深圳深圳中学初一数学压轴题专题.doc

深圳深圳中学初一数学压轴题专题

一、七年级上册数学压轴题
1．已知，OC为内部的一条射线，．

（1）如图1，若OE平分，OD为内部的一条射线，，求的度数；
（2）如图2，若射线OE绕着O点从OA开始以15度/秒的速度顺时针旋转至OB结束、OF绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转至OA结束，运动时间t秒，当时，求t的值．
答案：（1）35°；（2）3s或7.5s或24s
【分析】
（1）根据∠EOD=∠EOB-∠DOB，只要求出∠EOB，∠DOB即可；
（2）分三种情形列出方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵∠AOB
解析：（1）35°；（2）3s或7.5s或24s
【分析】
（1）根据∠EOD=∠EOB-∠DOB，只要求出∠EOB，∠DOB即可；
（2）分三种情形列出方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵∠AOB=150°，OE平分∠AOB，
∴∠EOB=∠AOB=75°，
∵∠BOC=60°，∠COD=∠BOD，
∴∠BOD=40°，∠COD=20°，
∴∠EOD=∠EOB-∠DOB=75°-40°=35°．
（2）当OE在∠AOC内部时，∵∠EOC=∠FOC，
∴90-15t=60-5t，
解得：t=3．
当OE与OF重合时，15t+5t=150，
解得：t=7.5．
当OE与OB重合时，OF仍在运动，此时∠EOC=60°，
此时OF在∠AOC内部，且∠FOC=60°，
∴t==24，
综上所述，当∠EOC=∠FOC时，t=3s或7.5s或24s．
【点睛】
本题考查角的计算、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握角的和差定义，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，且多项式的二次项系数为a，常数项为b．
（1）线段AB的长= ；
（2）如图，点P，Q分别从点A，B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒4个单位长度，当BQ＝2BP时，点P对应的数是多少？
（3）在（2）的条件下，点M从原点与点P，Q同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度（），若在运动过程中，2MP－MQ的值与运动的时间t无关，求x的值．

答案：（1）36；（2）6；（3）
【分析】
（1）根据多项式求出a，b的值，然后计算即可；
（2）设运动时间为ts，根据题意列出方程，解方程即可，然后即可求出点P所对应的数；
（3）首先根据题意得出2M
解析：（1）36；（2）6；（3）
【分析】
（1）根据多项式求出a，b的值，然后计算即可；
（2）设运动时间为ts，根据题意列出方程，解方程即可，然后即可求出点P所对应的数；
（3）首先根据题意得出2MP−MQ，然后根据2MP－MQ的值与运动的时间t无关求解即可．
【详解】
（1）∵多项式的二次项系数为a，常数项为b，
，
；
（2）设运动的时间为ts，由BQ=2BP得：
4t=2(36−2t)，
解得：t=9，
因此，点P所表示的数为：2×9−12=6，
答：点P所对应的数是6．
（3）由题意得：点P所表示的数为(−12+2t)，点M所表示的数为xt，点Q所表示的数为(24+4t)，
∴2MP−MQ=2[xt−(−12+2t)]−(24+4t−xt)=3xt−8t=(3x−8)t，
∵结果与t无关，
∴3x−8=0，
解得：x=．
【点睛】
本题主要考查数轴与一元一次方程的结合，数形结合是解题的关键．
3．在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动（n为正整数）个单位得到点C，点A，B，C分别表示有理数a，b，c；
（1）当时，
①点A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，a，b，c三个数的乘积为正数，数轴上原点的位置可能（ ）
A．在点A左侧或在A，B两点之间 B．在点C右侧或在A，B两点之间
C．在点A左侧或在B，C两点之间 D．在点C右侧或在B，C两点之间
②若这三个数的和与其中的一个数相等，求a的值；
（2）将点C向右移动个单位得到点D，点D表示有理数d，若a、b、c、d四个数的积为正数，这四个数的和与其中的两个数的和相等，且a为整数，请写出n与a的关系式．

答案：（1）①C；②-2或或；（2）当为奇数时，，当为偶数时，
【分析】
（1）把代入即可得出，，再根据、、三个数的乘积为正数即可选择出答案；
（2）分两种情况讨论：当为奇数时；当为偶数时；用含的代数式表
解析：（1）①C；②-2或或；（2）当为奇数时，，当为偶数时，
【分析】
（1）把代入即可得出，，再根据、、三个数的乘积为正数即可选择出答案；
（2）分两种情况讨论：当为奇数时；当为偶数时；用含的代数式表示即可．
【详解】
解：（1）①把代入即可得出，，
、、三个数的乘积为正数，
从而可得出在点左侧或在、两点之间．
故选；
②，，
当时，，
当时，，
当时，；
（2）依据题意得，，，．
、、、四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，
或．
或；
为整数，
当为奇数时，，当为偶数时，．
【点睛】
本题考查了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
4．如图，图中数轴的单位长度为1，请回答下列问题：
（1）如果点A，B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是_______，在此基础上，在数轴上与点C的距离是3个单位长度的点表示的数是__________
（2）如果点D，B表示的数是互为相反数，那么点E表示的数是_______
（3）在第（1）问的基础上解答：若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点B的方向匀速运动；同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A的方向匀速运动．则两个点相遇时点P所表示的数是多少？

答案：（1）-1；-4或2；（2）；（3）-1
【分析】
（1）由的长度结合点，表示的数是互为相反数，即可得出点，表示的数，由且点在点的右边可得出点表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式可求出在数轴上与点
解析：（1）-1；-4或2；（2）；（3）-1
【分析】
（1）由的长度结合点，表示的数是互为相反数，即可得出点，表示的数，由且点在点的右边可得出点表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式可求出在数轴上与点的距离是3个单位长度的点表示的数；
（2）由的长度结合点，表示的数是互为相反数，即可得出点表示的数，由且点在点的右边可得出点表示的数；
（3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，由点，相遇可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可得出两个点相遇时点所表示的数．
【详解】
解：（1），且点，表示的数是互为相反数，
点表示的数为，点表示的数为3，
点表示的数为．
，，
在数轴上与点的距离是3个单位长度的点表示的数是或2．
故答案为：；或2．
（2），且点，表示的数是互为相反数，
点表示的数为，
点表示的数为．
故答案为：．
（3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，
，
，
．
答：两个点相遇时点所表示的数是．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及相反数，解题的关键是：（1）由线段的长度结合点，表示的数互为相反数，找出点表示的数；（2）由线段的长度结合点，表示的数互为相反数，找出点表示的数；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
5．已知多项式，次数是b，4a与b互为相反数，在数轴上，点A表示a，点B表示数b．

(1)a= ，b= ；
(2)若小蚂蚁甲从点A处以3个单位长度/秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以4个单位长度/秒的速度也向左运动，丙同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t．(写出解答过程)
(3)若小蚂蚁甲和乙约好分别从A，B两点，分别沿数轴甲向左，乙向右以相同的速度爬行，经过一段时间原路返回，刚好在16s时一起重新回到原出发点A和B，设小蚂蚁们出发t(s)时的速度为v(mm/s)，v与t之间的关系如下图，(其中s表示时间单位秒，mm表示路程单位毫米)
t（s）
0＜t≤2
2＜t≤5
5＜t≤16
v（mm/s）
10
16
8
①当t为1时，小蚂蚁甲与乙之间的距离是 ．
②当2＜t≤5时，小蚂蚁甲与乙之间的距离是 ．(用含有t的代数式表示)
答案：（1）-2，8；（2）秒或10秒；（3）①30mm；②32t-14
【分析】
（1）根据多项式的次数的定义可得b值，再由相反数的定义可得a值；
（2）分两种情况讨论：①甲乙两小蚂蚁均向左运动，即0≤
解析：（1）-2，8；（2）秒或10秒；（3）①30mm；②32t-14
【分析】
（1）根据多项式的次数的定义可得b值，再由相反数的定义可得a值；
（2）分两种情况讨论：①甲乙两小蚂蚁均向左运动，即0≤t≤2时，此时OA=2+3t，OB=8-4t；②甲向左运动，乙向右运动，即t＞2时，此时OA=2+3t，OB=4t-8；
（3）①令t=1，根据题意列出算式计算即可；
②先得出小蚂蚁甲和乙爬行的路程及各自爬行的返程的路程，则可求得小蚂蚁甲与乙之间的距离．
【详解】
解：（1）∵多项式4x6y2-3x2y-x-7，次数是b，
∴b=8；
∵4a与b互为相反数，
∴4a+8=0，
∴a=-2．
故答案为：-2，8；
（2）分两种情况讨论：
①甲乙两小蚂蚁均向左运动，即0≤t≤2时，此时OA=2+3t，OB=8-4t；
∵OA=OB，
∴2+3t=8-4t，
解得：t=；
②甲向左运动，乙向右运动，即t＞2时，此时OA=2+3t，OB=4t-8；
∵OA=OB，
∴2+3t=4t-8，
解得：t=10；
∴甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t为秒或10秒；
（3）①当t为1时，
小蚂蚁甲与乙之间的距离是：8+10×1-（-2-10×1）=30mm；
②∵小蚂蚁甲和乙同时出发以相同的速度爬行，
∴小蚂蚁甲和乙爬行的路程是相同的，各自爬行的总路程都等于：
10×2+16×3+8×11=156（mm），
∵原路返回，刚好在16s时一起重新回到原出发点A和B，
∴小蚂蚁甲和乙返程的路程都等于78mm，
∴甲乙之间的距离为：8-（-2）+10×2×2+16×（t-2）×2=32t-14．
故答案为：32t-14．
【点睛】
本题考查了一元一次方程在数轴上两点之间的距离问题中的应用，具有方程思想并会分类讨论是解题的关键．
6．阅读理解：定义：A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是它到点B的时距离的n（n为大于1的常数）倍，则称点C是（A，B）的n倍点，且当C是（A，B）的n倍点或（B，A）的n倍点时，我们也称C是A和B两点的n倍点．例如，在图1中，点C是（A，B）的2倍点，但点C不是（B，A）的2倍点．

（1）特值尝试．
①若，图1中，点________是（D，C）的2倍点．（填A或B）
②若，如图2，M，N为数轴上两个点，点M表示的数是，点N表示的数是4，数________表示的点是（M，N）的3倍点．
（2）周密思考：
图2中，一动点P从N出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动t秒，若P恰好是M和N两点的n倍点，求所有符合条件的t的值．（用含n的式子表示）
（3）拓展应用：
数轴上两点间的距离不超过30个单位长度时，称这两点处于“可视距离”．若（2）中满足条件的M和N两点的所有n倍点P均处于点N的“可视距离”内，请直接写出n的取值范围．（不必写出解答过程）
答案：（1）①B ；②或7；（2）或或；（3）
【分析】
（1）①直接根据新定义的概念即可得出答案；
②根据新定义的概念列绝对值方程求解即可得出答案；
（2）设点P所表示的数为，再根据新定义的概念列方程求
解析：（1）①B ；②或7；（2）或或；（3）
【分析】
（1）①直接根据新定义的概念即可得出答案；
②根据新定义的概念列绝对值方程求解即可得出答案；
（2）设点P所表示的数为，再根据新定义的概念列方程求解即可；
（3）分，，三种情况分别表示出PN的值，再根据PN的范围列不等式组求解即可．
【详解】
（1）①由数轴可知，
点A表示的数为，点B表示的数为2，
点C表示的数为1，点D表示的数为0，
，，
，
数点A不是【D，C】的2倍点，
，，
，
∴点B是【D，C】的2倍点，
故答案为：B．
②若点C是点【M，N】的3倍点，
，
设点C表示的数为，
，，
，
即或，
解得或，
数或7表示的点是【M，N】的3倍点．
（2）设点P所表示的数为，
点P是M，N两点的倍点，
当点P是【M，N】的n倍点时，
，
，
或，
解得或，
，
，
当点P是【N，M】的n倍点时，，
，，
或，解得或，
符合条件的的值为或或．
（3），
当时，，
当时，，
当时，，
点P均在点N的可视点距离之内，

，解得，
的取值范围是．
【点睛】
本题考查了倍点的概念，解题的关键是掌握倍点的两种不同情况．
7．如图，点、在数轴上分别表示实数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离请你利用数轴回答下列问题：

（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是________，数轴上表示1和的两点之间的距离为________．
（2）数轴上表示和1两点之间的距离为_______，数轴上表示和两点之间的距离为________．
（3）若表示一个实数，且，化简________．
（4）的最小值为________．
（5）的最大值为________．
答案：（1）4，3；（2）|x-1|，|x+3|；（3）8；（4）6；（5）4
【分析】
（1）（2）直接代入公式即可；
（3）实质是在点表示3和-5的点之间取一点，计算该点到点3和-5的距离和；
（4）
解析：（1）4，3；（2）|x-1|，|x+3|；（3）8；（4）6；（5）4
【分析】
（1）（2）直接代入公式即可；
（3）实质是在点表示3和-5的点之间取一点，计算该点到点3和-5的距离和；
（4）可知x对应点在3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|值最小；
（5）分当-1＜x＜3时，当x≤-1时，当x≥3时，三种情况分别化简，从而求出最大值．
【详解】
解：（1）|6-2|=4，|-2-1|=3，
答案为：4，3；
（2）根据两点间距离公式可知：数轴上表示x和1两点之间的距离为|x-1|，
数轴上表示x和-3两点之间的距离为|x+3|，
故答案为：|x-1|，|x+3|；
（3）x对应点在点-5和3之间时的任意一点时|x-3|+|x+5|的值都是8，
故答案为：8；
（4）|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|表示数x到1，2，3，4，5的距离之和，
可知：当x对应点是3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值为6，
故答案为：6；
（5）当-1＜x＜3时，|x+1|-|x-3|=x+1+x-3=2x-2，
-4＜2x-2＜4，
当x≤-1时，|x+1|-|x-3|=-x-1+x-3=-4，
当x≥3时，|x+1|-|x-3|=x+1-x+3=4，
综上：的最大值为4．
【点睛】
此题主要考查了绝对值、数轴等知识，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．
8．同学们，我们在本期教材中曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作．
实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为点表示的数记为，则两点间的距离就可记作．
（学以致用）
（1）数轴上表示1和的两点之间的距离是_______；
（2）数轴上表示与的两点和之间的距离为2，那么为________．
（解决问题）
如图，已知分别为数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是50．

（3）现有一只蚂蚁从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁恰好从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动．
①求两只蚂蚁在数轴上相遇时所用的时间；
②求两只蚂蚁在数轴上距离10个单位长度时的时间．
（数学理解）
（4）数轴上两点对应的数分别为，已知，点从出发向右以每秒3个单位长度的速度运动．表达出秒后之间的距离___________（用含的式子表示）．
答案：（1）；（2）或；（3）①；②或；（4）
【分析】
（1）直接利用两点间的距离公式进行计算即可得到答案；
（2）由数轴上表示与的两点间的距离为，列方程再解方程可得答案；
（3）①由路程除以两只蚂蚁的
解析：（1）；（2）或；（3）①；②或；（4）
【分析】
（1）直接利用两点间的距离公式进行计算即可得到答案；
（2）由数轴上表示与的两点间的距离为，列方程再解方程可得答案；
（3）①由路程除以两只蚂蚁的速度和可得答案；②设后两只蚂蚁在数轴上距离10个单位长度，再分别表示后对应的数为 对应的数为，用含的代数式表示 再列方程，解方程可得答案；
（4）先求解的值，再表示后对应的数为，再利用两点间的距离公式表示之间的距离即可得到答案．
【详解】
解：（1）数轴上表示1和的两点之间的距离是
故答案为：
（2）由题意得：

或
或
故答案为：或
（3）①由题意可得：
所以两只蚂蚁在数轴上相遇时所用的时间为：
②如图，设后两只蚂蚁在数轴上距离10个单位长度，

由题意得：后对应的数为 对应的数为，
，
或，
或，
经检验：或符合题意，
所以当或两只蚂蚁在数轴上距离10个单位长度．
（4） ，
且，

如图，秒后对应的数为：，

故答案为：
【点睛】
本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值方程的应用，非负数的性质，一元一次方程的解法，整式的加减运算，掌握以上知识是解题的关键．
9．如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+（c﹣7）2=0．

（1）a=　　，b=　　，c=　　；
（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数　　表示的点重合；
（3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．则AB=　　，AC=　　，BC=　　．（用含t的代数式表示）
（4）请问：3BC﹣2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
答案：（1）-2， 1，c=7；（2）4；（3）3t+3， 5t+9， 2t+6；（4）不变，3BC﹣2AB=12．
【分析】
（1）利用|a＋2|＋（c−7）2＝0，得a＋2＝0，c−7＝0，解得a，c
解析：（1）-2， 1，c=7；（2）4；（3）3t+3， 5t+9， 2t+6；（4）不变，3BC﹣2AB=12．
【分析】
（1）利用|a＋2|＋（c−7）2＝0，得a＋2＝0，c−7＝0，解得a，c的值，由b是最小的正整数，可得b＝1；
（2）先求出对称点，即可得出结果；
（3）AB原来的长为3，所以AB＝t＋2t＋3＝3t＋3，再由AC＝9，得AC＝t＋4t＋9＝5t＋9，由原来BC＝6，可知BC＝4t−2t＋6＝2t＋6；
（4）由 3BC−2AB＝3（2t＋6）−2（3t＋3）求解即可．
【详解】
（1）∵|a＋2|＋（c−7）2＝0，
∴a＋2＝0，c−7＝0，
解得a＝−2，c＝7，
∵b是最小的正整数，
∴b＝1；
故答案为：−2；1；7．
（2）（7＋2）÷2＝4.5，
对称点为7−4.5＝2.5，
2.5＋（2.5−1）＝4；
故答案为：4．
（3）依题意可得AB＝t＋2t＋3＝3t＋3，AC＝t＋4t＋9＝5t＋9，BC＝2t＋6；
故答案为：3t＋3；5t＋9；2t＋6．
（4）不变．
3BC−2AB＝3（2t＋6）−2（3t＋3）＝12．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用、数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
10．如图，O为直线AB上的一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°），的直角顶点放在O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．
（1）几秒后ON与OC重合？
（2）如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC，求此时t的值．
（3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC平分∠MOB？请画出图并说明理由．

答案：（1）10秒；（2）5秒；（3）秒．
【分析】
（1）用角的度数除以转动速度即可得；
（2）根据∠AOC＝30°、OM恰好平分∠BOC知∠BOM＝75°，进而可知旋转的度数，结合旋转速度可得时间t；
解析：（1）10秒；（2）5秒；（3）秒．
【分析】
（1）用角的度数除以转动速度即可得；
（2）根据∠AOC＝30°、OM恰好平分∠BOC知∠BOM＝75°，进而可知旋转的度数，结合旋转速度可得时间t；
（3）分别根据转动速度关系和OC平分∠MOB画图即可．
【详解】
（1）∵30÷3＝10，
∴10秒后ON与OC重合；
（2）∵∠AON＋∠BOM＝90°，∠COM＝∠MOB，
∵∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝2∠COM＝150°，
∴∠COM＝75°，
∴∠CON＝15°，
∴∠AON＝∠AOC−∠CON＝30°−15°＝15°，
解得：t＝15°÷3°＝5秒；
（3）如图

∵∠AON＋∠BOM＝90°，∠BOC＝∠COM，
∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，
设∠AON为3t，∠AOC为30°＋6t，
∴∠COM为（90°−3t），
∵∠BOM＋∠AON＝90°，
可得：180°−（30°＋6t）＝（90°−3t），
解得：t＝秒．
【点睛】
此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．
11．如图1，在内部作射线，，在左侧，且．

（1）图1中，若平分平分，则______；
（2）如图2，平分，探究与之间的数量关系，并证明；
（3）设，过点O作射线，使为的平分线，再作的角平分线，若，画出相应的图形并求的度数（用含m的式子表示）．
答案：（1）120；（2），见解析；（3）见解析，或
【分析】
（1）根据角平分线的性质得到，再结合已知条件即可得出答案；
（2）根据角平分线的性质与已知条件进行角之间的加减即可证明出结论；
（3）根据角
解析：（1）120；（2），见解析；（3）见解析，或
【分析】
（1）根据角平分线的性质得到，再结合已知条件即可得出答案；
（2）根据角平分线的性质与已知条件进行角之间的加减即可证明出结论；
（3）根据角平分线的性质结合已知条件进行角度之间的加减运算，分类讨论得出结论即可．
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
∴ ，
∵平分平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：120；
（2）．
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）如图1，当在的左侧时，
∵平分，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵为的平分线，
∴．
∴；

如图2，当在的右侧时，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵为的平分线，．
综上所述，的度数为或．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质与角度之间的加减运算，关键在于根据图形分析出各角之间的数量关系．
12．如图①，直线､相交于点O，射线，垂足为点O，过点O作射线使．

（1）将图①中的直线绕点O逆时针旋转至图②，在的内部，当平分时，是否平分，请说明理由；
（2）将图①中的直线绕点O逆时针旋转至图③，在的内部，探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，将图①中的直线绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转度设旋转的时间为t秒，当与互余时，求t的值．
答案：（1）平分，理由见解析；（2），理由见解析；（3）或时，与互余．
【分析】
（1）根据平分线的定义可得，根据，可得，从而得到，所以可得结论；
（2）设为，根据可得，根据可得，从而得到与之间的数量关系
解析：（1）平分，理由见解析；（2），理由见解析；（3）或时，与互余．
【分析】
（1）根据平分线的定义可得，根据，可得，从而得到，所以可得结论；
（2）设为，根据可得，根据可得，从而得到与之间的数量关系；
（3）根据题意可知，因为，所以可得，可求出，根据“直线绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转”可得出，，，，然后分情况进行讨论：①时，②时，③时，，从而得出结果．
【详解】
解：（1）平分，理由如下：

∵且平分
∴
∵
∴
∴
∴
∴
即平分
（2），理由如下：

设为，则
∵
∴
∴
即
（3）∵且
∴
又∵
∴
∴
∵直线绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转
∴

①时，
若与互余，则
解得
②时，
若与互余，则
此时无解
③时，
若与互余，则
解得
综上所述，或时，与互余．
【点睛】
本题考查了角的计算，角平分线有关的计算，余角相关计算．关键是认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系．
13．如图1，在平面内，已知点O在直线上，射线、均在直线的上方，（），，平分，与互余．
（1）若，则________°；
（2）当在内部时
①若，请在图2中补全图形，求的度数；
②判断射线是否平分，并说明理由；
（3）若，请直接写出的值．

答案：（1）；（2）①补全图形见解析；；②OF平分 ，理由见解析；（3）或 ．
【分析】
（1）根据∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE：∠BOE=1：5，再根据∠AOE=∠AOC+∠COE即可求解；
解析：（1）；（2）①补全图形见解析；；②OF平分 ，理由见解析；（3）或 ．
【分析】
（1）根据∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE：∠BOE=1：5，再根据∠AOE=∠AOC+∠COE即可求解；
（2）①根据题意即可补全图形；根据∠DOF与∠AOC互余，可求出∠DOF，又因为OD平分∠COE，可求得∠DOE，根据∠EOF=∠DOF-∠DOE即可求解；②根据∠DOF=-∠AOC，∠BOF=，即可求证；
（3）分两种情况进行计算：①OF在∠BOC内部，根据∠EOF=4∠AOC=，OD平分∠COE，∠COE=，可得∠DOE=∠COD=，继而可得∠DOF=∠DOE+∠EOF=+==∠BOF，根据∠AOC+∠COD+∠DOF+∠BOF=180°即可求出的值；②OF在∠BOC外部，根据∠EOF=∠COE+∠AOC+∠AOF，可得到∠AOF=，又因为∠DOF与∠AOC互余，可得到∠DOC+∠COA+∠AOF+∠AOC=90°，继而可求出的值．
【详解】
解：（1）∵AB为直线，
∴∠AOE+∠BOE=180°，
又∵∠AOE：∠BOE=1：5，
∴∠AOE=，
∵∠AOC=，∠COE=，
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=+==30°，
解得：；
（2）①补全的图形见下图：

∵∠DOF与∠AOC互余，
∴∠DOF=-∠AOC=70°，
∵OD平分∠COE，∠COE=，
∴∠DOE==20°，
∴∠EOF=∠DOF-∠DOE=；
②OF平分∠BOD，理由如下：
由题意得：∠DOF=-∠AOC=-，
∠BOF=
=
=，
∴∠DOF=∠BOF，
∴OF平分∠BOD；
（3）分两种情况：
①当OF在∠BOC内部时，如下图所示：

∵∠EOF=4∠AOC=，OD平分∠COE，∠COE=，
∴∠DOE=∠COD=，
∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=+==∠BOF，
∴∠AOC+∠COD+∠DOF+∠BOF=180°，
即，
解得：；
②当OF在∠BOC外部时，如下图所示：

∵OD平分∠COE，∠COE=，
∴∠DOE=∠COD=，
∵∠EOF=4∠AOC=，
∴∠EOF=∠COE+∠AOC+∠AOF=++∠AOF=，
∴∠AOF=，
∵∠DOF与∠AOC互余，
∴∠DOF+∠AOC=90°，即∠DOC+∠COA+∠AOF+∠AOC=90°，
∴+++=90°，
解得：
综上所述，的值为或．
【点睛】
本题考查角平分线、余角补角、尺规作图等知识，综合运用相关知识点是解题的关键．
14．如图 1，射线OC 在ÐAOB 的内部，图中共有 3 个角：ÐAOB 、ÐAOC 和ÐBOC ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是ÐAOB 的奇妙线．
（1）一个角的角平分线 这个角的奇妙线．（填是或不是）
（2）如图 2，若ÐMPN = 60° ，射线 PQ 绕点 P 从 PN 位置开始，以每秒10° 的速度逆时针旋转， 当ÐQPN 首次等于180° 时停止旋转，设旋转的时间为t(s) ．
①当t 为何值时，射线 PM 是ÐQPN 的奇妙线？
②若射线 PM 同时绕点 P 以每秒6° 的速度逆时针旋转，并与 PQ 同时停止旋转．请求出当射线 PQ 是ÐMPN 的奇妙线时t 的值．

答案：（1）是；（2）①9或12或18；②或或
【分析】
（1）根据奇妙线定义即可求解；
（2）①分3种情况，ÐQPN=2ÐMPN；ÐMPN=2ÐQPM；ÐQPM =2ÐMPN．列出方程求解即可；
②分
解析：（1）是；（2）①9或12或18；②或或
【分析】
（1）根据奇妙线定义即可求解；
（2）①分3种情况，ÐQPN=2ÐMPN；ÐMPN=2ÐQPM；ÐQPM =2ÐMPN．列出方程求解即可；
②分3种情况，ÐMPN=2ÐQPN；ÐMPQ=2ÐQPN；ÐQPN =2ÐMPQ．列出方程求解即可．
【详解】
（1）设∠α被角平分线分成的两个角为∠1和∠2，
则有∠α=2∠1，
∴一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；
故答案是：是；
（2）①由题意可知射线 PM 在ÐQPN的内部，
∴ÐQPN=（10t）°，ÐQPM=（10t-60）°，
（a）当ÐQPN=2ÐMPN时，
10t=2×60，
解得t=12；
（b）当ÐMPN=2ÐQPM时，
60=2×（10t-60），
解得t=9；
（c）当ÐQPM =2ÐMPN时，
（10t-60）=2×60，
解得t=18．
故当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“奇妙线”；
②由题意可知射线 PQ 在ÐMPN的内部，
∴ÐQPN=（10t）°，ÐMPN=（60+6t）°，ÐQPM=ÐMPN-ÐQPN=（60-4t）°，
（a）当ÐMPN=2ÐQPN时，
60+6t=2×10t，
解得t=；
（b）当ÐMPQ=2ÐQPN时，
60-4t=2×10t，
解得t=；
（c）当ÐQPN =2ÐMPQ时，
10t=2×（60-4t），
解得t=．
故当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值为或或．
【点睛】
本题考查了角之间的关系及一元一次方程的应用，奇妙线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“奇妙线”的定义是解题的关键．
15．已知，OD为∠AOB内部的一条射线．
（1）如图（1），若，OD为∠AOB内部的一条射线，，OE平分∠AOB，求∠DOE的度数；
（2）如图（2），若OC、OD是∠AOB内部的两条射线，OM、ON分别平分∠AOD，∠BOC，且，求的值；
（3）如图（3），C1为射线OB的反向延长线上一点，将射线OB绕点O顺时针以6°/s的速度旋转，旋转后OB对应射线为OB1，旋转时间为t秒（0＜t„35），OE平分∠AOB1，OF为∠C1OB1的三等分线，，若，直接写出t的值为_________．

答案：（1）当OD在∠BOC内部时，；当OD在∠AOC内部时，；（2）的值为2；（3）3或15．
【分析】
（1）先根据当OD在∠BOC内部时，当OD在∠AOC内部时，求出的度数，再根据角平分线的定义求出
解析：（1）当OD在∠BOC内部时，；当OD在∠AOC内部时，；（2）的值为2；（3）3或15．
【分析】
（1）先根据当OD在∠BOC内部时，当OD在∠AOC内部时，求出的度数，再根据角平分线的定义求出，然后根据角的和差即可得；
（2）设，先根据角平分线的定义得出，再根据角的和差化简所求式子的分子分母即可得；
（3）先依题意，找到两个临界位置：在AO的反向延长线上；与重合；然后根据角平分线的定义、角的和差倍分求解即可得．
【详解】
（1）如图1，当OD在∠BOC内部时，
，
，
平分，，
，
；

当OD在∠AOC内部时，
，
，
平分，，
，
；

（2）设，
则，
∴，
，
，
，
，
故的值为2；

（3），旋转速度为，
射线OB旋转到OA即停止转动，
由题意得，，
平分，
，
因，
则有两个临界位置：在AO的反向延长线上，此时；
与重合，此时，
因此，分以下三种情况分析：
如图3-1，当时，
则，
，
解得，符合题设，

②如图3-2，当时，
则，
，
解得，符合题设，

③如图3-3，当时，
则，
，
解得或，均不符题设，舍去，
综上，t的值为3或15，
故答案为：3或15．

【点睛】
本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分，较难的是题（3），依据题意，找出两个临界位置，从而分三种情况讨论构造方程是解题关键．
16．（阅读理解）
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则我们称射线OC是射线OA关于∠AOB的伴随线．例如，如图1，若∠AOC＝∠BOC，则称射线OC是射线OA关于∠AOB的伴随线；若∠BOD ＝∠COD，则称射线OD是射线OB关于∠BOC的伴随线．

（知识运用）如图2，∠AOB＝120°．
（1）射线OM是射线OA关于∠AOB的伴随线．则∠AOM＝_________°
（2）射线ON是射线OB关于∠AOB的伴随线，射线OQ是∠AOB的平分线，则∠NOQ的度数是_________°．
（3）射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．