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人教版第六章 实数单元 易错题难题提高题检测试卷

一、选择题
1．一列数， ， ，…… ，其中=﹣1， =， =，……， =，则×××…×=（　　）
A．1 B．-1 C．2017 D．-2017
2．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，把记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”，关于除方，下列说法错误的是（ ）
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．对于任何正整数，
C．
D．负数的圈奇次方结果是负数，负数的圈偶次方结果是正数.
3．我们规定一种运算“★”，其意义为a★b＝a2﹣ab，如2★3＝22﹣2×3＝﹣2．若实数x满足（x+2）★（x﹣3）＝5，则x的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
4．若|x-2|+=0，则xy的值为（　　）
A．8 B．2 C．-6 D．±2
5．已知|x|＝2，y2＝9，且xy＜0，则x+y的值为（　　）
A．1或﹣1 B．-5或5 C．11或7 D．-11或﹣7
6．估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．给出下列说法：①﹣0.064的立方根是±0.4；②﹣9的平方根是±3；③＝﹣；④0.01的立方根是0.00001，其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．的平方根是（　　）
A． B． C．±2 D．2
9．下列说法不正确的是（　　）
A．的平方根是±3
B．是的平方根
C．带根号的数不一定是无理数
D．a2的算术平方根是a
10．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若已知+（y+2）2=0，则(x+y)2019等于_____．
12．数轴上表示1、的点分别为A、B，点A是BC的中点，则点C所表示的数是____．

13．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值__________．
14．用表示一种运算，它的含义是：，如果，那么
__________．
15．任何实数a，可用[a]表示不大于a的最大整数，如[4]=4，，现对72进行如下操作：72→=8→→=1，类似地：
（1）对64只需进行________次操作后变为1；
（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．
16．对任意两个实数a，b定义新运算：a⊕b=，并且定义新运算程序仍然是先做括号内的，那么（⊕2）⊕3=___．
17．49的平方根是________,算术平方根是______,-8的立方根是_____.
18．如果，是的整数部分，那么_______．
19．若x，y为实数，且，则(x+y) 2012的值为____________．
20．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为7，我们发现第1次输出的结果为10，第2次输出的结果为5，……，第2019次输出的结果为_____．

三、解答题
21．观察下列等式：，， ，
将以上三个等式两边分别相加得：=
（1）猜想并写出： =　　．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①=　　；
②=　　；
（3）探究并计算：．
22．化简求值：
已知是的整数部分，，求的平方根．
已知：实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．

23．规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)：如果，那么(a，b)=c．
例如：因为23=8，所以(2，8)=3．
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）=_______，（5，1）=_______，（2， ）=_______．
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）=（3，4）小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）=x，则（3n）x=4n，即（3x）n=4n
所以3x=4，即（3，4）=x，
所以（3n，4n）=（3，4）．
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由：(4，5)+(4，6)=(4，30)
24．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与　　　　　　表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与数　　　　　　表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是__________________；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.

25．你会求（a﹣1）（a2012+a2011+a2010+…+a2+a+1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：
，
，
，
（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a﹣1）（a2014+a2013+a2012+…+a2+a+1）＝　 　
利用上面的结论，求：
（2）22014+22013+22012+…+22+2+1的值是　 　．
（3）求52014+52013+52012+…+52+5+1的值．
26．阅读下面的文字,解答问题:大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部写出来,而＜2于是可用来表示的小数部分.请解答下列问题：
(1)的整数部分是_______，小数部分是_________；
(2)如果的小数部分为的整数部分为求的值；
(3)已知:其中是整数,且求的平方根。

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一、选择题

1．B
解析：B
【解析】
因为=﹣1,所以=,=,=,通过观察可得:,,,……的值按照﹣1,,三个数值为一周期循环,将2017除以3可得372余1,所以的值是第273个周期中第一个数值﹣1,因为每个周期三个数值的乘积为:
,所以×××…×=故选B.
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据定义依次计算判定即可．
【详解】
解：A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；  所以选项A正确；
B、=； 所以选项B正确；
C、=3÷3÷3÷3=，=4÷4÷4÷4=，，则  ≠； 所以选项C错误；
D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；
故选：C．
【点睛】
本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．
3．B
解析：B
【分析】
根据a★b=a2ab可得（x+2）★（x3）=（x+2）2（x+2）（x3），进而可得方程：（x+2）2（x+2）（x3）=5，再解方程即可．
【详解】
解：由题意得：（x+2）2（x+2）（x3）=5，
x2+4x+4（x2x6）=5，
x2+4x+4x2+x+6=5，
5x=5，
解得：x=1，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，以及解方程，关键是正确理解所给条件a★b=a2ab所表示的意义．
4．C
解析：C
【分析】
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】
根据题意得：，
解得：，
则xy=-6．
故选：C．
【点睛】
此题考查绝对值和偶次方非负数的性质，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
5．A
解析：A
【分析】
根据题意，利用平方根定义，绝对值的代数意义，以及有理数的乘法法则判断确定出x与y的值即可．
【详解】
解：∵|x|＝2，y2＝9，且xy＜0，
∴x=2或-2，y=3或-3，
当x=2，y=-3时，x+y=2-3=-1；
当x=-2，y=3时，原式=-2+3=1，
故选：A．
【点睛】
此题考查了有理数的乘方，绝对值，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．D
解析：D
【分析】
用平方法进行比较，看27在哪两个整数平方之间即可.
【详解】
∵，
∴5＜＜6
故选：D
【点睛】
本题考查比较二次根式的大小，常见方法有2种：
（1）将数字平方，转化为不含二次根号的数字比较；
（2）将数字都转化到二次根式中，然后进行比较.
7．A
解析：A
【分析】
利用平方根和立方根的定义解答即可．
【详解】
①﹣0.064的立方根是﹣0.4，故原说法错误；
②﹣9没有平方根，故原说法错误；
③＝﹣，故原说法正确；
④0.000001的立方根是0.01，故原说法错误，
其中正确的个数是1个，
故选：A．
【点睛】
此题考查平方根和立方根的定义，熟记定义是解题的关键.
8．B
解析：B
【分析】
首先根据算术平方根的性质化简，再根据平方根的定义即可求出结果．
【详解】
∵＝2，
∴的平方根是±．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平方根的定义和性质，解决本题的关键是先求得的值．
9．D
解析：D
【分析】
根据平方根的定义，判断A与B的正误，根据无理数的定义判断C的正误，根据算术平方根的定义判断D的正误．
【详解】
解：的平方根是：±3，故A正确；
，则是的平方根，故B正确；
是有理数，则带根号的数不一定是无理数，故C正确；
∵a2的算术平方根是|a|，
∴当a≥0，算术平方根为a，当a＜0时，算术平方是﹣a，
故a2的算术平方根是a不正确．故D不一定正确；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平方根，算术平方根，无理数的定义，熟记几个定义是解题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
根据平方根及立方根的定义逐一判断即可得答案．
【详解】
A.=3，故该选项运算错误，
B.，故该选项运算正确，
C.，故该选项运算错误，
D.，故该选项运算错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查平方根、算术平方根及立方根，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；其中正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个数的立方根只有一个．
二、填空题

11．-1
【分析】
根据非负数的性质先求出x与y，然后代入求解即可.
【详解】
解：∵+（y+2）2=0
∴

∴(x+y)2019=-1
故答案为：-1.
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，熟
解析：-1
【分析】
根据非负数的性质先求出x与y，然后代入求解即可.
【详解】
解：∵+（y+2）2=0
∴

∴(x+y)2019=-1
故答案为：-1.
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，熟练掌握性质，并求出x与y是解题的关键.
12．【分析】
设点C表示的数是x，再根据中点坐标公式即可得出x的值．
【详解】
解：设点C表示的数是x，
∵数轴上1、的点分别表示A、B，且点A是BC的中点，
根据中点坐标公式可得：，解得：，
故答案
解析：
【分析】
设点C表示的数是x，再根据中点坐标公式即可得出x的值．
【详解】
解：设点C表示的数是x，
∵数轴上1、的点分别表示A、B，且点A是BC的中点，
根据中点坐标公式可得：，解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上的点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．
13．351
【分析】
先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．
【详解】
=1
=3
=6
=10
发现规律：1+2+3+
∴1+2+3=351
故答案为：351
【点
解析：351
【分析】
先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．
【详解】
=1
=3
=6
=10
发现规律：1+2+3+
∴1+2+3=351
故答案为：351
【点睛】
本题考查找规律，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．
14．【分析】
按照新定义的运算法先求出x，然后再进行计算即可.
【详解】
解：由
解得：x=8

故答案为.
【点睛】
本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x的
解析：
【分析】
按照新定义的运算法先求出x，然后再进行计算即可.
【详解】
解：由
解得：x=8

故答案为.
【点睛】
本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x的值.
15．255
【分析】
（1）根据题意的操作过程可直接进行求解；
（2）根据题意可得最后取整为1，得出前面的一个数最大是3，再向前推一步取整的最大整数为15，依此可得出答案．
【详解】
解：（1）
解析：255
【分析】
（1）根据题意的操作过程可直接进行求解；
（2）根据题意可得最后取整为1，得出前面的一个数最大是3，再向前推一步取整的最大整数为15，依此可得出答案．
【详解】
解：（1）由题意得：
64→=8→→=1，
∴对64只需进行3次操作后变为1，
故答案为3；
（2）与上面过程类似，有256→=16→→=2→，对256只需进行4次操作即变为1，类似的有255→=15→→=1，即只需进行3次操作即变为1，故最大的正整数为255；
故答案为255．
【点睛】
本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
16．【分析】
根据“⊕”的含义，以及实数的运算方法，求出算式的值是多少即可．
【详解】
(⊕2)⊕3=⊕3=3，
故答案为3．
【点睛】
本题考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关
解析：【分析】
根据“⊕”的含义，以及实数的运算方法，求出算式的值是多少即可．
【详解】
(⊕2)⊕3=⊕3=3，
故答案为3．
【点睛】
本题考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
17．±7 7 -2
【解析】
试题解析：∵（±7）2=49，
∴49的平方根是±7，算术平方根是7；
∵（-2）3=-8，
∴-8的立方根是-2.
解析：±7 7 -2
【解析】
试题解析：∵（±7）2=49，
∴49的平方根是±7，算术平方根是7；
∵（-2）3=-8，
∴-8的立方根是-2.
18．12
【分析】
先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．
【详解】

，即
的整数部分是2，即
则
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根的
解析：12
【分析】
先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．
【详解】

，即
的整数部分是2，即
则
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b的值是解题关键．
19．1
【分析】
先根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出x、y的值，再代入计算有理数的乘方即可．
【详解】
由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：
解得
则
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了
解析：1
【分析】
先根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出x、y的值，再代入计算有理数的乘方即可．
【详解】
由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：
解得
则
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了绝对值的非负性、算术平方根的非负性、有理数的乘方运算，利用绝对值的非负性、算术平方根的非负性求解是常考知识点，需重点掌握．
20．1
【分析】
分别求出第1次到第7次的输出结果，发现从第4次输出的结果开始，每三次结果开始循环一次，则可确定第2019次输出的结果与第6次输出的结果相同．
【详解】
解：x=7时，第1次输出的结果为
解析：1
【分析】
分别求出第1次到第7次的输出结果，发现从第4次输出的结果开始，每三次结果开始循环一次，则可确定第2019次输出的结果与第6次输出的结果相同．
【详解】
解：x=7时，第1次输出的结果为10，
x=10时，第2次输出的结果为，
x=5时，第3次输出的结果为5+3=8，
x=8时，第4次输出的结果为，
x=4时，第5次输出的结果为，
x=2时，第6次输出的结果为，
x=1时，第7次输出的结果为1+3=4，……，
由此发现，从第4次输出的结果开始，每三次结果开始循环一次，
∵(2019﹣3)÷3=672，
∴第2019次输出的结果与第6次输出的结果相同，
∴第2019次输出的结果为1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了程序框图和与实数运算相关的规律题；根据题意，求出一部分输出结果，从而发现结果的循环规律是解题的关键．
三、解答题

21．（1）；（2）①；②；（3）.
【分析】
（1）观察所给的算式可得：分子为1，分母为两个相邻整数的分数可化为这两个整数的倒数之差，由此即可解答；（2）根据所得的规律把各分数进行转化，再进行分数的加减运算即可解答；（3）先提取，类比（2）的运算方法解答即可．
【详解】
（1） =；
（2）①=+…+==；
②=+…+==；
（3）
=（），
=（+…+），
=（），
=×
=.
【点睛】
本题考查了有理数的运算，根据题意找出规律是解决问题的关键.
22．（1）±3；（2）2a+b﹣1.
【解析】
分析：（1）由于3＜＜4，由此可得的整数部分a的值；由于=3，根据算术平方根的定义可求b，再代入计算，进一步求得平方根．
（2）利用数轴得出各项符号，进而利用二次根式和绝对值的性质化简求出即可．
详解：（1）∵3＜＜4，∴a=3．
∵=3，∴b=9，∴==9，∴的平方根是±3；
（2）由数轴可得：﹣1＜a＜0＜1＜b，则a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，则+2﹣|a﹣b|
=a+1+2（b﹣1）+（a﹣b）
=a+1+2b﹣2+a﹣b
=2a+b﹣1．
点睛：本题考查了算术平方根与平方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键．
23．（1）3，0，-2 (2) (4，30)
【解析】
分析：（1）根据阅读材料，应用规定的运算方式计算即可；
（2）应用规定和同底数幂相乘的性质逆用变形计算即可.
详解：（1）∵33=27
∴（3，27）=3
∵50=1
∴（5，1）=1
∵2-2=
∴（2，）=-2
（2）设（4，5）=x，（4，6）=y
则，=6
∴
∴（4，30）=x+y
∴(4，5)+(4，6)=(4，30)
点睛：此题是一个规定计算的应用型的题目，关键是灵活应用规定的关系式计算，熟练记忆幂的相关性质.
24．（1）2 (2)①②-5，3（3）
【分析】
（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出-2与2重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为-1，
①设表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；
②因为AB=8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为-1，由此得出A、B两点表示的数；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，所以设AB=a，BC=a，CD=2a，得a+a+2a=9，a=，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值．
【详解】
操作一，
（1）∵表示的点1与-1表示的点重合，
∴折痕为原点O，
 则-2表示的点与2表示的点重合，
操作二：
（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与-3表示的点重合，
则折痕表示的点为-1，
 ①设表示的点与数a表示的点重合，
则-（-1）=-1-a，
a=-2-；
②∵数轴上A、B两点之间距离为8，
∴数轴上A、B两点到折痕-1的距离为4，
∵A在B的左侧，
则A、B两点表示的数分别是-5和3；
操作三：
（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，

设AB=a，BC=a，CD=2a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=，CD=，
x=-1++=，
如图2，当AB：BC：CD=1：2：1时，

设AB=a，BC=2a，CD=a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=，CD=，
x=-1++=，
如图3，当AB：BC：CD=2：1：1时，

设AB=2a，BC=a，CD=a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=CD=，
x=-1++=，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或．
25．（1）a2015﹣1；（2）22015﹣1；（3）．
【分析】
（1）根据已知算式得出规律，即可得出答案．
（2）先变形，再根据规律得出答案即可．
（3）先变形，再根据规律得出答案即可．
【详解】
（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，（a﹣1）（a2012+a2011+a2010+…+a2+a+1）＝a2015﹣1，
故答案为：a2015﹣1；
（2）22014+22013+22012+…+22+2+1
＝（2﹣1）×（22014+22013+22012+…+22+2+1）
＝22015﹣1，
故答案为：22015﹣1；
（3）52014+52013+52012+…+52+5+1
＝×（5﹣1）×（52014+52013+52012+…+52+5+1）
＝．
【点睛】
本题考查了实数运算的规律题，掌握算式的规律是解题的关键．
26．(1) 4，-4；(2)1;(2) ±12．
【解析】
【分析】
（1）先估算出的范围，即可得出答案；
（2）先估算出、的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；
（3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．
【详解】
解：（1）∵4＜＜5，
∴的整数部分是4，小数部分是-4，
故答案为：4，-4；
（2）∵2＜＜3，
∴a=-2，
∵3＜＜4，
∴b=3，
∴a+b-=-2+3-=1；
（3）∵100＜110＜121，
∴10＜＜11，
∴110＜100+＜111，
∵100+=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x=110，y=100+-110=-10，
∴x++24-y=110++24-+10=144，
x++24-y的平方根是±12．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，能估算出、、、的范围是解此题的关键．