不确定多目标优化问题鲁棒ε-拟弱有效解的最优性和对偶性.pdf

第 卷 第期宁夏大学学报(自然科学版)年月V o l N o J o u r n a l o fN i n g x i aU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)J u n 文章编号:()不确定多目标优化问题鲁棒拟弱有效解的最优性和对偶性李梦恩,韩有攀(西安工程大学 理学院,陕西 西安 )摘要:研究了一类具有不确定因素的多目标优化问题首先,在广义凸性条件下,给出了多目标优化问题鲁棒拟弱有效解的最优性充分条件其次,给出了相应的M o n d W e i r型和W o l f e型对偶模型,并分别讨论了原问题与两类对偶问题之间的对偶关系,得到了相应的弱对偶、强对偶以及逆对偶结论关键词:多目标优化;拟弱有效解;对偶;广义凸性分类号:(中图)O 文献标志码:A收稿日期:基金项目:国家自然科学基金资助项目()作者简介:李梦恩(),女,硕士研究生,主要从事最优化理论研究,(电子信箱)q q c o m通信联系人:韩有攀(),男,副教授,博士,主要从事金融优化、集值优化及传统优化理论研究,(电子信箱)h a n y p c o m实际生活中,我们会遇到许多由相互冲突或相互影响的多个目标组成的优化问题,也常常期望在给定的区域内尽可能同时使多个目标都达到最优,即多目标优化问题多目标优化问题在工程优化设计、金融优化等领域中的应用普遍存在且具有重要作用但其研究过程会受预测误差、扰动、信息缺失等不确定因素的影响,因此带有不确定因素的多目标优化问题引起了众多学者关注并给出了多方面的研究成果最优性和 对 偶 性 是 带 有 不 确 定 因 素 的 多 目标优化问题理论的核心部分,迄今产生了许多重要的理论成果对于约束函数中含有不确定因素的多目标优化模型,C h u o n g根据拉格朗日乘子和真值函数的 极限次微 分建立了鲁 棒多目标 优化问 题(弱)P a r e t o有 效 解 的 最 优 性 条 件,在(严格)广义 凸 性 条 件 下 给 出 了Wo l f e型 对 偶 模 型,并讨论 了 原 问 题 与 对 偶 问 题 之 间 的 强、弱 对 偶性 C h e n 根据广义择一性定理,在鲁棒约束条件下,研究了非光滑多目标优化问题弱鲁棒有效解和真鲁棒有效解的最优性条件,在两类广义凸性假设下,给出了M o n d W e i r型和Wo l f e型对偶模型,并分别讨论了原问题与两类对偶问题之间的对偶关系 H o n g 等利用最小最大优化方法,在适当的约束条件下,建立了鲁棒最小最大优化问题(局部)最优解的最优性条件,且给出了鲁棒最小最大优化问 题和鲁棒多 目标优化问 题的 对偶性 结 果此 外,鲁 棒 半 无 限 规 划 问 题 及 在A s p l u n d空间中关于鲁棒非光滑多目标优化问题的研究也被学者们关注 对于目标函数和约束函数中均具有不确定因素的多目标优化问题的模型,C h u o n g 利用变分分析 的 理 论 工 具 和 广 义 微 分 的 相 关 知 识 研 究 了A s p l u n d空间中任意非空集下不确定非光滑多目标优化问题的鲁棒最优性和鲁棒对偶性畅泽芳 借助真有效解的标量化定理,在鲁棒型闭凸锥约束下,研究了不确定多目标优化问题鲁棒真有效解的最优性和对偶性龚田甜 利用鲁棒优化方法和择一性定理分别研究了不确定多目标凸优化问题近似拟弱鲁棒有效解的最优性条件、非光滑不确定多目标分式规划鲁棒弱有效解的最优性条件和非光滑不确定多目标规划鲁棒近似拟弱有效解的最优性条件此外,对于不确定多目标优化问题鲁棒拟弱有效解的研究及对鲁棒半无限多目标优化问题的研究见文献 本文主要利用鲁棒优化方法,在广义凸性条件下,研究A s p l u n d空间中鲁棒多目标优化问题拟宁夏大学学报(自然科学版)第 卷弱有效解的最优充分性条件,并分别讨论原问题与两类对偶问题之间的对偶性预备知识假设X为A s p l u n d空间(具有可分对偶的可分子空间的巴拿赫空间)符号 表示空间X中的向量范数,表示空间X与对偶空间X的内积B(x,r)表示以xX为中心,r为半径的开球,B表示空间X中的闭单位球符号表示在弱拓扑空间X中是收敛的X的凸包、闭包和内部分别定义为c o,c l,i n t,而c l表示X的弱拓扑闭包定义 设f:X是H a u s d o r f f拓扑空间到空间X的一个集值映射若对于任意的序列tt,t,xnnNX,xnf(t),有xf(),则xnx,称f在是弱闭的定义当(x)时,函数在xX处的极限次微分为x()xXx,()Nx,x()();e p i(),其中Nx,x()();e p i()表示极限法锥,e p i表示函数的上镜图引理 设函数i:XR,i,n,n在xX附近是下半连续的,并且这些函数除了一个之外,其余函数在x附近都是L i p s c h i t z连续的,则有n()x()x()x()nx()考虑带有不确定因素的多目标优化问题:UMP()m i nfx(),flx()(),s t gjx,j(),j,m,其中xX是决策变量的向量对于j,m,j是任意非空不确定集j中的不确定参数,gj:XjR是实值函数对于i,l,函数fi:XR是L i p s c h i t z函数对于问题(UMP),有相应的鲁棒对应形式:RMP()m i nfx(),flx()(),s t gjx,j(),jj,j,m,其中函数f,g的定义与问题(UMP)中相同问题(RMP)的可行集为FxX gjx,j(),jj,j,m记Gjx()s u pjjgj(x,j),j(x)j|gj(x,)Gj(x)为j在x处的最优解集定义 令(,l)Rl,xF若不存在xF,使得对于i,l,有fi(x)fi(x)ixxi n tR,则称x为问题(UMP)的鲁棒拟弱有效解,即x为问题(RMP)的拟弱有效解 鲁棒拟弱有效解的充分性条件为了建立多目标优化问题鲁棒拟弱有效解的充分性条件,对于每个j,j,m,给出以下假设:()对于固定的xX,集合jx()是紧的;()对于任意的xBx,r(),jjx(),函数jgjx,j()R是上半连续的;()在Bx,r()上,对于给定的系数Kj,当jj时,函数gj,j()是一致L i p s c h i t z的,即对任意jj,x,xBx,r(),有gjx,j()gjx,j()Kjxx;()对任意jjx(),函数g关于第一变量的极限次微分gjx,j()在x,j()是弱闭的在上述假设条件下可得下列多目标优化问题拟弱有效解的必要性条件引理 假设条件()()成立,x为问题(RMP)的拟 弱 有 效 解,则 存 在i,i,l,j,j,m且liimjj,使得liifix()mjjc lc ogjx,j()jjx()liiiB,js u pjjgjx,j(),j,m在上述必要性条件中可能为,这样得到的必要性条件就无意义了为了避免此情况发生,需引入下列约束规范定义 设xF,若 c lc ogjx,j()jjx(),j,m,则称问题(UMP)在x处满足C Q(约束规格)条件接下来,我们研究拟弱有效解的充分性条件为此,先引入下列广义凸性的概念定义 设Rl若对任意xF,i fix(),i,l,jgjx,j(),jjx(),bxxB,j,m,存在vX,使得fix()fix()ixxi,vib,v,gjx,j()gjx,j()j,v,则称f,g()在xF处为广义凸函数第期李梦恩等:不确定多目标优化问题鲁棒拟弱有效解的最优性和对偶性在上述广义凸性条件下可得下列充分性条件定理设 Rl,xF若存在i,i,l,j,j,m且lii,使得liifix()mjjc lc ogjx,j()jjx()liiiB,()js u pjjgjx,j(),j,m,()且f,g()在xF处为广义凸函数,则x为问题(UMP)的鲁棒拟弱有效解证明假设()式成立,则存在ifix(),i,l,bB且对于j,m,有j c lc ogjx,j()jjx(),()使得liiimjjjliiib()由()式知,对j,m,存在序列c ogjx,j()jjx(),使得wj,其中表示序列的指标集同时,对任意,存在t,tgjx,t(),tjx(),t,s,sN,使得stt且sttt()因函数g在xF处为广义凸函数,所以对任意xF,tgjx,t(),tjx(),j,m,t,s,sN,存在vX,使得gjx,t()gjx,t()t,v因此,()式可等价于,vsttt,vsttgjx,t()gjx,t()对于t,s,又因tjx(),故gjx,t()Gjx(),且gjx,t()Gjx()显 然 成 立再 由wj可得j,vGjx()Gjx()()又由函数f在xF处的广义凸性及()、()式,可将()式进一步化为liii,vmjjj,vliiib,vliii,vib,vmjjj,vliifix()fix()ixxmjjGjx()Gjx()()liifix()fix()ixx又因为i且lii,所以fix()fix()ixx从而x是问题(UMP)的鲁棒拟弱有效解 鲁棒拟弱有效解的对偶性本节研究不确定性多目标优化问题(UMP)的两类对偶问题,并分别考察两类对偶问题与原问题之间的对偶关系 M o n dW e i r型对偶对于不确定多目标优化问题(UMP),相应的M o n dW e i r型不确定性对偶多目标优化问题为(D UM P)m a xz,f(z),s t li ifiz()mj jc lc ogjz,j()jjz()li iiB,mj jGjz(),其中f(z)f(z),fl(z)()其可行集为FD(z,)XRl Rmliifi(z)mjjc lc ogjz,j()jjz()liiiB,mjjGjz()为研究原问题解与对偶问题解之间的关系,首先给出下列对偶问题解的概念定义 设 Rl,z,()FD 若不存在z,()FD,使得f z()fz()zzi n tRl,则称z是问题(DUMP)的鲁棒拟弱有效解在上述对偶问题解的定义下,给出下列原问题解与对偶问题解之间的关系定理(弱对偶)设xF,z,()FD,Rl若函数f,g()在点z具有广义凸性,则宁夏大学学报(自然科学版)第 卷f x()f z()xz i n tRl证明因为z,()FD,所以存在i,i,l,j,j,m,ifiz(),i,l,bB,j c lc ogjz,j()jjx(),使得liiimjjjliiib,()mjjGjz()()对固定的j,m,类似于定理的方法,可得sttt()又因函数f,g()在点z处具有广义凸性,故对任意i fiz(),t gjz,t(),tjz(),i,l,j,m,t,s,sN,bB,存在vX,使得fix()fiz()ixzi,vib,v,()gjx,t()gjz,t()t,v()从而将()式与()式相结合,可得,vsttt,vsttgjx,t()gjz,t()又 因tj(z),故 对t,s,有gjz,t()Gjz()根据()式知,存在j,使得mjjgjz,t()此外,对任意t,s,因xF,显然有gjx,t()Gjx()因此,对于任意,有,v对上式相对于取极限得j,v()结合()、()和()式得liii,vmjjj,vliiib,vliifix()fiz()ixz因此,f x()f z()xzi n tRl注定理中,函数f,g()的广义凸性是至关重要的,若去掉此性质,定理的结果将不成立,举例如下例 设fi:R R,i,f x()fx(),f(x)(),其中f(x)x,f(x)x,x R考虑问题(UMP),其约束函数g:RR为g(x,)x,x R,R,即取xFR下面考虑对偶鲁棒优化问题(DUMP)取z,(,),(,),可得z,()FD 此外,显而易见,函数f,g()在z不满足广义凸性而f(x)f(z)xzi n tR故定理的结论不成立前面研究了原问题与对偶问题目标函数值之间的关系接下来,给出两个问题之间可行解的关系定理(强对偶)设Rl,假设条件()()成立,x是问题(RMP)的拟弱有效解,且在此 点 处 满 足C Q条 件,那 么 存 在,()Rl()Rm,使得x,()FD 此外,若函数f,g()在z处具有广义凸性,则x,()是问题(DUMP)的鲁棒拟弱有效解证明因假设条件()()成立,x是问题(RMP)的拟弱有效解,且在此点处满足C Q条件,根 据 引 理可 知,存 在i,i,l,lii,j,j,m,iRl,使得liifi(x)mjjc lc ogj(x,j)|jj(x)liiiB,js u pjjgjx,j(),j,m从而,设,l(),m(),可 得(,)(Rl)Rm,使得x,()FD 又因函数f,g()在zX处具有广义凸性,根据定理可知,对任意z,()FD,有f(x)f(z)xzi n tRl,即f(z)f(x)zxi n tRl故x,()是问题(DUMP)的鲁棒拟弱有效解注若定理中C Q条件在x处不满足,则定理的结论不成立,即不存在(,)(Rl )Rm,使得x,()FD,举例如下例设fi:RR,i,f(x)(f(x),f(x),其中f(x)x,f(x)x,x R考虑问题(RMP),其约束函数g:RR为第期李梦恩等:不确定多目标优化问题鲁棒拟弱有效解的最优性和对偶性g(x,)x,xR,R因FxRng x,(),故取x为问题(RMP)的拟弱有效解下面考虑对偶鲁棒优化问题(D UM P)因fx(),fx(),对任意,有gx,(),即C Q条件在点x处不满足因此,不存在,()Rl ,Rm,Rl,使得x,()FD,所以定理的结论不成立由定理的结论可知给定原问题的最优解可得对偶问题的最优解,那么反之是否也成立呢?我们有以下定理:定理(逆对偶)设Rl,x,()FD 若xF且函数f,g()在x处具有广义凸性,则x是问题(RMP)的拟弱有效解证明因为x,()FD,所以xX,l()Rl ,m()Rm,iRl且liifix()mjjc lc ogj(x,j)|jjx()liiiB,()mjjs u pjjgjx,j()()设xF,iiliimjj,i,l,jjliimjj,j,m,可得liimjj,且在()()式中用i,j替换i,j依然成立又因为xF,所以js u pjjgjx,j(),j,m结合()式可得js u pjjgjx,j()因此,在x处满足问题(UMP)的鲁棒最优性必要条件和C Q条件,则类似于定理可得证下面用一个例子结束本节,即借助对偶问题(DUMP)验证问题(UMP)的鲁棒拟弱有效解例设fi:RR,i,f(x)x,f(x)x,x R考虑问题(UMP),其约束函数gj:Rj R(j,)为g(x,)x,g(x,)x,xR,其中(,R下面考虑对偶鲁棒优化问题(DUMP),其可行集为FD(z,)RRRiifi(z)jjc lc ogj(z,j)jj(z)iiiB,jjs u pjjgjz,j(),其中jz()jgjz,()Gjz()因FxRgjx,j(),jjx(),故取xF因此x(),x(),fx(),fx(),gx,()x(),gx,()x(),取(,),(,)B,BR,(,),可得x,()FD 此外,因函数f,g()在x处具有广义凸性,根据定理可知x是(UMP)的鲁棒拟弱有效解 W o l f e型对偶性本节的思路类似于 节,主要研究W o l f e型对偶问题与原问题之间的弱、强及逆对偶性质对于不确定多目标优化问题(UMP),其相应的W o l f e型对偶问题为(D UM P)m a xz,f(z),s t li ifiz()mj jc lc ogjz,j()jjz()liiiB,其中f(z)f(z)mjjg z,j()其可行集为FD(z,)XRlRmliifi(z)mjjc lc ogj(z,j)jj(z)liiiB定义设Rl,(z,)FD 若对任意(z,)FD,有宁夏大学学报(自然科学版)第 卷f(z)f(z)zzi n tRl,则称z是问题(DUMP)的鲁棒拟弱有效解定理(弱对偶)设Rl,xF,z,()FD 若函数f,g()在点z具有广义凸性,则f x()f z()xzi n tRl证明因为z,()FD,所以存在i,i,l,j,j,m,ifiz(),bB,jc lc ogjz,j()jjx(),使得liiimjjjliiib()假设f(x)f(z)xzi n tRl,则liifi(x)fi(z)ixzmjjgjz,j()()对固定的j,m,类似于定理的证明方法,可得sttt又由函数g在z处的广义凸性知,对任意vX,有,vsttt,vsttgjx,t()gjz,t()又因xF,故gjx,t()因此,对于任意,有,vsttgjz,t()对上式相对于取极限得j,vgjz,j()结合()式和函数f的广义凸性得liii,vmjjj,vliiib,vliifi(x)fi(z)ixzmjjgjz,j()与()式矛盾,故假设不成立,定理得证定理(强对偶)设Rl,x是问题(RMP)的拟弱有效解,且在此点处满足假设条件()()及C Q条件,则存在,()Rl()Rm,使得x,()FD 且fx()fx()此外,若函数f,g()在z处 具 有 广 义 凸 性,则x,()是 问 题(DUMP)的鲁棒拟弱有效解证明因x是问题(RMP)的拟弱有效解,且在此点处满足C Q条件及假设条件()(),由引理知,存在i,i,l,lii,j,j,m,iRl,使得liifix()mjjc lc ogjx,j()jjx()liiiB,js u pjjgjx,j(),j,m()从而,设,l(),m(),则(,)(Rl)Rm,从而x,()FD 又因jjx(),故gjx,j()s u pjjgjx,j()因此,由()式知jgjx,j()所以fx()fx()mjjgjx,j()fx()由于函数f,g()在zX处具有广义凸性,根据定理可知,对任意z,()FD,有fx()mjjgjx,j()f z()mjjgjz,j()()f(x)f(z)xz,即f(z)f(x)zxi n tRl故x,()是问题(DUMP)的鲁棒拟弱有效解定理(逆对偶)设Rl,x,()FD 且fx()fx()若xF且函数f,g()在x处具有广义凸性,则x是问题(RMP)的拟弱有效解证明因x,()FD,即存在Rl ,Rm,Rl使得liifix()mjjc lc ogjx,j()jjx()liiiB,又因fx()fx(),即fx()fx()mjjgjx,j()fx(),故mjjgjx,j()又因为jjx(),所以gjx,j()s u pjjgjx,j()又因为xF,对任意j,有js u pjjgjx,j(),j,m故js u pjjgjx,j()因此,在x处满足问题(UMP)的鲁棒最优性必要条第期李梦恩等:不确定多目标优化问题鲁棒拟弱有效解的最优性和对偶性件和C Q条件,类似于定理的证明可得定理结语本文主要对约束中带有不确定信息的非光滑多目标规划问题进行了研究首先,建立了鲁棒拟弱有效解的 充分性条 件;其 次,在M o n dW e i r型 和W o l f e型对偶问题下,分别给出了原问题与个对偶问题之间的对偶关系这些结论不但丰富了多目标优化问题的理论,而且为求解算法提供了理论依据参考文献:张建科广义凸不确定规划的最优性与对偶性D西安:西安电子科技大学,CHUON GTD,K I M DSA p p r o x i m a t es o l u t i o n so fm u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o np r o b l e m sJ P o s i t i v i t y,():CHUON GTD,K I M DS O p t i m a l i t yc o n d i t i o n sa n dd u a l i t y i n n o n s m o o t h m u l t i o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o np r o b l e m sJ A n n a l so fO p e r a t i o n s R e s e a r c h,():B O K R AN T ZR,F R E D R I K S S ON AN e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r P a r e t o e f f i c i e n c yi nr o b u s tm u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o nJE u r o p e a nJ o u r n a lo fO p e r a t i o n a lR e s e a r c h,():F AKHA R M,MAHYA R I N I A M R,Z A F A R AN IJ O nn o n s m o o t hr o b u s tm u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o nu n d e rg e n e r a l i z e dc o n v e x i t yw i t ha p p l i c a t i o n st op o r t f o l i oo p t i m i z a t i o nJE u r o p e a nJ o u r n a lo fO p e r a t i o n a lR e s e a r c h,():赵丹,孙祥凯非凸多目标优化模型的一类鲁棒逼近最优性条件J应用数学和力学,():S UN X i a n g k a i,TE O K L,TANG L i p i n gD u a la p p r o a c h e s t oc h a r a c t e r i z er o b u s to p t i m a l s o l u t i o ns e t sf o r ac l a s so f u n c e r t a i no p t i m i z a t i o np r o b l e m sJ J o u r n a lo fO p t i m i z a t i o n T h e o r ya n d A p p l i c a t i o n s,:周俊屹,郑霜鲁棒多目标优化问题的最优性和对偶性J重庆工商大学学报(自然科学版),():CHUONG T DO p t i m a l i t ya n dd u a l i t yf o rr o b u s tm u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o n p r o b l e m sJ N o n l i n e a rA n a l y s i s,:CHE NJ,K O B I SE,YAOJC O p t i m a l i t yc o n d i t i o n sa n d d u a l i t yf o rr o b u s t n o n s m o o t h m u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o np r o b l e m sw i t hc o n s t r a i n t sJ J o u r n a lo fO p t i m i z a t i o nT h e o r ya n dA p p l i c a t i o n s,():HONGZ h e,B A E K D,K I M DS M i n i m a xp r o g r a mm i n ga sat o o lf o rs t u d y i n gr o b u s tm u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o np r o b l e m sJ A n n a l so fO p e r a t i o n sR e s e a r c h,():L E EJH,L E EG MO no p t i m a l i t yc o n d i t i o n sa n dd u a l i t yt h e o r e m sf o rr o b u s ts e m i i n f i n i t em u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o np r o b l e m sJA n n a l so fO p e r a t i o n sR e s e a r c h,():AHMA DI,KAUR A,S HA RMA M KR o b u s ts u f f i c i e n to p t i m a l i t yc o n d i t i o n sa n dd u a l i t yi ns e m i i n f i n i t em u l t i o b j e c t i v ep r o g r a mm i n gw i t hd a t eu n c e r t a i n t yJ A c t a M a t h e m a t i c a U n i v e r s i t a t i s C o m e n i a n a e,():F AKHA RM,MAHYA R I N I A MR,Z A F A R AN I J O n a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s f o r n o n s m o o t h r o b u s tm u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o np r o b l e m sJ O p t i m i z a t i o n,():S AA D A T IM,MO R T E Z AOO p t i m a l i t yc o n d i t i o n sf o rr o b u s tn o n s m o o t h m u l t i o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o np r o b l e m s i nA s p l u n ds p a c e sJ B u l l e t i no ft h eB e l g i a nM a t h e m a t i c a l S o c i e t y S i m o nS t e v i n,():CHUONG T DR o b u s to p t i m a l i t ya n dd u a l i t yi nm u l t i o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s u n d e r d a t eu n c e r t a i n t yJ S I AMJ o u r n a lo nO p t i m i z a t i o n,():畅泽芳,余国林不确定多目标优化鲁棒真有效解的最优性与对偶J应用数学,():龚田甜非光滑多目标规划鲁棒解的最优性条件和鞍点定理D银川:北方民族大学,S UNX i a n g k a i,T E O KL,L ON GX i a n j u n C h a r a c t e r i z a t i o n so f r o b u s t q u a s i o p t i m a l s o l u t i o n s f o rn o n s m o o t h o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s w i t h u n c e r t a i n d a t eJ O p t i m i z a t i o n,():邓光菊不确定多目标优化问题近似鲁棒解的最优性条件与对偶性D成都:西南大学,莫晓庆,孙祥凯一类不确定半无限多目标优化问题的鲁棒逼 近 最 优 性 J吉 林 大 学 学 报(理 学 版),():S UN X i a n g k a i,T E O K L,L ON G X i a n j u n S o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so fa p p r o x i m a t es o l u t i o n sf o rr o b u s ts e m i i n f i n i t eo p t i m i z a t i o n p r o b l e m sJ J o u r n a lo fO p t i m i z a t i o nT h e o r ya n dA p p l i c a t i o n s,():莫尔杜霍维奇(MO R D UKHOV I CH BS)变分分析与广义微分I:基础理论M赵亚莉,王炳武,钱伟懿,译北京:科学出版社,:李梦恩,韩有攀鲁棒多目标优化问题拟弱有效解的最优性 条 件 J延 边 大 学 学 报(自 然 科 学 版),():(下转第 页)宁夏大学学报(自然科学版)第 卷S t a t i o n a r yM e a s u r eo fT w o p h a s eT h r e e s t a t eQ u a n t u m W a l kG u oT i n g,S o n gY a n h u i(L a n z h o uC o l l e g eo f I n f o r m a t i o nS c i e n c ea n dT e c h n o l o g y,L a n z h o u ,C h i n a)A b s t r a c t:T h e t w o p h a s em o d e l o f s p a t i a l i n h o m o g e n e o u s t h r e e s t a t eq u a n t u mw a l ko na s t r a i g h t l i n e a n das p e c i a lk i n do ft h r e e s t a t eq u a n t u m w a l ka r es t u d i e db ym e a n so ft r a n s f e rm a t r i xm e t h o d B a s e do nt h ec o r r e s p o n d i n ge i g e n v a l u ep r o b l e ma n dt h e i n i t i a l s t a t e,t h es t a t i o n a r ym e a s u r eo f t h em o d e lu n d e rg e n e r a lc o n d i t i o n s i sc a l c u l a t e d K e yw o r d s:t h r e e s t a t eq u a n t u mw a l k;s t a t i o n a r ym e a s u r e;t r a n s f e rm a t r i x;e i g e n v a l u e;t w o p h a s em o d e l附录:Ty()()(),Ty()()()(责任编辑张娣)(上接第 页)O p t i m a l i t ya n dD u a l i t yo fR o b u s t Q u a s i W e a kE f f e c t i v eS o l u t i o n s f o rU n c e r t a i nM u l t i o b j e c t i v eO p t i m i z a t i o nP r o b l e mL iM e n ge n,H a nY o u p a n(S c h o o l o fS c i e n c e,X ia nP o l y t e c h n i cU n i v e r s i t y,X ia n ,C h i n a)A b s t r a c t:A m u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o np r o b l e m sw i t hu n c e r t a i nf a c t o r s i sc o n s i d e r e di nt h i sp a p e r F o rr o b u s t q u a s i w e a ke f f e c t i v es o l u t i o n so f t h eo p t i m i z a t i o np r o b l e m,s u f f i c i e n t c o n d i t i o n sa r eg i v e n T h e n,t h ec o r r e s p o n d i n g M o n d W e i ra n d W o l f et y p ed u a lm o d e l sa r ee s t a b l i s h e d,m o r e o v e r,t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eo r i g i n a lp r o b l e ma n dt w ot y p e so fd u a lp r o b l e m sa r ed i s c u s s e d F i n a l l y,t h ec o r r e s p o n d i n gw e a k,s t r o n g,a n d i n v e r s ed u a l i t yc o n c l u s i o n sa r eo b t a i n e d,r e s p e c t i v e l y K e yw o r d s:m u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o n;q u a s i w e a ke f f e c t i v es o l u t i o n;d u a l;g e n e r a l i z e dc o n v e x i t y(责任编辑张娣)