聚丙烯纤维再生混凝土损伤本构模型的研究.pdf

l 5 0 材料导报 B： 研究篇 2 0 1 5 年 1 1月( 下) 第 2 9 卷 第 l l 期 聚丙烯纤维再生混凝土损伤本构模型的研究 张婷 ， 黄炜， 戎种 ( 西安建筑科技大学 土木工程学院 ，西安 7 1 0 0 5 5 ) 摘要 基 于 We i b u l l 统计分布理论和 I e ma i t r e 等 效应 变假 定原理 ， 推 导出聚丙烯纤维再生混凝土单轴 受压损 伤本构模型， 对聚丙烯纤维再生混凝土进行单轴受压试验， 根据试验数据， 确定了该模型参数， 通过试验 曲线和模型 曲线的对比分析发现两者拟合较好。基于考虑中间主应力、 拉压性能影响的适用于任何材料的统一强度理论， 推导 出聚丙烯纤维再生混凝土的双剪损伤本构模型， 建立了纤维混凝土损伤本构模型从单轴到双轴的转化方法。 关键词 聚丙烯纤维再生混凝土统一强度理论单轴受压损伤本构模型双剪损伤本构模型 中图分 类号 ： T U5 0 2 文献标识码 ： A D O I ： 1 O 1 1 8 9 6 j i s s n 1 0 0 5 0 2 3 X 2 0 1 5 2 2 0 3 3 Da ma g e Co n s t i t u t i v e M o d e l s 0 f P0 l y p r 0 p y l e n e Fi b e r Re c y c l e d Co nc r e t e ZHANG Ti n g，HUANG W e i 。RONG Cho n g ( S c h o o l o f Ci v i l En g i n e e r i n g ，Xi a n Un i v e r s i t y o f Ar c h i t e c t u r e a n d Te c h n o l o g y ，Xi a n 7 1 0 0 5 5 ) Ab s t r a c t Na x i a l d a ma g e c o n s t i t u t i v e mo d e l o f p o l y p r o p y l e n e f i b e r r e c y c l e d c o n c r e t e b a s e d o n t h e W e i b u l l s t a t i s t i c a l d i s t r i b u t i n g t h e o r y a n d t h e h y p o t h e s i s o f t h e e q u i v a l e n c e o f s t r a i n o f L e ma i t r e P a r a me t e r s o f t h e mo d e l we r e o f f e r e d b y t e s t d a t a s ，a n d t h e mo d e l c u r v e we r e p r e s e n t e d Co mp a r e d wi t h t e s t c u r v e ，t h e f i t t i n g i s we l 1 Do u b l e s h e a r d a ma g e c o n s t i t u t i v e mo d e l wa s p r e s e n t e d b a s e d o n u n i f i e d s t r e n g t h t h e o r y wh i c h i s c o n s i d e r e d mi d d l e p r i n c i p a l s t r e s s a n d i s s u i t a b l e f o r a n y ma t e r i a 1 An d me t h o d wh i c h t r a n s f o r ms u i a x i a l d a ma g e c o n s t i t u t i v e t O d o u b l e s h e a r d a ma g e c o n s t i t u t i v e mo d e l wa s e s t a b l i s h e d Ke y wo r d s p o l y p r o p y l e n e f i b e r r e c y c l e d c o n c r e t e ，u n i f i e d s t r e n g t h t h e o r y ，u n i a x i a l d a ma g e c o n s t i t u t i v e mo d e l ， d o u b l e s h e a r d a ma g e c o n s t i t u t i v e mo d e l U 引 罱 聚丙烯纤维再生混凝土是一种掺入少量短切聚丙烯纤 维并以建筑垃圾制成的再生砖块作为骨料 的新型生态复合 材料。再生混凝土中掺人聚丙烯纤维可有效抑制混凝土的 塑性收缩开裂 ， 改善其抗渗 、 抗冻和抗蚀等性能。使用再生 砖作为骨料 ， 有效利用了建筑垃圾 ， 达到 了生态节能环保的 效果 ， 具有广阔的发展前景。 目前对纤维混凝土基本力学性能的研究趋于成熟口 ， 但 其损伤本构模 型的研究成果较为薄弱。基于此， 本实验着重 研究聚丙烯纤维再生混凝土的损伤本构模型 ， 根据试验测得 的峰值应力 、 峰值应变和初始弹性模量推导出其单轴受压损 伤本构方程和损伤演变方程 ； 并基于双剪统一强度理论推导 聚丙烯纤维再生混凝土的双剪损伤本构方程 ， 建立其损 伤本 构模型从单轴到双轴的转化方法。 1 实验 1 1 试验简介 试验共设计 5组试块 ， 每组 3个 ， 试块尺寸为 1 5 0 mm 1 5 0 mmX3 0 0 mm， 配合 比如表 1所示。试验中用位移计测 纵向变形， 采取双面中心对称布置方式 ， 运用动态应变仪采 集试验数据。由于在棱柱体抗压试验时 ， 普通的液压式材料 试验机只能获得应力一 应变曲线的上升段， 所以为了获得稳定 的应力一 应变全曲线 ， 采用电液伺服阀控制的刚性试验机直接 进行试件等应变加速加载。 表 1 试验每组的配合比 Ta b l e 1 Te s t mi x i n g r a t i o 1 2 试验结果 对所得数据进行整 理， 将所得试 验数据 转化为标准形 式 ， 再排除差异较大的点 ， 最后将 每组试验所得数据绘制成 *国家自然科学基金( 5 0 9 0 8 1 8 8 ； 5 1 1 7 8 3 8 5 ) ； 国家“ 十二五” 科技支撑项 目( 2 0 1 2 B A J 1 6 1 3 0 2 ) ； 教育部长江学者和创新团队发展计划 ( I RT1 3 0 8 9 ) 张婷： 女， 1 9 8 9年生， 博士生， 主要从事建筑材料耐久性研究 E ma i l ： 1 8 7 9 2 9 2 3 0 8 9 1 6 3 c o rn 聚丙烯纤维再生混凝土损伤本构模型的研 究 张婷等 1 5 1 应力一 应变曲线 。由于在试验的过程 中存在误差及混凝土 的 离散型等不可抗拒的因素， 在每组 3 个试件中挑选出试验效 果最好的曲线列于图 1 。 从图 1中可以看出， 聚丙烯纤维再生混凝土的应力一 应变 全曲线与普通混凝土的全曲线形状类似， 都具有明显的上升 段和下降段 ， 且都是单峰值曲线。 各组棱柱体的单轴受压应力一 应变 曲线上的特征点试验 值如表 2 所示 。 表 2 各特征点试验结果 Ta b l e 2 Te s t r e s u l t s o f f e a t u r e p o i n t s 翟 皇 日 宝 图 1 聚丙烯纤维再生混凝土单轴受压应力一 应变曲线 F i g 1 Th e u n i a x i a l p r e s s u r e s t r e s s - s t r a i n c u r v e o f p o l y p r o p y l e n e fib e r r e g e n e rat e d c o n c r e t e 1 5 2 材料导报 B： 研究篇 2 0 1 5年 1 1月( 下) 第 2 9卷第 l l 期 2 单轴 损伤本构模型 的建 立 实验证明_ 4 混凝土类材料的非线性 是由材料内部微裂 缝的演变和塑性屈服流动这两大主要 的能量耗散机制导致 的。塑性流动会产生不可恢复的塑性变形 ， 微裂缝扩展则引 起混凝土的刚度降低和应变软化 。国内外学者 6 基于连续 介质力学以加入损伤变量 的本构模型来反映材料 的这种不 可逆的损伤演变过程 。 2 1 损伤本构模型 法国著名学者 L e m a i t r e 教授提出应变等效原理 ： 在单 轴受力状态下， 受损材料的任何应变本构关系可 以从无损材 料的本构方程导出， 只要用损伤后的有效应力来取代无损材 料本构关系中的名义应力即可 。根据这一假说 ， 可得到受损 材料的本构方程 ， 即： s = = 尝 ( 1 ) 式 中： 为有效应力； E为无损材料的弹性模量。 有效应力与 C a u c h y 应力之间的关系为 ： 一 ( 2 ) 一 式 中： d 为有效应力； 为 C a u c h y 应力 ； D为损伤变量 。 由式( 1 ) 和式( 2 ) 得 ： ：i O n = ( 3 ) E E( 1 一 D ) 故损伤本构方程为： E( 1一 D) ( 4 ) 2 2 损伤本构模型推导 we u l 1 分布 目前被广泛应用于机械、 化工、 电气、 电子 、 材料等实际工程 的研究。根据混凝土 岩石等材料受力变形 全曲线的变化特点认为准脆性材料细观非匀质 的力学性能 服从 we I b u l 1 分布。因此， 根据材料 的全应力一 应变 曲线的特 征 ， 可以选择 we h u l 1 分 布的密度 函数模 拟全应力一 应变 曲 线 。 因为材料的强度服从 we i b u l l 统计分布， 可 以认为材料 的损伤参数 D也服从该统计分布 ， 由二参数的 we | b u 1 1 分布 得 ： D l e X p 一 ( n ) ( 5 ) 式 中： e 为应变 ； n 、 b为尺度参数和形状参数， 均为非负数。 将式( 5 ) 代入式( 4 ) 可得 ： 一 E e x p , -( e a ) ( 6 ) 根据应力应变曲线的特点 ， 损伤本构方程 ( 式 ( 6 ) ) 需满 足以下条件 ： 一 0 ， 一 0 ； e一 0 ， 出 d 一 E； = e ， 一 ； 一 ， 曲 C I 一 0 。 其中 。 、 和 E分别表示峰值应 变 、 峰值应力和初始弹性模量 。 由式( 6 ) 对应变求导得 ： 字 一E e x p -( a ) 1 b ( e a ) ( 7 ) 式( 6 ) 满足条件 ， 式( 7 ) 满足条件。 将条件代人 ( 7 ) 得 ： 一 E e x p 一 ( ) 卜b ( s n ) 一 o ( 8 ) 由于 E 0 ， e x p 一( a ) 0， 则 1 -b ( e a ) ： 0 ， 可 以得 到 ： 1= 6 ( a ) ( 9 ) 由式( 9 ) 整理可得 ： a一=生一 ( 1 O) 吉 将式( 1 O ) 代入式( 6 ) 并 由条件整理可得 ： b： ) i n ( r- ) 所以纤维再生混凝土单轴 受压状态下 的损伤本构方程 和损伤演变方程分别为： 一 E e x p E -( e a ) ( 1 2 ) D l e x p 一 ( e a ) ( 1 3 ) 式中： n 、 b的值如式( 1 0 ) 和式 ( 1 1 ) 所示。 从式( 1 2 ) 和式( 1 3 ) 中可以看出， 纤维再生混凝土的损伤 本构方程和损伤演化方程都只与材料本身的峰值应力、 峰值 应变和初始弹性模量有关 ， 只需试验测 出这 3个值就可求 出 纤维再生混凝土的损伤应力一 应变曲线和损伤演变曲线 。 2 3 试验 曲线与理论 曲线的对 比分析 根据试验所测的峰值应力、 峰值应变和初始弹性模量得 到纤维再生混凝土单轴受压状态下的损伤本构方程及损伤 演变方程， 其模型参数测定值如表 3所示 ， 损伤本构方程及 损伤演变方程如表 4所示。 图 2 为单轴受压状态下的聚丙烯纤维再生混凝土不 同 纤维体积率试验实测应力一 应变全曲线和采用表 4 本构方程 所得的理论曲线比较图。 表 3 单轴受压下损伤本构模型参数测定值 Ta bl e 3 Pa r a me t e r v a l u e s o f d a ma g e c o n s t i t u t i v e mo d e l u n d e r u n i a x i a l c o mpr e s s i o n 编号峰值 M P 应 a力峰 值 应 变 兰 “ 由图 2可得 ， 选用 的损伤本构模 型与试验结 果拟合较 好 ， 模型曲线在峰值应力之前与试验曲线几乎重合 ， 峰值应 力之后开始出现偏差 。聚丙烯纤维再生混凝土的应力一 应变 曲线下降段反弯点之前选用 的本构模 型曲线与试验 曲线还 具有较高的拟合度， 下降段反弯点之后模型陆线 的应力值迅 速下降 ， 出现了应力跌落的现象， 应变增长到一定的程度， 应 力趋于零 ， 而试验曲线 的下降速度却明显慢于模 型曲线。造 成这种现象的原因主要是 ， 在下降段 曲线 中， 混凝土 的损伤 值超过了某一临界限值之后 ， 损伤快 速增长 ， 材料 的力学性 能快速劣化 ， 进一步产生大量新损伤 ， 使承载力迅速下降。 聚丙烯纤维再生混凝土损伤本构模型的研 究 张婷等 1 5 3 I 0 0 8 0 6 0 4 0 2 山 蓦 蛀 O 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 00 1 0 应 变 ( b ) Da ma g e e v o l u t i o n a r y c u r v o f J Z l 一 试验 曲线 应变 ( e ) Co mp a r i s o n c u r v e o f J Z 3 应 变 ( h ) Da ma g e e v o l u t i o n a r y c u r v e o f J Z- 4 喜 譬 馏 一试 验曲线 应 变 ( a ) C o mp a r i s o n c u r v e o f J Z 1 曲线 曲线1 0 1 2 0 8 0 6 鞲 0 4 O 2 o 日 宴 钽 应变 ( c ) C o mp a r i s o n c u r v e o f J Z 2 应 变 ( ) D a m a g e e v o l u t i o n a r y c u r v e o f J Z 3 应 变 ( i ) C o mp a r i s o n c u r v e o f J Z 5 1 O 0 8 0 6 O 4 02 0 0 00 0 0 0 0 02 0 0 04 0 0 0 6 0 008 0 01 0 应 变 ( d ) D a m a g e e v o l u t i o n a r y c u r v e o f J z 2 一试验曲线 应 变 ( g ) C o mp a r i s o n c u r v e o f J Z 4 应 变 ( j ) D a m a g e e v o l u t i o n a r y c u r v e o f J Z 5 图 2 聚丙烯纤维再生混凝土对 比曲线 Fi g 2 Co mp a r i s o n c u r v e o f p o l y p r o p y l e n e fib e r r e g e n e r a t e d c o n c r e t e 线 2 1 2 8 6 4 2 O 8 6 4 2 O 善 R l 5 4 材料导报 B： 研 究篇 2 0 1 5年 1 1月( 下) 第 2 9卷第 1 l 期 3 双剪损伤本构模型 L o l a n d 、 Ma z a r s 等 1 0 , 1 1 学者提 出了各向同性损伤本构模 型， S i d o r o f f 利用能量等价原理提 出了一种 各向异性脆 弹性 本构模型 。而后不同的学者也建立了各种不同的损伤演 化方程， 如 B r o o k s 模型 ” 、 高路彬模型 等。这些模型在单 轴拉压状态下得到了较好的试验验证 ， 但有关多维状态下 的 模型尚待完善。 本研究采用 B r o o k s 模型 的演化方程形式和 Ma z a r s 模 型的三维推广思路 ， 并且考虑压应变对损伤的贡献， 建立 了 聚丙烯纤维再生混凝土的双剪应变损伤理论 ， 大致包括 3个 部分 ， 即初始损伤 面的形状 、 损伤演化方程的形式 及损伤本 构方程的建立 。 3 1 双 剪统一强度理论 俞茂宏以双剪单元体 副 为力学模型， 考虑作用于双剪单 元体上全部应力分量以及它们对材料破坏的不 同影 响， 建立 适用于任何材料的双剪统一强度理论 。所采用 的双剪单 元体力学模型如图 3所示 。 图3 双剪单元体力学模型 这种单元体是一种扁平的正交八面体， 在它们两组相互 垂直的各 4 个截面上作用着最大主切应力 r 。 和次大主切应 力 或 ， 以及其上对应的正应力 和 或 。双剪统 一 强度理论定义为： 作用于单元体上的两个较大主切应 力以 及相应的正应力影响 函数达 到某一极值时， 材料 发生破 坏。 其表达式为： F r l 3 + l 2 + ( l 3 + 】 2 ) 一 C + 1 2 Z 2 3 +卢 2 3 ( 1 4) F 一 r l 3 + b r 2 3 + ( 1 3 + 幻2 3 ) 一 C r 1 2 + 3 o 1 2 r 2 3 +p o 2 (1 5) 式中： 和C分别为统一强度理论中两个材料参数， 可由单压 和单拉应力应变曲线确定 ， 且 0 1。 3 2 双剪应变损伤面 根据上述双剪强度理论 ， 并考虑到聚丙烯纤维再生混凝 土的拉压特性 ， 材料的双剪应变损伤面可表示为： F 一 7l 3 + 7 1 2+ ( E 1 3+ l 2 )一 C ( 】 2 + 卢 E 1 2 ) ( 7 2 ： +卢 2 3 ) ( 1 6 ) F 一 7 1 3 + y 2 3 +|8 ( 1 3 +E 2 )一 C ( y l 2 + 1 2 ) ( y 2 3 + 2 3 ) ( 1 7 ) 式 e p ：y 2 7 - ( l 一 )，7 e 3= 寺 ( 2 一 3 )，y l_i= 1 。 ( 1 E 3 ) ， E 1 2一 百 1 (E l + 2)， 2 3一 1 ( 2 + 3 )， l 3= 专 ( 1 ) ， 一 ，c ： 。 其 中 a 一 o 分别为单拉和单压情况下的损伤应变 阂值 ， 为? 白 松 比。 代人化简， 得到用主应变表示的聚丙烯 纤维混凝土的初 F i g 3 Me c h a n i c a l mo d e l s o f t w i n s h e a r u n i t b o d y 始损伤面为： F 一 e 一 吉 c e + e + 熹 e + c e 。 + 一 F 一 I c e 十 E 2 ) - 3 + 专 c e + s 。 ， + e 。 一 由以上分析可以看出， 初始损伤面方程考虑了 3个主应 变的影响 ， 同时具备 了聚丙烯纤维混凝土材料由单轴损伤 到 三维情况推广的基础 ， 而且考虑 了其拉压强度差效 应， 此方 程表达的物理意义就是聚丙烯纤维混凝土从弹性进入塑 性 阶段的界限。 3 3 双轴损伤本构模型建立 根据 Ma z a r s多维损伤本构模型 的思路 ， 当损伤为各 向 同性损伤时， 昆 凝土类材料的损伤本构方程可以表示为： 一( ， 一 M ， ) ( 1 一D ) ( 2 o ) E I 盯 触 0 l J u 式中： D为损伤变量 ， 、 e 为应力张量和应变张量。 根据 B r o o k s 模型损伤演化方程的特点 ， 构造 D的演化 形式 为 ： e 等等 c 8 z = T 干 一 e 。 等 式 中 n , k由材料的单轴拉伸曲线确定 ： ( 19j 一 ( - 7 ) V - ，o 一 一 矗 ” H一 毒 + ” 、 是 由材料的单轴压缩 曲线确定 ： ” ， 一 ( ) H ，一 T 式中： 、 分别为聚丙烯纤维再生混凝土单拉应力一 应变曲 线的峰值应力和峰值应变 ， e 分别为聚丙烯纤维再生混 凝土材料单压应力一 应变曲线的峰值应力和峰值应变， 并且取 其绝对值代人 ， E为弹性模量 ， 并假设拉压两种情形下 E值 相等 。 因此， 双轴状态下聚丙烯纤维再生混 凝土的本构关系可 以完整地表示为 ： 一 聚丙烯纤维再生混凝土损伤本构模型的研究 张婷等 1 5 5 一 ( 成) 。 I F f ( f F f ) J C l ( 2 2 ) 一 ( ) ( 1 一 D ) 一 1 I F f ( f I ) j C J ( 2 3 ) 由式( 2 2 ) 和式( 2 3 ) 可以看出， 只要 给出了聚丙烯纤维再 生混凝土的单轴压缩和单轴拉伸情况下的应力一 应变曲线， 就 可 以确定其损伤演化方程中参数 n 、 k 、 H 的值 ， 进而确立基于 双剪统一强度理论的损伤演化方程的显示表达式， 从而预测 多轴情形下材料 的损伤本构关系 ， 具有 十分重要 的理论 意 义 。 4 结论 ( 1 ) 基于 we u l 1 分布理论和 L e m a i t r e 等效应变假定原 理 ， 推导出聚丙烯纤维混凝土单轴受压损伤本构模型， 根 据 试验数据 ， 确定 了模型参数 ， 建立了聚丙烯纤维再生混凝 土 的单轴受压损伤本构方程 。 ( 2 ) 根据建立的损 伤本构方程作 出理论 曲线， 并 与试验 曲线进行对 比分析 ， 发现两者具有较好的拟合度， 证明了提 出的损伤本构模型的准确性。 ( 3 ) 基于双剪统一强度理论 ， 采用 B r o o k s 模型 的演化方 程形式 和 Ma z a r s 模型的三维推广思路 ， 推导出聚丙烯纤维 再生混凝土的双剪损伤本构模型 ， 提出纤维混凝土损伤本构 模型从单轴到双轴的转化方法 ， 具有重要的理论实际意义 。 参考文献 1 沈荣喜， 王璋水， 崔玉忠 纤维增强水泥与纤维增强混凝土 M 北京： 化学工业出社， 2 0 0 6 ： 7 2 Ga o Da n y i n g，Z ha o J u n，Ta n g J i y u An e x p e r i me n t a l s t u d y o n t h e b e h a v i o r o f r e i n f o r c e d h i g h - s t r e n g h t c o n c r e t u n d e r s p l i t t i n g t e n s i o n J C h i n a C i v i l E n g J ， 2 0 0 5 ( 7 ) ： 1 6 ( i n C h i n e s e ) 高丹盈，赵军，汤寄予 掺有纤维的高强混凝土劈拉性能试 验研究 J 土木工程学报， 2 0 0 5 ( 7 ) ： 1 6 3 De n g M i n g k e ，S u n Ho n g z h e ，L i a n g Xi n g we n， e t a 1 Ex p e r i me n t a l s t u d y o f f l e x u r a l b e h a v i o r o f d u c t i l e f i b e r r e i n f o r c e d c o n c r e t J I n d u s t r i a l C o n s t r u c t i o n ， 2 0 1 4 ， 4 4 ( 5 ) ： 8 5 ( i n C h i - n e s e ) 邓明科， 孙宏哲 ， 梁兴文延性纤维混凝土抗弯性能的试验 研究 J 工业建筑 ， 2 0 1 4 ， 4 4 ( 5 ) ： 8 5 4 Z h a o Pe n g f e i ，Bi Qi a o we i No n l i n e a r a n a l y s i s o f h y b r i d f i b e r c o n c r e t e J I n d u s t r i a l Con s t r u c t i o n ， 2 0 0 7 ， 3 7 ( Z 1 ) ： 9 7 5 ( i n C h i n e s e ) 赵鹏飞， 毕巧巍 混杂纤维混凝土的非线性分析E J 工业建 筑 ， 2 0 0 7 ， 3 7 ( Z 1 ) ： 9 7 5 5 L o n g Yu c h u a n， Li Z h e n g l i a n g A c o mp r e s s i v e d a ma g e mo d e l o f c o n c r e t e b a s e d o n e n e r g y d i s s i p a t i o n me c h a n i s m J E n g Me c h a n i c s ， 2 0 1 0， 2 7 ( AO 2 ) ： 1 7 1 ( i n Ch i n e s e ) 龙渝川， 李正良 基于能量耗散机制的混凝土受压损伤模型 J 工程力学， 2 0 1 0 ， 2 7 ( 增刊 ) ： 1 7 1 6 An Z h a n y i ，Z h e n g S h a n s u o ，Xi e M i n g ， e t a 1 Un i f i e d s t o c h a s t i c d a ma g e c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n o f c o n c r e t e u n d e r u n i a - x i a l c a mp r e s s i o n J C h i n a C i v i l E n g J ， 2 0 1 0 ， 4 3 ( S 2 ) ： 2 4 1 ( i n Ch i n e s e ) 安占义， 郑山锁 ， 谢明， 等 混凝土单轴受压统一随机损伤本 构关系- J 土木工程学报， 2 0 1 0 ， 4 3 ( s 2 ) ： 2 4 1 7 Li To n g c h u n， Ya n g Zh i g a n g Co n c r e t e d a ma g e mo d e l wi t h v a r i a b l e p a r a me t e r a q u i v a l e n t s t r a i n J E n g Me c h a n ， 2 0 1 1 ， 2 8 ( 3 )： 1 1 8 ( i n Ch i n e s e ) 李同春， 杨志刚 混凝土变参数等效应变损伤模型E J 工程 力学 ， 2 0 1 1 ， 2 8 ( 3 ) ： 1 1 8 8 Li Qi n g b i n Th e s t a t i c a n d d y n a mi c t wi n s h e a r d a ma g e c o n s t i t u t i v e t h e a r y f o r c o n c r e t e J J Hy d r a u l i c E n g ， 1 9 9 5 ( 2 ) ： 2 7 ( i n Ch i n e s e ) 李庆彬混凝土静、 动力双剪损伤本构理论 J 水利学报， 1 9 9 5 ( 2 ) ： 2 7 9 Ka c h a n o v L MI n t r o d u c t i o n t o c o n t i n u u m d a ma g e me e h a n i c s M Ne t h e r l a n d s D o r r e c h t ： Nij h o f f ， 1 9 8 6 1 0 L o l a n d K ECo n t i n u o u s d a ma g e mo d e l f o r l o a d r e s p o n s e e s t i ma t i o n o f c o n c r e t e J C e m C o n c r R e s ， 1 9 8 0 ( 1 0 ) ： 3 9 2 1 1 Ma z a r s J Co n t i n u o u s d a ma g e t h e o r y- Ap p l i c a t i o n t o c o n c r e t e C J J E n g Me c h ， 1 9 8 0 ， 1 1 5 ( 2 ) ： 3 4 5 1 2 S u p a r t o n o F，S i d o r o ff F An i s o t r o p i c d a ma g e mo d e l i n g f o r b r i t t l e e l a s t i c ma t e r i a l s J Ar c h i v e s o f Me c h a n i c s ， 1 9 8 5 ， 3 7 ： 5O 1 3 S h a h S P， S wa r t z S E F r a c t u r e o f c o n c r e t e a n d r o c k e l S EM - RI L EM I n t e r n a t i o n a l Co n f e r e n c e Ho u s t o mTe x a s ， 1 9 87 1 4高路彬 本构关系理论及应用 的新进展 M 重庆： 重庆大 学出版社 ， 1 9 8 8 1 5 Yu M a o h o n g Ad v a n c e s i n s t r e n g t h t h e o r i e s f o r ma t e r i a l s u n d e r c o mp l e x s t r e s s s t a t e i n t h e 2 0 t h c e n t u r y J Ap p l Me c h a n Re v ， AS ME， 2 0 0 2， 5 5 ( 3 ) ： 1 6 9 1 6俞茂宏 双剪理论及其应用 M 北京： 科学出版社， 1 9 9 8 ( 责任编辑何欣)