Faddeev方程与三玻色子系统低能短程有效场论研究.pdf

文章编号：1000-5641(2023)04-0137-14Faddeev 方程与三玻色子系统低能短程有效场论研究王凯,杨继锋（华东师范大学 物理与电子科学学院,上海200241）t摘要:在低能短程(接触型势能)有效场论中二体 矩阵闭合形式解的基础上,用 Faddeev 方程计算了二体接触型势能前提下的零自旋三玻色子系统三体 T 矩阵的闭合形式近似解.在动量表示里接触型势能是多项式,其二体 t 矩阵满足的 Lippmann-Schwinger 方程可用因子化方法约化为闭合的代数方程,从而可得到该方程的解析解,并方便地对其进行非微扰重整化.但是在 Faddeev 方程中难以直接沿用上述因子化方法.为此,对三体 T 矩阵元的外动量依赖采用“分流”处理,从而仍可利用因子化方法将 Faddeev 方程转化为代数方程.在此基础上求得了领头阶二体势能下的三体 T 矩阵的闭合形式近似解,并推广到次领头阶势能下的情形,进而完成了自洽性验证.与二体问题一样,由于因子化和一般参数化,这样的三体 T 矩阵非微扰解析解同样可以允许方便地进行非微扰重整化.关键词:有效场论;Faddeev 方程;非微扰近似;一般参数化中图分类号:O413.3文献标志码:ADOI:10.3969/j.issn.1000-5641.2023.04.015Faddeev equation for three-boson system in low-energy short-distanceeffective field theoryWANG Kai,YANG Jifeng（School of Physics and Electronic Science,East China Normal University,Shanghai200241,China）Abstract:Based on the closed-form t matrix of a two-body system in low-energy short-distance effectivefield theory,the approximate closed-form three-body T matrix for a zero-spin three-boson system isobtained using the Faddeev equation under two-body contact interactions.In momentum representation,the contact potentials are polynomials,and the Lippmann-Schwinger equation can be simplified to algebraicequations using a factorization trick,facilitating nonperturbative renormalization.However,it is impossibleto apply such a factorization trick directly to the Faddeev equation.Therefore,the momenta dependence ofthe T matrix is“split”such that the factorization trick can still be applied.The closed-form T matrices arethen obtained as nonperturbative approximate solutions of the Faddeev equation under the leading andnext-to-leading order contact potentials with verified consistency.As in a two-body case,such a closed-formT matrix also facilitates the convenient implementation of the nonperturbative renormalization.Keywords:effective field theory;Faddeev equations;nonperturbative approximation;generalparametrization 收稿日期:2022-05-18基金项目:国家自然科学基金(11435005)通信作者:杨继锋,男,副教授,硕士生导师,研究方向为粒子物理和场论.E-mail: 第 4 期华东师范大学学报(自然科学版)No.42023 年 7 月Journal of East China Normal University(Natural Science)Jul.2023 0 引言t对于核子相互作用,最严格的方法当然是采用量子色动力学(quantum chromodynamics,QCD)进行计算.但由于 QCD 的非微扰性,难以精确求解.为此人们发展出了很多替代方案,其中手征微扰论(chiral perturbation theory)是极为重要的理论手段之一QCD 的低能有效场论1-2.但由于核子系统强烈的非微扰特征,手征微扰论难以直接使用3.为此,Weinberg 4建议,可以先利用手征有效理论逐阶地构造核子相互作用势能,之后求解薛定谔方程或者 Lippmann-Schwinger 方程,进而得到核子系统的跃迁矩阵 矩阵(transition matrix).很快人们发现这一建议实际上是有缺陷的5,因而引发了有关核力有效场论的热烈讨论5-7.近年来,本课题小组利用接触型相互作用有效理论求得了低能核子核子散射矩阵的精确解8,并在此基础上深入分析了非微扰框架下重整化的新内涵9-11,发现在不需要引入复杂的有效场论幂次规则的前提下,就可以描述核子核子散射大散射长度等核子系统的非微扰特征8,10.这一结论已成功应用到对称核物质及中子物质中12,为低能有效场论研究具有非微扰特征的物理系统提供了与以往文献不同的且更为自然的理论图景和可能性.tt实际上,对低能核子、冷原子、冷分子等系统来说,短程或接触型相互作用是其典型特征,都可以使用有效场论方法对其相互作用进行低能展开并进行系统的分析计算13.在动量表示下,这样的相互作用势能展开到一定阶数就是核子或原子、分子的外动量多项式.对于二体系统而言,矩阵满足的就是以动量多项式的势能为基础的 Lippmann-Schwinger 方程.而本课题组的前期工作充分表明了,基于因子化13和圈积分的一般参数化8-11,短程相互作用的二体系统 矩阵就可以表达成闭合形式的非微扰解析解,从而可以方便地探索其非微扰重整化处理.最突出的特征是,在这样的框架下,一些圈积分参数被约束为确定的物理参数或所谓的“重整化群不变量”,不再是跑动的重整化参数10-12.tTt自然地,对更多粒子的系统而言,以上二体系统 矩阵非微扰解的特点及非微扰重整化新内涵是否还有意义或者是否可以适用.为此,本文考虑二体接触型相互作用下三体系统的 矩阵(为与二体跃迁(transitio)矩阵(矩阵)区别,这里取 transition 首字母大写)的非微扰或闭合形式的解析解,及其非微扰重整化问题.tTtt以往的三体问题研究,无论何种势能类型,很少在有效场论的概念框架下解析地讨论三体系统的重整化问题,原因是很难获得解析解,人们普遍采用有限的截断和数值求解来处理问题14-18.本文尝试把在接触型相互作用有效理论二体系统 矩阵研究中获得的成功经验应用于三体系统,采用 Faddeev方程来计算三体 矩阵的非微扰解析解19-21,该方程需要首先获得二体 矩阵的闭合形式解析解.为此,下面先介绍在接触型二体相互作用势能下二体 矩阵的求解.为简化问题,本文仅考虑标量粒子情形,且势能最高将只展开到外动量的二次幂.1 二体系统的非微扰严格解eEMppV(p,p)t设二体系统的质心能量为 ,粒子质量为 ,二体初态、末态相对动量分别为 和 ,动量空间中的二体势能是 ,则质心系中二体 矩阵的 Lippmann-Schwinger 方程为t(p,p;eE)=V(p,p)+wdp(2)3V(p,p)Gt(p,p;eE),G=1eE p2M1+i,(1)pp其中 是动量 的大小.展开到领头阶的接触型势能为138华东师范大学学报(自然科学版)2023 年V=C0,=0;(2)展开到次领头阶的接触型势能为V=C0+C2(p2+p2)+CP,2p p,=2.(3)C0C2CP,2式(2)(3)中:是手征阶数;、均为耦合常数.不难看出,上述展开实际上自然地分解为 S 波和 P 波的势能函数:对 S 波,其势能为V(S)=C0,=0,V(S)=C0+C2(p2+p2),=2;(4)对 P 波,其势能在次领头阶才出现,为V(P)=CP,2pp.(5)ppppt式(4)(5)中,和 分别是动量 和 的大小.因此,可分别求解其 矩阵.为此,本文采用文献 13 的因子化方法,用矩阵符号,将势能记为V=UTvU.(6)对 S 波,v=C0,U=1,U=1,=0,v=(C0C2C20),UT=(1,p2),UT=(1,p2),=2;(7)对 P 波,v=CP,2,U=p,U=p,=2.(8)t根据文献 13,二体 矩阵矩阵元形式为t=UTU.(9)对 S 波,=t0,U=1,U=1,=0,=(t0t01t10t11),UT=(1,p2),UT=(1,p2),=2;(10)对 P 波,=tP,U=p,U=p,=2.(11)将式(6)、式(9)代入式(1),可得矩阵 满足的代数方程=v+veI,(12)eI其中 是内动量积分构成的矩阵.对 S 波eI=(eI0),=0,eI=(eI0eI1eI1eI2),=2;(13)第 4 期王 凯,等:Faddeev 方程与三玻色子系统低能短程有效场论研究139对 P 波,eI=(eI1),=2.(14)式(13)(14)中:eI0=wdp(2)31eE p2M1+i=I=J0+iM4MeE;(15)eIn=wdp(2)3p2neE p2M1+i=nk=1J2k+1(MeE)nk I(MeE)n,n 1.(16)MeEJ0J2k+1式(15)(16)中:为在壳动量;和 是重整化参数.由式(12)可得代数关系1=v1eI.(17)进而可以方便地解得=(v1eI)1=(1 veI)1v.(18)tt再由 与 的因子化关系,可得二体 矩阵解.对 S 波,其解为t(0)=C01 C0J0 iC0M4MeE,=0,t(2)S=t0+t10p2+t01p2+t11p2p2,=2;(19)对 P 波,其解为t(2)P=CP,21 CP,2J3+ICP,2MeEpp,=2.(20)MeEt0t01t10t11这里,领头阶的 S 波和 P 波的解极为简单,外动量多项式的系数显然是耦合常数以及重整化参数和在壳动量()的有理函数;而次领头阶的 S 波的解中,外动量的系数 、为更多耦合常数和重整化参数以及在壳动量构成的更为复杂的有理函数,具体表达式可参见文献 8,11.显然,除了领头阶的 S 波,在 P 波和次领头阶的 S 波的解的情形中,方程(17)的右边的耦合常数与参数化的积分参数之间不再是一一对应的,即文献 9 中所说的失配(mismatch),从而导致有些重整化参数不能被耦合常数吸收.因而必须是确定的“物理”参数(或曰重整化群不变量),需要寻求合适的“边界条件”,如散射相移的有效程展开(effective range expansion)系数来确定之.因为在有效场论势能的给定展开阶内,这样的“物理”参数或重整化群不变量总是有限的,可以找到足够多的“边界条件”来确定之.文献 8,10-11 充分揭示了在这样的理论景观下,诸如大散射长度以及浅束缚态等非微扰的物理性质在简单的有效场论幂次规则下就可以自然地得出,而不必去费力构建更为复杂的、难以保证收敛性的有效场论幂次规则.可以看到,得到上述低能短程相互作用(接触性势能)的二体散射闭合形式解析解的关键在于势能和散射矩阵对外动量依赖的因子化,并且圈积分采用一般参数化方法.而二体 t 矩阵闭合解中隐含的耦合常数与重整化参数之间的失配导致的非微扰重整化新内涵在接触型势能的有效场论中应该具有普遍性,比如三体系统的 T 矩阵在接触型势能的前提下应该也面临这样的局面.本文欲尝试将前述经验或观察应用于三体系统.为了简便,下面的讨论针对无自旋的玻色子系统.140华东师范大学学报(自然科学版)2023 年 2 三玻色子系统 2.1三体运动学及 Faddeev 方程Kpp=1/2(k k)()(123)qq=k 1/3(k+k+k)Kpq|pq雅可比动量是一种方便的描述三体运动学的方法(以下考虑的是质量相同的标量粒子),它由3 个动量组成:第一个是系统总动量 ;第二个是“粒子对”的相对运动动量 ,其中,取 的任意一种轮换;第三个是“旁观者”粒子 在质心系中的动量 ,.在质心系中,总动量 恒为 0.因此可以用 ,(“粒子对”及其“旁观者”粒子 )来描述三体系统的运动状态,相应的量子态为 .在计算中还会用到 3 组雅可比动量之间的转换关系,根据定义可以得出p=12p34q,q=p12q,()取(21),(32),(13),p=12p+34q,q=p12q,()取(12),(23),(31).(21)对于三体系统,相应的 Lippmann-Schwinger 方程存在一定的问题,即不存在唯一解,必须代之以Faddeev 方程20,详细的理由阐述见文献 19.目前文献中有两种版本的三体 T 矩阵满足的方程,这里分别称为 Joachain 版方程20和 Newton 版方程20.下面采用动量空间进行阐述.Joachain 版方程为T(N)(p,q;p,q;E)=t(N)(E 34M1q2)(2)3(q q)+3=1wdp(2)3t(N)(E 34M1q2)E 34M1q2 M1p2+i T(N)(p(p,q),q(p,q);p,q;E);(22)Newton 版方程为T(N)(p,q;p,q;E)=t(N)(E 34M1q2)(2)3(q q)+3=1wdp(2)3t(N)(E 34M1q2)E 34M1q2 M1p2+i T(N)(p(p,q),q(p,q);p,q;E).(23)、=1 ,t(N)p,qp,qEE(E (3/4)M1q2)式(22)(23)中:的取值都是 1 到 3;其中 是 Kronecker 符号;是“粒子对”对应的二体 t 矩阵;N 表示阶数;表示初态雅可比动量;表示末态雅可比动量;是三体系统的总能量;则是指由各种不同的能量组成的集合;注意上述方程中动量积分是针对内线的“粒子对”动量,是“粒子对”能量.另外根据式(22)、式(23),可以直接证明Newton 版和 Joachain 版满足关系T(N)=123=1T(N).(24)T(N)1V23T(N)2、T(N)3T(N)=T(N)1+T(N)2+T(N)3这一关系可以用来检验计算的自洽性.式(24)中,是初始的 3 粒子相互作用为 (2,3)“粒子对”间的势能)的三体散射过程的和,类推.因此这 3 个矩阵的和即为总三体 T 矩阵:.第 4 期王 凯,等:Faddeev 方程与三玻色子系统低能短程有效场论研究141 2.2三体 T 矩阵外动量“分流”(E (3/4)M1q2)通过考察二体问题的解决过程可知,二体 t 矩阵的解是外动量(这里是“粒子对”动量)的多项式,多项式的系数是圈积分后的重整化参数和在壳动量的有理函数(多项式构成的分式),以此为经验,考察二体接触型相互作用下的三体问题:三体 T 矩阵是由 t 矩阵的无穷迭代生成的,故而其严格解也是“粒子对”动量的多项式(无穷阶),但是无穷阶多项式是无法处理的,下面考虑寻找它的近似解析解.考虑到式(23)、式(24)的非齐次项和积分核都是 t 矩阵,同时考虑到此处只包含二体相互作用,因而可以假定 T 矩阵对“粒子对”动量的依赖仍是多项式,其最高幂次应至少与 t 矩阵一样,因而假定它展开到 t 矩阵的相同幂次;而“旁观者”动量将通过“粒子对”能量 进入“粒子对”动量多项式的展开系数当中.于是问题转化为将如此展开的三体 T 矩阵代入式(23)、式(24)求解多项式的系数满足的代数方程.但经过计算发现,“粒子对”动量积分中将会出现外动量的更高幂次,使得左右两边幂次不再对应相等,而这些高幂次项都来自“旁观者”动量,因而可以采用分流法将其纳入能量之中,从而得到闭合的关于多项式系数的代数方程组.在低能有效场论中高幂次项的贡献相比于低幂次的项总是被压低的(suppressed),因此这样的“分流”处理是合理的近似处理.解这些方程组,就得到了本文要求的非微扰近似解.另外,通过下面的计算可以看到,T 矩阵多项式的系数是能量的分式,因而这样的做法相当于 Pad近似22-24.在“分流”处理中本文引入了新的与能量有关系的量.由式(23)、式(24)的一次迭代可知,计算中在分母上除了会出现初末态的“粒子对”能量,还会有“能量差”E=E 34M1q2 M1(12q+q)2(25)E12=E (3/4)M1q21 M1(1/2)q1+q2)2出现.以 为例,解释其物理含义,详见图 1.q1 t2(N)t1(N)q1q2 q1q2 q2 q1 q1q2 q2 132132t(N)1t(N)2图 1 相继为 和 的散射过程的费曼图t(N)1t(N)2Fig.1 Feynman diagram of successive scattering with and t(N)1t(N)2(1/2)(q2(q1 q2)=(1/2)q1+q2M1(1/2)q1+q2)2t(N)1t(N)2=q1 q2E1E12t(N)1t(N)2E图 1 中,作 用 后、作 用 前,(2,3)“粒 子 对”的 相 对 动 量 为 .因此,是 、作用之间(2,3)“粒子对”的离壳相对动能(因为粒子 3 的中间态动量 是离壳的).因为 是初态(2,3)粒子对的相对运动动能,故 是(2,3)“粒子对”能量与 、作用之间(2,3)“粒子对”离壳相对运动动能的差.其他 的物理意义与此类似.2.3三体 T 矩阵的非微扰解TT下面根据 2.2 节提供的思路计算 、非微扰解.2.3.1 领头阶势能下 Faddeev 方程非微扰近似解1)最简假定TTa,aa,aa由 2.2 节的讨论可知,在领头阶势能下二体跃迁矩阵的解形式上不依赖于“粒子对”外动量,只依赖于二体系统总能量.因此在领头阶势能下,可以最简单地假定三体跃迁矩阵为领头阶“粒子对”外动量多项式,即 、为仅依赖于能量及“旁观者”动量的未知函数 、(右下标“”表示最简假定),关系式为142华东师范大学学报(自然科学版)2023 年T(0),a(p,q;p,q;E)=a,a(E),(26)T(0),a(p,q;p,q;E)=a,a(E).(27)将式(26)(27)代入式(22),得到a,a=t(2)3(q q)+3=1wdp(2)3tE M1p2+ia,a,a,a=t(2)3(q q)+3=1wdp(2)3tE M1p2+ia,a,(28)tE其中 表示 对应的领头阶 t 矩阵.a,aa,aI正如前面所指出的,式(28)的积分中,作为领头阶展开,系数函数 、仅依赖于能量及“旁观者”动量信息,因而与被积“粒子对”动量无关,可提到积分号外.对积分做一般参数化,并引入新符号 来表示积分式,即I=wdp(2)31E M1p2+i.(29)从而将积分方程化为闭合的代数方程a,a=(2)3t(q q)3=1tIa,a,a,a=(2)3t(q q)3=1tIa,a.(30)这个方程组(式(30)的解容易求出,即T(0),a=a,a(E)=(2)3t(q q)(1 ttII)+(q q)(tI 1)tI+(q q)(tI 1)tI)1 t1t2I1I2 t1t3I1I3 t2t3I2I3+2t1t2t3I1I2I3,(31)T(0),a=a,a(E)=(2)3tI(q q)t(tI 1)+(q q)t(tI 1)1 t1t2I1I2 t1t3I1I3 t2t3I2I3+2t1t2t3I1I2I3,(32)T(0),a=a,a(E)=(2)3t(q q)(1 ttII)(q q)tI(1 tI)1 t1t2I1I2 t1t3I1I3 t2t3I2I3+2t1t2t3I1I2I3.(33)、式(31)(33)中,满足互不相等的要求.2)改进假定Tt显然由上述最简假定得到的解中,矩阵始终是某“旁观者”粒子,不参与作用的效果(狄拉克(Dirac)分布),不能合理地描述因多次不同“粒子对”间的相互作用迭代积累导致的 3 个粒子间的动量混合分布(非 Dirac 分布).因而作为改进,本文在前面最简假定解的基础上明显地引入二体 矩阵项,来描述“旁观者”粒子不参与作用的过程,并用下标“t+a”表示该假定,即第 4 期王 凯,等:Faddeev 方程与三玻色子系统低能短程有效场论研究143T(0),t+a(p,q;p,q;E)=(2)3t(q q)+a,t+a(E),(34)T(0),t+a(p,q;p,q;E)=(2)3t(q q)+a,t+a(E).(35)可得代数方程组a,t+a=3=1tEt3=1tIa,t+a,a,t+a=3=1tEt3=1tIa,t+a,(36)tEt其中 表示 对应的领头阶 矩阵.解式(36),可得T(0),t+a(p,q;p,q;E)=(2)3t(q q)+11 t1t2I1I2 t1t3I1I3 t2t3I2I3+2t1t2t3I1I2I3t(tE+tE)tI(ttE+ttE+ttE+ttE)+t1t2t3(IItE+IItE+IItE+IItEIItEIItE),(37)T(0),t+a(p,q;p,q;E)=11 t1t2I1I2 t1t3I1I3 t2t3I2I3+2t1t2t3I1I2I3t(tE+tE)tI(ttE+ttE)+t1t2t3(IItE+IItEIItEIItE),(38)T(0),t+a(p,q;p,q;E)=(2)3t(q q)+11 t1t2I1I2 t1t3I1I3 t2t3I2I3+2t1t2t3I1I2I3ttE tI(ttE+ttE+ttE)+t1t2t3(IItEIItE+IItEIItE).(39)、式(37)(39)中,同样满足互不相等的要求.显然,这个改进使得在 Dirac 分布项(第一项)之外成功地包括了更合理地描述 3 粒子间动量混合过程的非 Dirac 分布项！实际上,仔细观察二体接触型势能的 Faddeev 方程迭代结果,可以启发尝试近似程度更好的解析解假定,此项工作的结果将在后续报告中给出.2.3.2 次领头阶势能下 Faddeev 方程非微扰近似解1)最简假定TTtaij,aaij,a(i=0,1,2,3,j=0,1,2,3)在最简假定情形下,将 和 取为与二体 矩阵相同阶的“粒子对”外动量多项式,系数设为能量及“旁观者”动量的未知函数 和 .为了简化问题,先考虑二体144华东师范大学学报(自然科学版)2023 年TT的 S 波部分对应的 和 ,此时该假定可写成因子化形式,具体为T(2),a,S=eUT,aeU,(40)T(2),a,S=eUT,aeU.(41)eUeUeUT=(1,p21,p22,p23)eUT=(1,p21,p22,p23),a,a式(40)(41)中:和 为列矢量;、为系数组成的矩阵,这里分别给出一个矩阵的具体形式1,a=a00,1,aa01,1,aa02,1,aa03,1,aa10,1,aa11,1,aa12,1,aa13,1,a00000000,11,a=a00,11,a0a02,11,aa03,11,aa10,11,a0a12,11,aa13,11,a00000000.t二体 矩阵元可写为t(2)=eUTeU.(42)式(42)中,1=t0,1t01,100t10,1t11,10000000000,2=t0,20t01,200000t10,20t11,200000,3=t0,300t01,300000000t10,300t11,3,t0,1tt(2)1t01,1p12t10,1p21t11,1p21p12其中,是次领头阶二体 矩阵元 的常数项,是 项的系数,是 项的系数,是 项的系数,以此类推.将其代入 Faddeev 方程,得到eUT,aeU=eUTeU(2)3(q q)+3=1eUTI,aeU,eUT,aeU=eUTeU(2)3(q q)+3=1eUTI,aeU,(43)I4 4I=(I,ij)I1,11其中,是由积分构成的 矩阵,.这些积分将产生高于方程左侧的高幂次项,因而需要被分流.这里给出 的表达式及一个分流计算的例子,即I1,11=wdp(2)31E1 M1p2+i=I1=I11,1,(44)t11,1p21I1,23a21,2,ap12=wdp(2)3t11,1p21p21E1 M1p2+ia21,2,a(12p34q1)2p12=t11,1a21,2,ap21p1214wdp(2)3p4E1 M1p2+i34(E1 E)Mwdp(2)3p2E1 M1p2+i=A11p21p12,(45)A11=(1/4)J5+(3/4)E (1/2)E1)MJ3+(1/2)(ME1)2I11,1(3/4)M2E1EI11,1)t11,1a21,2,a.其中 T(2),a,ST(2),a,S这样式(43)左右两侧动量幂次相同,代数方程闭合了,求解该方程便可以得到 和 的系第 4 期王 凯,等:Faddeev 方程与三玻色子系统低能短程有效场论研究145数.这里只给出“粒子对动量”零次幂系数的表达,即a00,a=1DD,3(D,5N,2 D,6N,1)+D,1(D,4N,1 D,5N,3)+D,2(D,6N,3 D,4N,2),a00,a=1DD,3(D,5N,2 D,6N,1)+D,1(D,4N,1 D,5N,3)+D,2(D,6N,3 D,4N,2).(46)式(46)中:D=D,3(D,6D,8 D,5D,7)+D,1(D,5D,9 D,4D,8)+D,2(D,4D,7 D,6D,9);(47)DNtN 、的取值范围是从 1 到 3;和 都是 矩阵、能量、“旁观者”动量和重整化参数的函数,同时还携带“旁观者”动量的 函数,其他幂次的系数都是由这两组因子构成的,且具有式(46)类似的形式.由于这些因子的表达式很复杂,因此这里不给出对上述参数的具体依赖关系,具体表达式详见学位论文.与 2.3.1 节领头阶势能前提下的最简假定一样,这个解无法描述动量在 3 粒子之间混合的过程,原因是都含“旁观者”动量的 函数.2)改进假定与领头阶的改进假定相同,设 T 矩阵形式为T(2),t+a,S=eUTeU(2)3(q q)+eUT,t+aeU,(48)T(2),t+a,S=eUTeU(2)3(q q)+eUT,t+aeU.(49)代入 Faddeev 方程,得到eUT,t+aeU=3=1eUTIeU+3=1eUTI,t+aeU,eUT,t+aeU=3=1eUTIeU+3=1eUTI,t+aeU.(50)I4 4I=(I,ij)I12,13=M(E2/E12 1)I12,21=M(E1/E12 1)E式 (50)中:是 由 能 量 的 函 数 构 成 的 矩 阵,如 、;是末态“粒子对”能量 对应的二体 t 矩阵的系数所构成的矩阵.IT(2),t+a,S,T(2),t+a,S由于 已经在 2.3.2 节中进行了“分流”处理,这里可以直接求解代数方程(式(50),得到 的系数的表达式,如a00,t+a=1D(D,8D,1 D,7D,2)(eN,1Y,2eN,2Y,1)+(D,8D,6 D,7D,5)(eN,3Y,1eN,1Y,3)+(D,1D,5 D,2D,6)(eN,4Y,1eN,1Y,4),a00,t+a=1D(D,8D,1 D,7D,2)(eN,1Y,2eN,2Y,1)+(D,8D,6 D,7D,5)(eN,3Y,1eN,1Y,3)+(D,1D,5 D,2D,6)(eN,4Y,1eN,1Y,4),(51)D,1,D,2,D,5,D,6,D,7,D,8eN,1,eN,2,eN,3,eN,4t0,1,t01,1,t10,1,t11,1,I1,11,I1,12,其中,和 是 与 146华东师范大学学报(自然科学版)2023 年Y,1,Y,2,Y,3,Y,4,Y,1,Y,2,Y,3,Y,4t0,1,t01,1,t10,1,t11,1,I1,11,I1,12,E12,E13,的有理函数,是 和 与能量差 构成的多项式.由于表达式过于冗长,此处不再细表.3)考虑 P 波后的最简假定TT现在考虑计入 P 波势能的贡献,此时 和 的最简假定分别是T(2),a=eUT,aeU+aP;1,p1 p1+aP,2,p2 p2+aP,3,p3 p3,(52)T(2),a=eUT,aeU+aP,p p+aP,p p.(53)tP,1p1 paP,3,2(1/2)p+(3/4)q1)p3涉及 P 波贡献的积分同样需要“分流”处理.以 与 相乘的积分项为例,wdp(2)3tP,1p1 p1E1 M1p2+i(12p+34q1)p3aP,3,2=12tP,1aP,3,2wdp(2)3p1 p1E1 M1p2+i(p p3)=16tP,1aP,3,2wdp(2)3p2(12p334q3)p3E1 M1p2+i=APp3 p3+BP,其中,AP=112tP,1aP,3,2I1,12,BP=116tP,1aP,3,2I1,12(E31 E32+43E143E2)M,q3 p3=(1/2)M(E31 E32+(4/3)E1(4/3)E2)就用到了关系式 .经过如此“分流”处理以后,又可以得到封闭的代数方程,其解为T(2),a=a0,+a01,p12+a02,p22+a03,p32+a10,p21+a11,p21p12+a12,p21p22+a13,p21p32+aP,1,p1 p1+aP,2,p2 p2+aP,3,p3 p3,(54)T(2),a=a00,+a0,p2+a0,p2+a,p2p2+a,p2p2+aP,p p+aP,p p.(55)aaaP,1,aP,2,tI式(54)(55)中的 是 P 波修正后的 ,而 是纯粹 P 波的系数,它们都是 矩阵、能量和“旁观者”动量的函数.与上面的最简假定一样,此含 P 波贡献的解同样不能描述动量弥散的过程,需要用改进假定形式的解才能容纳动量弥散过程的贡献.因计算类似但是更为繁重,此处不再给出改进假定解的过程.2.3.3 一致性检验1)两种版本解的一致性对于领头阶最简假定解,通过对式(37)(39)的直接计算可以验证它们满足式(24),即T(0)1,a+T(0)2,a+T(0)3,a=(2)3t(q q)(1 ttII)+(q q)(tI 1)tI+(q q)(tI 1)tI)1 t1t2I1I2 t1t3I1I3 t2t3I2I3+2t1t2t3I1I2I3=T(0),a.(56)第 4 期王 凯,等:Faddeev 方程与三玻色子系统低能短程有效场论研究147对于改进假定解,可以验证式(24)也成立,此处不再详述.对于次领头阶,在最简假定下根据计算结果,发现有关系N,=12(N,+N,+N,),(57)Y,=12(Y,+Y,+Y,).(58)由此关系便可以方便地验证12(a00,1,a+a00,2,a+a00,3,a)=1DD,3(D,5N,2 D,6N,1)+D,1(D,4N,1 D,5N,3)+D,2(D,6N,3 D,4N,2)=a00,a,(59)12(a00,1,t+a+a00,2,t+a+a00,3,t+a)=1D(D,8D,1 D,7D,2)(eN,1Y,2eN,2Y,1)+(D,8D,6 D,7D,5)(eN,3Y,1eN,1Y,3)+(D,1D,5 D,2D,6)(eN,4Y,1eN,1Y,4)=a00,t+a.(60)a01,1,aa02,1,a,a02,11,aa03,11,a,“粒子对”动量的其他幂次的项的系数(,)按照同样的方式可以方便地得到验证,此处不再赘述.而改进假定下的验证过程也很直接,不再细表.2)领头阶和次领头阶的一致性tt01,t10,t11,=0a00,aa00,aa00,1,aa00,11,aDNN1,2=N1,4=0D1,1=D1,7=0首先来看最简假定解,令 矩阵的次领头阶部分的系数 ,所有“粒子对”动量的非零次幂项的系数都是 0,因而只需验证 和 退回领头阶即可.以 、为例,根据 和 的具体表达式,此时 ,因而由式(47)可知T(2)1,a=a00,1,a=D1,2N1,3 D1,3N1,1D1,3D1,8+D1,2D1,9=(2)3t1(q1q1)(1t2t3I2I3)+(q2q2)(t3I31)t2I1+(q3q3)(t2I21)t3I1)1t1t2I1I2t1t3I1I3t2t3I2I3+2t1t2t3I1I2I3=T(0)1,a,(61)T(2)11,a=a00,11,a=D1,3D1,3N11,1 D1,3D1,6N11,1+D1,2D1,6N11,3 D1,1D1,5N11,3D1,3D1,6D1,8 D1,2D1,6D1,9=(2)3t1I1(q2 q2)t2(t3I3 1)+(q3 q3)t3(t2I2 1)1 t1t2I1I2 t1t3I1I3 t2t3I2I3+2t1t2t3I1I2I3=T(0)11,a.(62)验证完毕.对于剩下的 10 个 T 矩阵,计算过程与上述类似.对于改进假定解,本文同样验证了一致性,不再赘述.2.4三体 T 矩阵的非微扰重整化作为闭合形式的,因而也就是非微扰形式的解析解,前面获得的三体 T 矩阵在理论结构上与二148华东师范大学学报(自然科学版)2023 年体 t 矩阵的主要特点一样:重整化参数及耦合常数都因闭合形式而受到更多的紧约束(tightconstraints)8,10-11,从而导致某些重整化参数及耦合常数成为需要适当“边”条件或者物理输入来确定的“物理”参数或者重整化群不变量,这是以往的微扰框架下的重整化无法处理的情景8-11.C0J0II比如,对于领头阶接触型势能二体 t 矩阵实际上仅有 S 波贡献.为了完成二体 t 矩阵在此前提下的重整化,唯一的耦合常数 必须吸收可“跑动”的重整化参数 ,从而变成“跑动”耦合常数,以保证二体 t 矩阵是不“跑动”的物理参数的函数5,8,11.将这样的二体 t 矩阵代入 Faddeev 方程后,无论是在最简假定下,还是在改进假定下,本文都得到了由已经重整化的二体 t 矩阵以及内动量积分 构成的闭合的有理分式函数.这样的闭合函数形式自然将带来新的紧约束,进而导致积分 中出现的重整化参数被约束为不“跑动”的物理参数.类似地,次领头阶水平上的三体 T 矩阵的闭合解也是由已经重整化的二体 t 矩阵与新的内动量积分构成的闭合的有理分式,于是新的内动量积分中出现的重整化参数也将因更多的紧约束而变成不“跑动”的物理参数.对于三体 T 矩阵重整化的具体实施及其在具体物理问题中的应用将在后续的详细报告中给出.与以往的含非微扰发散的数值计算分析相比,虽然本文得到的三体 T 矩阵是近似解,但它是解析的闭合解(非微扰),可以很方便地讨论非微扰重整化,这是本文所采取的方法和途径的显著优势.3 结论本文在二体短程有效相互作用的前提下,将二体跃迁矩阵非微扰解计算中成功使用的因子化和内动量积分的一般参数化方法,结合外动量“分流”处理,推广到描述二体相互作用下的三体 T 矩阵所满足的 Faddeev 方程的求解中,在领头阶和次领头阶接触型二体相互作用下得到了近似程度不同的三体 T 矩阵的闭合形式近似解.通过两种不同版本(Joachain 版和 Newton 版)的 Fadde