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第 43 卷第 2 期2023 年 6 月数学理论与应用MATHEMATICAL THEORY AND APPLICATIONSVol.43No.2Jun.2023T 乘积下张量的 TCS 逆及其偏序文薇王宏兴*刘娜靳宏伟(广西民族大学数学与物理学院，广西混合计算与集成电路设计分析重点实验室,南宁,530006)摘要张量广义逆与张量偏序是张量理论的重要组成部分.在 T乘积下,本文引入三阶张量 TCS 逆,给出该逆的若干刻画和性质,并应用该逆引入新的二元关系:S 序.在 iEP 张量集合中,该 S 序与 T星序等价.进一步,本文应用 S 序引入 TCS 偏序并给出其刻画.关键词T乘积TCS 逆TCS 偏序TCS Inverse and Partial Order of Tensors under TProductWen WeiWang Hongxing*Liu NaJin Hongwei(Guangxi Key Laboratory of Hybrid Computation and IC Design Analysis,Guangxi Minzu University,Nanning 530006,China)AbstractThe generalized inverse and partial order of tensor are important components of tensor theory.In thispaper,we introduce the TCS inverse of thirdorder tensor,obtain some characterizations and properties of it under theTproduct,andapplyittointroduceanewbinaryrelation:the S order,whichisequivalenttotheTstarorderundertheset of iEP tensors.Based on the S order,we further introduce the TCS partial order and give some characterizationsof it.Key wordsTproductTCS inverseTCS partial orderdoi:10.3969/j.issn.10068074.2023.02.0041引言人们在许多领域内观测到高维数据,如三维地震数据、高光谱图像数据等.如果将高维数据向量化或矩阵化,则会破坏数据的固有结构,并隐藏数据内部的一些联系.因此,有必要对高维数据张量化.记 n(1)阶张量为 A=(ai1in)Ct1t2tn,其中 ai1in C,ij 1,2,tj,tj Z+,j 1,2,n.特别地,复数域上的向量和矩阵分别是一阶张量和二阶张量.本文主要研究三阶张量.在 11 中,Kilmer 和 Martin 引入了张量 T乘积的概念,通过块循环矩阵理论和离散傅里叶变换将张量乘法转换成矩阵乘法进行计算.在 T乘积下,Miao,Qi 和 Wei15深入研究三阶张量,建立国家自然科学基金项目(No.12061015),广西自然科学基金项目(No.2018GXNSFDA281023)和广西民族大学相思湖青年学者创新团队项目(No.2019RSCXSHQN03)资助通信作者:王宏兴 Email:收稿日期:2023 年 2 月 28 日T 乘积下张量的 TCS 逆及其偏序49了 TSchur 分解和 TCN 分解,给出了 TDrazin 逆和 T群逆的刻画.Zhang 和 Ma19引入了 T乘积下 TCore 逆的定义.Cong 和 Ma3应用 TSchur 分解建立了 TCoreEP 分解,给出了 TCoreEP 逆的定义.Jin,Bai,Bentez 和 Liu9引入了 T乘积下张量的 TMoorePenrose 逆,给出一个计算该逆的算法,并应用该逆研究了张量方程的最小二乘问题.对给定的张量 A Cmnp,诸方程AXA=A,XAX=X,(AX)=AX,(XA)=XA的唯一解 X Cnmp称为 A 的 TMoorePenrose 逆,记为 A.进一步,记 PA=AA.在 7 中,Greville 引入了复数域上指标为 k 的方阵 A 的 GS 逆 A(S),指出 A(S)是诸方程AX=XA,Al+1X=Al,AXl+1=Xl,A X=AlXl(A X)(l k)的唯一解,并给出了该逆的刻画:A(S)=AD+AN,其中,AD是诸方程 AXAk=Ak,XAX=X,AX=XA 的唯一解,称为 A 的 Drazin 逆,AN=A AADA.特别地,有 A#=A(S),当 k=1 时,称诸方程AXA=A,XAX=X,AX=XA 的唯一解为方阵 A 的群逆,记为 A#.2003 年,BenIsrael 和Greville2指出 GS 逆是一类 S 逆,因此,群逆是一类特殊的 S 逆.S 逆是一种特殊的广义逆.X是方阵 A 的 S 逆,如果它满足:对每个,x 是 A 的 p 阶 向量当且仅当 x 是 X 的 p 阶 向量.BenIsrael 和 Greville 还指出 A#是 A 在 A1A2 中唯一的 S 逆,其中 A1=X|AXA=A,A2=X|XAX=X.Drazin 逆是一种广义群逆,但不是 S 逆.关于 GS 逆还有一些有意义的结果,如:GS 逆通常既不是 1逆也不是 2逆(A(S)(S)=A rank(A)=rank(A(S)Ind(A)=Ind(A(S).更多关于 GS 逆的性质见文献 2,7.2010 年,Baksalary 和 Trenkler1给出了 Core 逆的定义:设 A Cnn且 Ind(A)=1,则方程 AX=AA在 Cnn中满足 R(X)R(A)的唯一解称为 A 的 Core 逆,记为 A#.随后,ManjunathaPrasad和Mohana14引入了A的coreEP逆A.它是诸方程XAk+1=Ak,XAX=X,(AX)=AX 满足 R(X)R?Ak?的唯一解,其中 Ind(A)=k.刘12引入了 CS 逆的定义,给出该逆的若干性质并应用该逆引入了 CS 偏序:设 A Cnn且 Ind(A)=k.称诸方程XAk+1=Ak,A X=AkXk(A X),(AkXk)=AkXk的唯一解 X Cnn为 A 的 CS 逆,记为 AS,它满足 AS=A+ACN其中 ACN=A AAA.进一步,若 rank(A)=t,则存在酉矩阵 Q,使得AS=QT1OON#Q,(1.1)其中 T Ctt是非奇异矩阵,N 是幂零矩阵.本文将应用 TCoreEP 分解和离散傅里叶变换讨论 T乘积下三阶张量的 TCS 逆,应用 TCS逆引入一个新的二元关系:S 序,并在 iEP 张量集合下讨论S 序与 T星序之间的关系,给出S 序的相关刻画,然后应用S 序建立新的张量偏序(TCS 偏序).50数学理论与应用2预备知识定义 2.1(8,10)设 A Cmnp为三阶张量,A 的第 k 个正面切片用 A(k)Cmn表示.定义bcirc(A):=A(1)A(p)A(p1)A(2)A(2)A(1)A(p)A(3).A(p)A(p1)A(p2)A(1),unfold(A):=A(1)A(2).A(p).记 fold 为 unfold 的 逆 运 算,bcirc1为 bcirc 的 逆 运 算,则 fold(unfold(A)=A,bcirc1(bcirc(A)=A.定义 2.2(11,15)设 A Cmnp,B Cnsp.它们的 T乘积和共轭转置分别定义如下A B:=fold(bcirc(A)unfold(B),A:=fold(A(1)(A(p)(A(p1).(A(2).引理 2.1(9,13)如果 A,B,C 为合适阶数的张量,则(1)A(B+C)=AB+AC(2)(A+B)C=AC+BC(3)(AB)C=A(BC)(4)bcirc(AB)=bcirc(A)bicrc(B)(5)bcirc(A)j=bcirc(Aj),j=0,1,2,(6)bcirc(A)=bcirc(A).定义 2.3(15)若一个 n n p 的三阶张量的第一个正面切片是 n n 的单位矩阵且其它的正面切片全为零矩阵,则称其为单位张量,记为 I.定义 2.4(15)设 A Cnnp,B Cnnp.若 A B=B A=I,则称 A 可逆且 B 是 A的逆张量,记为 A1 若存在正整数 t,使得 At=O,则称 A 为幂零张量,若 R(A)=R(A),则称A 为 EP张量.引理 2.2(4,5)设 A1 Cn1m1p,B1 Cn1m2p,C1 Cn2m1p,D1 Cn2m2p,A2 Cm1r2p,B2 Cm1r2p,C2 Cm2r2p,D2 Cm2r2p.则A1B1C1D1#A2B2C2D2#=A1 A2+B1 C2A1 B2+B1 D2C1 A2+D1 C2C1 B2+D1 D2#.T 乘积下张量的 TCS 逆及其偏序51循环矩阵可以通过离散傅里叶变换化为对角矩阵6.对于块循环矩阵 bcirc(A)可通过离散傅里叶变换将其块对角化.记 Fp是 p p 阶的离散傅里叶矩阵:Fp=1p1111.1123.p11246.2(p1)1369.3(p1).1p12(p1)3(p1)(p1)(p1),其中 =e2i/p,i=1.引理 2.3(4,5)设 A Cnnp.则bcirc(A)=A(1)A(p)A(p1)A(2)A(2)A(1)A(p)A(3).A(p)A(p1)A(p2)A(1)=(Fp In)Diag(A1,Ap)(Fp In),其中 A1,Ap Cnn.进一步,A1,Ap都是对角矩阵当且仅当 A(1),A(p)都是对角矩阵.文献 15 引入了如下的 T 指标和 T秩.定义2.5(15)设A Cnnp.定义IndT(A)=Ind(bcirc(A)=max1ip(Ind(Ai),rankT(A)=rank(bcirc(A)=pPi=1rank(Ai),其中 Ind(Ai)表示满足 rank(Aki)=rank(Ak+1i)的最小正整数,i=1,p.定义 2.6设 A Cnnp且 IndT(A)=k.若 Ak是 EP 张量,则称 A 是 iEP 张量.定理 2.1(3)设 A Cnnp且 Ind(A)=k.则 A=A1+A2且rankT(A1)=rankT(A21),Ak2=O,A1 A2=A2 A1=O.进一步,存在酉张量 Q,使得A1=Q TSOO#Q,A2=Q OOON#Q,其中 T 是非奇异张量,N 是幂零张量.引理 2.4(17)设 A Cnn,rank(A)=t 且 Ind(A)=k.则存在酉矩阵 Q Cnn,使得A=QTSON#Q,(2.1)52数学理论与应用其中 T Ctt是可逆矩阵,N C(nt)(nt)是幂零矩阵.称(2.1)为 A 的 CoreEP 分解.进一步,有Ak=QTkfMOO#Q,Ak(Ak)=QItOOO#Q,A=QT1OOO#Q,AD=QT1T(k+1)fMOO#Q,其中fM=k1Pi=0TiSNk1i.定义 2.7(16)设 A Cnnp且 IndT(A)=k.则称方程组Ak+1 X=Ak,XAX=X,AX=XA的唯一解 X 为 A 的 TDrazin 逆,记为 AD.定义 2.8(16)设 A Cnnp且 IndT(A)=1.则称方程组AXA=A,XAX=X,AX=XA的唯一解 X 为 A 的 T群逆,记为 A#.定义 2.9(19)设 A Cnnp且 IndT(A)=1.则称方程 PA=AX 满足 R(X)R(A)的唯一解 X 为 A 的 TCore 逆,记为 A#.3TCS 逆定理 3.1设 A Cnnp且 IndT(A)=k.则方程组X Ak+1=Ak,A X=Ak Xk(A X),(Ak Xk)=Ak Xk(3.1)有解且唯一.证明 对 A 做 bcirc 运算和离散傅里叶变换有:bcirc(A)=(Fp In)Diag(A1,Ap)(Fp In).记bcirc(X)=(Fp In)Diag(X1,Xp)(Fp In).对(3.1)式两端分别做 bcirc 运算和离散傅里叶变换可得:Diag(X1Ak+11,XpAk+1p)=Diag(Ak1,Akp),Diag(A1 X1,Ap Xp)=Diag(Ak1Xk1(A1 X1),AkpXkp(Ap Xp),Diag(Ak1Xk1),(AkpXkp)=Diag(Ak1Xk1,AkpXkp).T 乘积下张量的 TCS 逆及其偏序53由 IndT(A)=k 可得,rankT(Ak)=rankT(Ak+1),rank(Aki)=rank(Ak+1i)且XiAk+1i=Aki,Ai Xi=AkiXki(Ai Xi),(AkiXki)=AkiXki(i=1,p).故 Xi=ASi,i=1,p.存在性得证.若 X 和 Y 都是(3.1)的解,则 Xi=ASi,Yi=ASi,故 Xi=Yi,i=1,p.即 X=Y.唯一性得证.定义 3.1设 A Cnnp且 IndT(A)=k.则称(3.1)的唯一解 X 是 A 的 TCS 逆,记为 AS.定理 3.2设 A Cnnp且 IndT(A)=k.则下列条件等价:(1)X=AS(2)Ak Xk=A A,A X=Ak Xk(A X),Ak Xk+1=A(3)Ak Xk=PAk,Ak Xk+1=AD PAk,A X=Ak Xk(A X).证明(1)(2):对 A 做 bcirc 运算和离散傅里叶变换有:bcirc(A)=(Fp In)Diag(A1,Ap)(Fp In).记bcirc(X)=(Fp In)Diag(X1,Xp)(Fp In).应用(1.1)和引理 2.4 可得bcirc(AS)=(Fp In)Q1T111OON11#Q1QpT1p1OONp1#Qp(Fp In).由bcirc(Ak Xk)=bcirc(Ak)bcirc(Xk)=(Fp In)Diag(Ak1Xk1,AkpXkp)(Fp In),bcirc(A A)=bcirc(A)bcirc(A)=(Fp In)Diag(A1A1,ApAp)(Fp In),和AkiXki=QiTki1kPi=0Tii1Si2Nk1ii4OOTki1OOO#Qi=QiIrank(Aki)OOO#Qi=AiAi(i=1,p)可得 Ak Xk=A A.54数学理论与应用由bcirc(A X)=(Fp In)Diag(A1 X1,Ap Xp)(Fp In),bcirc(Ak Xk(A X)=bcirc(Ak)bcirc(Xk)bcirc(A X)=(Fp In)Diag(Ak1Xk1(A1 X1),AkpXkp(Ap Xp)(Fp In)和AkiXki(A X)=QiTki1k1Pi=0Tii1Si2Nk1ii4OOTki1OOO#Ti1 T1i1Si2OO#Qi=QiTi1 T1i1SOO#Qi=Ai Xi(i=1,p)可得 A X=Ak Xk(A X).由bcirc(Ak Ak+1)=bcirc(A)bcirc(Ak+1)=(Fp In)Diag(A1Ak+11,ApAk+1p)(Fp In),bcirc(A)=(Fp In)Diag(A1,Ap)(Fp In),和AkiXk+1i=QiTki1kPi=0Tii1Si2Nk1ii4OOT(k+1)i1OOO#Qi=QiT1i1OOO#Qi=Ai(i=1,p)可得 Ak Xk+1=A.(2)(1)对 A,X 做 bcirc 运算和离散傅里叶变换,由引理 2.4 可得bcirc(A)=(Fp In)Q1T11S12ON14#Q1QpTp1Sp2ONp4#Qp(Fp In),bcirc(X)=(Fp In)Q1X11X12X13X14#Q1QpXp1Xp2Xp3Xp4#Qp(Fp In).T 乘积下张量的 TCS 逆及其偏序55由 Ak Xk=A A,可得bcirc(Ak Xk)=bcirc(Ak)bcirc(Xk)=(Fp In)Q1Tk11Xk11Tk11kPi=0Xi11X12Nk1i11OOQ1QpTkp1Xkp1Tkp1kPi=0Xip1Xp2Nk1ip1OOQp(Fp In)=bcirc(A A)=bcirc(A)bcirc(A)=(Fp In)Q1I11OOO#Q1QpIp1OOO#Qp(Fp In).综上可得:Tkm1Xkm1=Im1,Tkm1kXi=0Xim1Xm2Nk1im1=O.又因为 Tm1是非奇异的,所以Xm1=T1m1,Xm2=O(m=1,p).由 A X=Ak Xk(A X),可得bcirc(A X)=(Fp In)Q1T11 X11S11 X12X13N14 X14#Q1QpTp1 Xp1Sp1 Xp2Xp3Np4 Xp4#Qp(Fp In)=bcirc(Ak Xk(A X)=bcirc(Ak Xk)bcirc(A X)=(Fp In)Q1T11 X11S11 X12OO#Q1QpTp1 Xp1Sp1 Xp2OO#Qp(Fp In).56数学理论与应用因此,Xm3=O,Nm1=Xm4,Xm=QT1m1OONm1#Q(m=1,p).故bcirc(X)=(Fp In)Q1T111OOO#Q1QpT1p1OOO#Qp(Fp In).综上可知(2)(1)成立.(2)(3)由引理 2.4,可得bcirc(A)=(Fp In)Q1T111OOO#Q1QpT1p1OOO#Qp(Fp In),bcirc(AD)=(Fp In)Q1T111T(K+1)11fM1OO#Q1QpT1p1T(K+1)p1fMpOO#Qp(Fp In).又由bcirc(PAk)=bcirc(Ak(Ak)=(Fp In)Q1I11OOO#Q1QpIp1OOO#Qp(Fp In)=bcirc(A A)=bcirc(Ak Xk)和bcirc(ADPAk)=bcirc(Ak Xk+1)=(Fp In)Q1I11OOO#Q1QpIp1OOO#Qp(Fp In)T 乘积下张量的 TCS 逆及其偏序57=bcirc(A),可得 A A=PAk和 A=AD PAk,故(2)和(3)等价.4基于 TCS 逆的二元关系矩阵偏序是满足自反性、传递性和反对称性的二元关系.减序和星序是两类重要的矩阵偏序,定义如下:(1)AB rank(B A)=rank(B)rank(A),其中 A,B Cmn(2)AB AA=BA和 AA=AB,或 AA=BA和 AA=AB,其中 A,B Cmn.若集合 Cmnp上的一个二元关系 ”满足:(1)自反性:对任意的 A Cmnp,有 A A,(2)反对称性:对任意的 A,B Cmnp,若 A B 且 B A,则有 A=B,(3)传递性:对任意的 A,B,C Cmnp,若 A B 且 B C,则有 A C,则称 ”为 Cmnp上的张量偏序.定义 4.1(18)设 A,B Cmnp.记等式 rankT(B A)=rankT(B)rankT(A)所确定的关系为 AB,并称“”为 T减序.引理 4.1(18)T减序是张量偏序.引理 4.2设 A1,A2 Cmnp.则 A1 A2和 A1 A2都是对称的当且仅当存在酉张量U Cmmp和 V Cnnp,使得 Ai=UiV,其中 i是对角张量,i=1,2.定义 4.2设 A,B Cmnp.记等式 A A=B A,A A=A B 所确定的关系为A B,并称“”为 T星序.定理 4.1设 A,B Cmnp.则 A B 当且仅当 A A A=B B A=A B B=A.证明 对 A,B 做 bcirc 运算和离散傅里叶变换有:bcirc(A)=(Fp In)Diag(A1,Ap)(Fp In),bcirc(B)=(Fp In)Diag(B1,Bp)(Fp In).由 A B Ai Bi,i=1,p,可得Ai Bi Ai Ai Ai=Bi Bi Ai=Ai Bi Bi=Ai,i=1,p.又因为bcirc(A A A)=(Fp In)Diag(A1A1A1,ApApAp)(Fp In),58数学理论与应用bcirc(B B A)=(Fp In)Diag(B1B1A1,BpBpAp)(Fp In),bcirc(A B B)=(Fp In)Diag(A1B1B1,ApBpBp)(Fp In),bcirc(A)=(Fp In)Diag(A1,Ap)(Fp In),所以,A B bcirc(A A A)=bcirc(B B A)=bcirc(A B B)=bcirc(A).即 A B A A A=B B A=A B B=A.应用类似的方法,可以得到如下定理.定理 4.2设 A,B Cmnp,U Cmmp,V Cnnp.则以下关系等价:(1)A B(2)A A=B A,A A=A B(3)UAV UBV.定理 4.3T星序是张量偏序.证明 由定义 4.2 可得 T星序具有自反性和反对称性.下证其传递性.设 A B 和 B C.由 A B,可得 AA=B A,AA=AB.因此,B A和 AB是对称的.由引理 4.2,存在酉张量 U,V 和对角张量 D1,D2,使得 A=UD1V,B=UD2V成立.设 A,B,C 有如下形式:A=U DaOOOOOOOO V,B=U DaOOODbaOOOO V,C=U C11C12C13C21C22C23C31C32C33 V.(4.1)由此可得B B=U DaOOODbaOOOODaOOODbaOOOO U=U Da DaOOODba DbaOOOO U,C B=U C11C12C13C21C22C23C31C32C33 VDaOOODbaOOOO U=U C11 DaC12 DbaOC21 DaC22 DbaOC31 DaC32 DbaO U,B BT 乘积下张量的 TCS 逆及其偏序59=U DaOOODbaOOOODaOOODbaOOOO U=U Da DaOOODba DbaOOOO U,B C=U DaOOODbaOOOOC11C12C13C21C22C23C31C32C33 U=U Da C11Da C12Da C13Dba C21Dba C22Dba C23OOO U.又因为B C B B=C B,B B=B C,所以,C11=Da,C22=Dba,C12=O,C21=O,C31=O,C32=O,C13=O,C23=O.故C=U DaOOODbaOOOC33 V.(4.2)应用(4.1)和(4.2)可得 A A=C A,A A=A C,即 A C.因此,T星序具有传递性.综上所述,T星序是一个张量偏序.定义 4.3设 A,B Cmnp.记等式 A(AS)=B(AS),(AS)A=(AS)B 所确定的关系为 ASB,并称“S”为S 序.定理 4.4设 A,B Cnnp是 iEP 张量.则 ASB 当且仅当A=bcirc1(Fp In)Q1T11OON11#Q1QpTp1OONp1#Qp(Fp In),B=bcirc1(Fp In)Q1T11OOB14#Q1QpTp1OOBp4#Qp(Fp In),(4.3)其中 Tk1是非奇异矩阵,Nk1是幂零矩阵,Qk是酉矩阵,Bk4是 iEP 矩阵且 Nk1 Bk4,k=1,p.证明“”设 A,B 是 iEP 张量且 ASB.对 A 做 bcirc 运算和离散傅里叶变换有bcirc(A)=(Fp In)Diag(A1,Ap)(Fp In).60数学理论与应用记 Ind(Ak)=ak,rank(Aakk)=rk,k=1,p.对 A 和 AS做 bcirc 运算和离散傅里叶变换有:bcirc(A)=(Fp In)Q1T11OON11#Q1QpTp1OONp1#Qp(Fp In),(4.4)bcirc(AS)=(Fp In)Q1T111OOO#Q1QpT1p1OOO#Qp(Fp In),(4.5)其中 Tk1 Crkrk是非奇异矩阵,Nk1是幂零矩阵,Qk是酉矩阵,k=1,p.记bcirc(B)=(Fp In)Q1B11B12B13B14#Q1QpBp1Bp2Bp3Bp4#Qp(Fp In),(4.6)其中 Bk1 Crkrk,k=1,p.应用(4.4),(4.5)和(4.6),可得bcirc(A (AS)=(Fp In)Q1T11(T111)OON11(N11)#Q1QpTp1(T1p1)OONp1(Np1)#Qp(Fp In),bcirc(B (AS)=(Fp In)Q1B11(T111)B12(N11)B13(T111)B14(N11)#Q1QpBp1(T111)Bp2(N11)Bp3(T111)Bp4(N11)#Qp(Fp In).由于 A(AS)=B(AS),我们有Tk1(T1k1)=Bk1(T1k1),Bk3(T1k1)=O,Nk1Nk1=Bk4Nk1,k=1,p.T 乘积下张量的 TCS 逆及其偏序61因此,Bk1=Tk1,Bk3=O,k=1,p.进一步,应用(4.4),(4.5)和(4.6)可得bcirc(AS)A)=(Fp In)Q1(T111)T11OON11N11#Q1Qp(T1p1)Tp1OONp1Np1#Qp(Fp In),bcirc(AS)B)=(Fp In)Q1(T111)B11(T111)B12N11B13N11B14#Q1Qp(T1p1)Bp1(T1p1)Bp2Np1Bp3Np1Bp4#Qp(Fp In).由(AS)A=(AS)B 可得 Bk2=0,Nk1 Bk4,k=1,p.“”设 A,B 具有式(4.3)的形式.则bcirc(A AS)=(Fp In)Q1T11(T111)OON11(N11)#Q1QpTp1(T1p1)OONp1(Np1)#Qp(Fp In),bcirc(B (AS)=(Fp In)Q1T11(T111)OOB14(N11)#Q1QpTp1(T1p1)OOBp4(Np1)#Qp(Fp In),bcirc(AS)B)=(Fp In)Q1(T111)B11OO(N11)B14#Q1Qp(T1p1)Bp1OO(Np1)Bp4#Qp(Fp In),bcirc(AS)A)62数学理论与应用=(Fp In)Q1(T111)T11OO(N11)N11#Q1Qp(T1p1)Tp1OO(Np1)Np1#Qp(Fp In).又因为 Nk1 Bk4,k=1,p,所以,A(AS)=B(AS),(AS)A=(AS)B,从而 ASB.应用定理 2.1,定义 4.2 和定理 4.4 可得如下定理.定理 4.5设 A,B 是 iEP 张量.则 ASB 当且仅当 A B.定理 4.6S 序满足反对称性.证明 设 A,B Cnnp,ASB,BSA.对 A,B 做 bcirc 运算和离散傅里叶变换有:bcirc(A)=(Fp In)Diag(A1,Ap)(Fp In),bcirc(B)=(Fp In)Diag(B1,Bp)(Fp In).应用文献 12 中定理 3.2.2 可得 Bk=Ak,k=1,p.故 A=B.例 4.1设 A=0110000000000000,B=0110100000010000,C=0110100000010010.则BS=0100100000010000.由 A 是幂零的,且AA=BA=2000000000000000,AA=AB=0000011001100000,B(BS)=C(BS)=1000010000100000,(BS)B=(BS)C=1000011000000001,T 乘积下张量的 TCS 逆及其偏序63可得 ASB,BSC.由CA=2000000000001000,AA=2000000000000000,得 AA=CA,即 ASC 不成立.注 4.1由例4.1 可知S 序不是张量偏序.定理 4.7设 A,B Cnnp且 ASB.则 A A A=A A B.证明 对 A,B 做 bcirc 运算和离散傅里叶变换,并应用引理 2.4 可得:bcirc(A A A)=bcirc(A A B),即 A A A=A A B.5TCS 偏序在定理4.4中,我们得到在 iEP 张量集合中 S 序与 T星序等价.本节讨论在更一般情况下 S 序构成偏序的条件.首先,在 S 序的基础上,我们定义一个新的二元关系.设 A,B Cnnp,记由 ASB 且B A A A=A A A A所确定的关系为 AcsB,并称“cs”为TCS 序.应用 bcirc 运算,离散傅里叶变换和文献 12 中的定理 3.3.1,可得如下定理.定理 5.1设 A,B Cnnp且 AsB.则A=bcirc1(Fp In)Q1T11S11S12ON11N12ON13N14Q1QpTp1Sp1Sp2ONp1Np2ONp3Np4Qp(Fp In),B=bcirc1(Fp In)Q1T11S11S12OT12S13OON15Q1QpTp1Sp1Sp2OTp2Sp3OONp5Qp(Fp In),64数学理论与应用其中 Qm是酉矩阵,Tm1和 Tm2是可逆矩阵,Nm5是幂零矩阵,Nm1Nm2Nm3Nm4#是幂零矩阵且Nm1Nm2Nm3Nm4#Tm1Sm3ONm5#,m=1,p.定理 5.2TCS 序是张量偏序.证明 TCS 序的自反性显然成立.由定理 4.6 可知TCS 序的反对称性成立.下证其传递性.对 A,B,C 做 bcirc 运算和离散傅里叶变换,并应用定理 5.1,可得:bcirc(A)=(Fp In)Q1T11S11S12ON11N12ON13N14Q1QpTp1Sp1Sp2ONp1Np2ONp3Np4Qp(Fp In),bcirc(B)=(Fp In)Q1T11S11S12OT12S13OON15Q1QpTp1Sp1Sp2OTp2Sp3OONp5Qp(Fp In),bcirc(C)=(Fp In)Q1T11S11S12OT12S13OOC11Q1QpTp1Sp1Sp2OTp2Sp3OOCp1Qp(Fp In)且Nk1Nk2Nk3Nk4#Tk1Sk3ONk5#,Nk5Ck1,k=1,p.令 Wk=Tk1Tk1+Sk1Sk1+Sk2Sk2,Ek=Sk1Tk1+Sk2Sk3,Gk=Tk1Sk1+Sk3Sk2,Hk=T 乘积下张量的 TCS 逆及其偏序65Tk1Tk1+Sk3Sk3,Kk=Nk5Sk2,Lk=Nk5Sk3,Vk=Ck1Sk2,Jk=Ck1Sk3,k=1,2,p,则有bcirc(B B B B)=(Fp In)Q1W1E1OG1H1OK1L1OQ1QpWPEpOGpHpOK1LpOQp(Fp In),bcirc(C B B B)=(Fp In)Q1W1E1OG1H1OV1J1OQ1QpWPEpOGpHpOVpJpOQp(Fp In).令 Rk=Nk1Sk1+Nk2Sk2,Sk=Nk3Sk1+Nk4Sk2,Tk=Tk1Tk1,则有bcirc(A A A A)=(Fp In)Q1W1OOR1OOS1OOQ1QpWpOORpOOSpOOQp(Fp In),bcirc(B A A A)=(Fp In)Q1T1OOG1OOK1OOQ1QpTpOOGpOOKpOOQp(Fp In),66数学理论与应用bcirc(C A A A)=(Fp In)Q1W1OOG1OOV1OOQ1QpWpOOGpOOVpOOQp(Fp In).由 A A A A=B A A A和 B A A A=C A A A,可得 bcirc(A A A A)=bcirc(B A A A)和 bcirc(B A A A)=bcirc(C A A A),即A A A A=C A A A.综上,二元关系 TCS 序是一个张量偏序.参考文献1 BaksalaryOM,TrenklerG.CoreinverseofmatricesJ.LinearandMultilinearAlgebra,2010,58(6):681 697.2 BenIsrael A,Greville T N E.Generalized inverses:Theory and applications(2nd Edition)M.NewYork:Springer,2003.3 Cong Z,Ma H.Characterizations and perturbations of the coreEP inverse of tensors based on theTproductJ.Numerical Functional Analysis and Optimization,2022,43(10):1150 1200.4 Chan R H F,Jin X Q.An introduction to iterative Toeplitz solversM.Philadelphia:SIAM,2007.5 Gleich D F,Greif C,Varah J M.The power and Arnoldi methods in an algebra of circulantsJ.Numerical Linear Algebra with Applications,2013,20(5):809 831.6 Golub G H,Van Loan C F.Matrix computations(4th Edition)M.New York:Cambridge UniversityPress,2013.7 Greville T.Some new generalized inverses with spectral propertiesC.Process Symposium onTheory and Applications of Generalized Inverses of Matrices,Texas Tech College,Lubbock,Texas,1968.8 Hao N,Kilmer M E,Braman K,Hoover R C.Facial recognition using tensortensordecompositionsJ.SIAM Journal on Imaging Sciences,2013,6(1):437 463.9 Jin H,Bai M,Bentez J,Liu X.The generalized inverses of tensors and an application to linearmodelsJ.Computers and Mathematics with Applications,2017,74(3):385 397.10 Kilmer M E,Braman K,Hao N,Hoover R C.Thirdorder tensors as operators on matrices:Atheoretical and computational framework with applications in imagingJ.SIAM Journal on MatrixAnalysis and Applications,2013,34(1):148 172.11 Kilmer M E,Martin C D.Factorization strategies for thirdorder tensorsJ.Linear Algebra and ItsApplications,2011,435(3):641 658.12 刘娜.CS 逆与 WG 矩阵 D.南宁:广西民族大学,2022.T 乘积下张量的 TCS 逆及其偏序6713 Lund K.The tensor tfunction:A definition for functions of thirdorder tensorsJ.Numerical LinearAlgebra with Applications,2020,27(3):e2288.14 ManjunathaPrasadK,MohanaKS.CoreEPinverseJ.LinearandMultilinearAlgebra,2014,62(6):7