结果与文献16中有限元计算结果吻合较好,证 明边界面法用于多域瞬态热分析计算是可行的。 2. 3摇 真实大坝的瞬态热传导 某大坝逐层浇筑过程的瞬态热传导问题模型如 图 8 所示,上部为混凝土坝体,下部为基底。 分析中 考虑坝体逐层浇筑过程以及浇筑后的热传导状态, 时间跨度为 9 a,共 1260 个时间步,材料的导热系数 为 2郾 78 W/ (mK),热扩散率为 1郾 11伊10-6m2/ s,环 境温度为 0益,绝热温升 兹(r)= 25郾 0子 4郾 5+子。 图 9 为在坝体浇筑过程中的 4 个时刻(100 h、 400 h、38 d、9 a)的瞬时温度分析结果。 该算例坝体 温度随浇筑过程变化的动态图在“完整实体工程分 析 软件中心冶(http:/ / www. 5acae. com/ )有具体呈 图 7摇 16 层浇筑块温度分布对比 图 8摇 某大坝模型(单位:m) 图 9摇 大坝浇筑不同时刻的温度分布(单位:益) 57 水利水电科技进展,2016,36(1)摇 Tel:[phone]摇 E鄄mail:jz hhu. edu. cn摇 http:/ / www. hehaiqikan. cn 现。 对比表明边界面法可对逐层浇筑的大坝进行实 时热传导分析,可用于混凝土大坝实际工况瞬态温 度仿真。 3摇 结摇 语 应用边界面法对大坝混凝土的浇筑过程进行瞬 态温度场计算,实现了 BFM 与 CAD 的无缝连接,所 有材料特性、边界条件、初始状态、热源,甚至网格自 动划分等完全内置于 CAD 环境里,实现了大坝瞬态 热传导分析的自动化。 在边界面法中,由于 CAE 模 型与 CAD 模型的一体化,避免了分析模型的几何误 差,从而可以有效提高数值计算的精度。 在运用时 间卷积法计算积分时,将基本解按 Taylor 级数展开, 分离时间变量与空间变量, 并将空间变量的积分进 行一次性计算并存储,大大减少了计算量。 通过对 大坝热传导问题中经典算例的分析,并将分析结果 与 FEM 结果进行对比,验证了该方法结果的可信 性,且自动化的分析环境显著减少了计算时间和人 的劳动量,表明该方法在大型工程应用上具有可 行性。 参考文献: 1 ZHANG Jianming, TANAKA M, ENDO M. 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