预应力混凝土梁动力性能数值分析.pdf

第 3 1卷 第 1 期 2 0 0 9年 2月 土 木 建 筑 与 环 境 工 程， J o u r n a l o f Ci v i l Ar c h i t e c t u r a l 8 L En v i r o n me n t a l En g i n e e r i n g Vo 1 3 1 NO 1 F e b 2 0 0 9 预应力混凝土梁动力性能数值分析 李瑞鸽 ， 杨 国立 ， 张耀庭 ( 1 华 中科技 大学 土木 工程与力 学学院， 武汉 4 3 0 0 7 4 ； 2 河 南城建 学院， 平顶 山 4 6 7 0 4 4 ) 摘 要 ： 为 了解预 应 力混凝 土 ( P S C ) 梁 在 不 同预 应 力 下 的 自振 频 率和 振 型 的 变化 ， 采 用 C l o u g h提 出的轴力作用下混凝土梁的模型对 P S C梁的频 率进行 了有 限元分析 ， 结果是 随着预应 力的增加， 频率呈下降趋势 ， 振 型不随预应 力的变化而改变。为验证有 限元分析的准确性 ， 同时进行 了 1根无 粘结预应力梁的动力试验。试验结果表明 ： 预应力梁的 固有频率随着预应 力的增加 而增加 ， 显然轴 压模型不适于 P S C梁的频率分析 ， 通过分析影 响频率 变化的主要 因素 ， 并依据试验结果对 P S C梁 的动力有限元模型进行 了修正 。计算结果表 明： 该修 正方法计算 出梁的一阶频率的误差较小， 2阶 频率的误差稍大， 但也可以反 映频率随预应力改变的变化趋势。 关键词： 预应力混凝土 ； 预应力 ； 自振频率； 振型； 有限元 ； 数值分析 中图分类号 ： TU3 7 8 1 ； TU3 1 7 1 文献标志码： A 文章编号 ： 1 6 7 4 4 7 6 4 ( 2 O 0 9 ) 0 1 0 0 0 1 0 6 Nu me r i c An a l y s i s o f t h e o f a Pr e s t r e s s e d Dy na m i c Pe r f o r ma n c e Co n c r e t e Be a m L I Ru i g e ，YANG Gu o- l i ，ZHANG Y ao t i n g ( 1 S c h o o l o f Ci v i l En g i n e e r i n g a n d M e c h a n i c s ，Hu a z h o n g Un i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d Te c h n o l o g y ，W u h a n 4 3 0 0 7 4，P RCh i n a ； 2 C i v i l En g i n e e r i n g De p a r t me n t ，Pi n g d i n g s h a n g I n s t i t u t e o f Te c h n o l o g y ，P i n g d i n g s h a n 4 6 7 0 0 1，PRCh i n a ) Ab s t r a c t ：The f i n i t e e l e me nt Of a pr e s t r e s s e d c on c r e t e (PSC ) be a m i s a n a l y z e d i n a c a s e o f d i v e r s e p r e s t r e s s i ng f o r c e s The m e c ha n i c a l mod e l a ppl i e d i s t ha t a d v a nc e d by Cl o ug h f or a c o nc r e t e be a m be a r i ng a x i a l f o r c e Th e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t t h e b e a m f r e q u e n c i e s d e c r e a s e wi t h i n c r e a s i n g p r e s t r e s s i n g f o r c e A d y n a mi c e x p e r i me n t o f a n o n b o n d e d PS C b e a m wa s c a r r i e d o u t t o v a l i d a t e t h e v e r a c i t y o f t h e f i n i t e e l e me n t a na l y s i s Te s t be a m f r e q ue nc i e s i nc r e a s e wi t h i nc r e a s i ng pr e s t r e s s i n g f or c e The a na l y s i s mo de l t hus i s un f i t f o r f r e q ue n c y a n a l ys i s o f a PS C be a m The de t e r m i n a nt f a c t o r o f f r e qu e nc i e s i s a n a l y z e d， a nd t h e d y n a mi c mo d e l i s mo d i f i e d a c c o r d i n g t o e x p e r i me n t a l r e s u l t s Th e mo d i f i e d mo d e l a n a l y s i s r e s u l t s h o ws t h a t ：t h e c a l c u l a t e d f r e q u e n c i e s o f mo d e 1 a g r e e wi t h t h e t e s t r e s u l t s we l l ； t h e f r e q u e n c i e s o f mo d e 2 p o s s e s s ome e r r or s ；a n d，t he m o di f i e d mod e l c a n r e f l e c t t he d i r e c t i on of f r e q ue n c y c h a ng e a l o ng wi t h t h e c ha ng e o f p r e s t r e s s i ng f o r c e we l 1 Ke y wo r d s： pr e s t r e s s e d c o n c r e t e； pr e s t r e s s i ng f o r c e； na t u r a l f r e qu e n c y； mod e； f i ni t e e l e m e nt ；n ume r i c a na l y s i s 梁 式预 应力 混凝 土结 构是 土 木工 程 中广泛 应 用 的预应力混凝土结构型式之一E 1 。但是梁中有效预 应 力 对 其 动 力 性 能 的 影 P S C梁是由受压 的混凝土 响 规 律 还 没 有 明确 。 、受压的普通钢筋 、 受拉的 收稿 日期 ： 2 0 0 8 0 7 1 5 基金项 目： 国家 自然科学基金资助项 目( 5 O 3 7 8 O 4 1 E O 8 O 7 ) 作者简介 ： 李 瑞鸽( 1 9 7 3 一 ) ， 女 ， 华 中科技大学 副教 授 ， 博士研究生 ， ( E - ma i l ) l i r u i g e e y o u c o rn。 张耀庭( 联 系人 ) ， 男 ， 教授 ， 华中科技大学博士 生导 师 ， ( E ma i l ) z y t 一 1 9 6 5 1 6 3 c o m。 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 土 木 建 筑 与 环 境 工 程 第 3 2 卷 预应力 筋组 成， 混 凝土本 身其 力学性 质就 比较 复 杂 5 ， 而且又加入了受压和受拉的钢筋 。为此该文 通过数值分析的方法研究全预应力梁 的动力性能与 力筋预应力之间的关 系， 并在数值计算结果与试验 数据对比的基础上对有限元模型进行 了修正 。为进 一 步发展和完善预应力损失动力检测技术打下基础。 1 预 应力混凝 土简支梁有限元分析 1 1 有限元分析模型的建立 用具有分布质量的有 限元法离散化预应力梁， 对于只考虑弯曲变形的杆件体系， 取单元广义坐标 ： ，其中 7 J 代表节点位移， 向 下为正； 0 代表节点转角位移 ， 顺时针为正。 由于预应力混凝 土梁 的长度 远 比其截 面尺寸 大 ， 所 以可 以将此梁看作一个一维体系 ， 只考虑梁在 x o y平面内的振动。将预应力混凝土梁沿纵 向离散 成 2 O个单元， 每个单元有 2个转动 自由度和 2 个垂 直于轴线的位移 自由度。 由于预应力混凝土简支梁属于小阻尼系统 ， 在 研究其 自由振动特性时可以看作保守 系统 7 。结构 的振 动特性 方程 可 以表 示为 ： 岣 ( )+Kq( )一 0 ( 1 ) M 为协调质量矩阵 ， K是总刚度矩阵。 M 和K都是1 l 阶实对称矩阵， 而且 M 是正定的。 设式 ( 1 ) 具有指数形式的解 ： g( ) ： e ( 2 ) 将( 2 ) 式代入( 1 ) 得 ： 一 ( 3 ) 其中 一一5 式 ( 3 ) 即为 系统 的特 征方 程 或 频 率 方 程 。该 方 程对应 个不同的根 ( r 一1 ， 2 ， ， ) 即特征值， 每 个特征值对应一个特征向量 。 可表示为： 一 A r M c p ： 0 ( 4 ) 1 2 求 刚度矩 阵 首先用势能驻值原理推导预应力作用下 的单元 刚度矩 阵 K e 。 混凝土梁的振动是几何非线性问题 。由于预应 力的存在 ， 梁单元中不但有偏心预应力引起 的弯矩 ， 而且还 有预应 力 引起 的二 阶效 应 。 忽略轴向变形 ， 每个单位有两个 自由度 ， 即 方 向的位移 和转 动 自由度。端点力 和端点位移 分别 为 ： n一 匿 rF ， 一 l三z l F3 l_F4 F l Ml F 2 M2 设位移是 的三次函数 ： ( z)一 b l + b 2 z+ b 3 z 。 + b 4 z 。= 带人端点位移条件解得： 盯 1 0 3 Z 2 Z 0 0 1 2 Z 1 O 0 3 Z 。 一 2 Z 。 ( 5 ) 0 0 1 Z 1 Z 0 G a 将式( 7 ) 代入式( 6 ) 并整理得 ： ( z ) = ： n ( z ) 其 中 ： ( z ) 一1 3 ( 手 ) 。 + 2 ( 手 ) 。 z( z ) 一f 1 2 手 + ( 手 ) 。 x z ( z ) 一 3 ( 手 ) 。 一 2 ( 手 ) 。 ( z ) 一 一 z ( 手 ) 。 ( 1 一 手 ) ( 7 ) ( 8) ( 9 ) 体系的总势能为： 一U+U 邸+u z ， 其中U 是应变能 ， u n是预压应力 F的势能， 是杆端力 的势能 。 u = I g E K y ( z ) 一 1 L ，I o E I E 2 n ( z ) d x l UF I 一 1 J 。 lr L - ! ( z ) 一 一Ff g EI E En ( z ) d z 4 UF 2 一 一F n i = 1 由势 能驻 值原理 E s J ： 1 L 3 U F2 3 a a n a 口 ( 1 0) 一 0 ( i一 1 、 2 、 3 、 4 ) ( 1 1 ) 将式( 1 O ) 代人式( 1 1 ) 求偏导 ： ， ， ， ， ， ， 1 、 z 1 rI 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 第1 期 李瑞鸽 ， 等 ： 预应力混凝土梁动力性能数值分析 一 a 一s n ( 一1 、 2 、 3 、 4 ) ( 1 2 ) 1, 2 、 3、 ,3, 4 4 3， ； 一 j k = = l lil 1 忌2 l s 2 k 3 l一 1 是4 1一 豇1 志1 2一 i 1 。 忌 2 2一 2 志 3 2一 2 尼4 2一 j 4 2 k1 3一 1 。 k 2 3一 s 2 。 愚 3 3一 3 志 4 3一 i 4 。 k1 4一 j 1 k 2 4一 2 忌3 4一 3 k 4 4一 4 ( 1 4) 接下来用 ma t l a b编写程序将单元 刚度 矩阵组 合成整体刚度矩阵口 。 1 3求协 调质 量矩 阵 协 调质 量矩 阵 的推导 与 刚度矩 阵 的推 导方 法 相 似 。按照相 同的假定位移场 ， 用能量原理进行推导 。 协调质量矩阵 ： m一 1 5 6l 2 2l 0 2 2 4 l 。 5 4 1 3l 一 1 3 l 3 l 。 5 4l 1 3 Z 1 5 6 Z 一 2 2l 一 1 3 l 0 3 Z 。 一 2 2l 0 4 Z 。 (1 5 ) 将单元协调质 量矩阵 m 组合成整体 协调质量 矩阵M ， 组合方法与整体刚度矩阵相似 。 1 4 计算结构的 固有频率和振型 求结构的固有频率和振型就是求动力方程 ( 3 ) 的特征值和特征 向量 。编写程 序， 计算 出预应力梁 的频率和对 M 矩阵归一化的振型l 1 。 其 中各参数如表 1 。 表 1 预应 力混凝土梁参数 b m h m A m。p ( k g m。 )E ( N m ) I m 1 m 0 1 2 2 0 2 4 1 0 0 29 4 0 2 2 5 7 7 3 2 5 1 0 。1 4 2 6 1 0 一 0 1 8 5 程序计算出的各级张拉力对应 的 1 、 2阶频率值 如 图 2所 示 。 2 8 6 2 8 4 2 8 2 2 8 2 7 8 2 76 、 、- 、 O 2 O 4 0 6 O 8 0 1 0 0 1 2 O 张拉力 k N 1 3 6 1 34 1 3 2 1 1 3 1 2 8 1 2 6 - 、 P 0 2 O 4 0 6 o 8 0 1 0o 1 20 张拉力 l 【 N 图 2 按 轴压模型计算 出的预应 力与频率关系 图 F一0 、 F一6 O k N、 F 一1 0 0 k N和 F=1 2 0 k N时振 型向量图形完全相 同， ( 仅绘制 方 向的位移) ， 如 图 3 、 4 、 5 所示 。这个结果说明振型不随预应力的改变而 变化 ， 究其 原因预应力的变化是结构整体特性 的改 变， 而不是改变结构局部特性， 振型则可以反映结构的 局部特性的变化 ， 而对结构整体性质的改变不敏感 。 | 弃 二： I 气 - f -一- I i i ； 、 卜 0 5 l 0 1 5 2 0 2 5 图 3 1阶振型 曲线 1 f f l ； 0 5 1 0 1 5 2 O 2 5 图 4 2阶振型 曲线 图 5 3阶振型 曲线 尊 鑫 0 。 一 一 一 一 划 J O J 叭 。 H ， 讲 鑫【 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 土 木 建 筑 与 环 境 工 程 第 3 2 卷 2预应 力损失 的动力试 验 2 1 试验过 程 试验地点： 华中科技大学结构试验室 ， 试验模型 设计 ， 试验过程及试验结果见文献 2 2 计算值与试验值的对比分析 理论分析结果表明： 随着预应力的增加 ， 预应力 梁的各阶 自振频率都呈下降趋势， 这与文献 坞 中采 用摄 动方法计算得出的结论相似， 文献 也得出类 似结论 。但是试验结果却表明， 预应力增加将导致 梁的各阶 自振频率上升。由此可知， 通常所采用的 轴向压杆的力学模型不能够作为预应力混凝土动力 性能的分析模型。所以该文要对有限元计算模型进 行修正， 寻求一种合理 的力学模 型来分析预应力混 凝土 动力性 能 。 3 有限元计算模型的修正 现有的预应力梁动力计算模型与实际情况是不 相符合的， 即预应力的存在 除了象 以往人们通 常认 为的那样改变 了梁几何 刚度 ， 造成刚度软化现象 以 外 ， 还一定有其它的改变 。 预应力的存在导致频率上升的根本原 因是 ： 1 ) 预应力钢铰线受拉后其刚度会增加 ， 导致整个预应 力梁的刚度的增加； 2 ) 在一定范围内， 预应力的存在 增加 了梁的刚度 ， 从而引起梁的频率的上升 。 该文拟通过两方面对模 型进行修正 ： 1 ) 在压杆 动力模型的基础上考虑预应力 钢铰线受拉后 的刚 度； 2 ) 考虑混凝土受压后刚度的提高( 其提高的幅度 与混凝 土梁 中的应力值 有关 ) 。 3 1 预应 力钢铰 线 受拉后 的刚度 将 钢铰 线 的刚 度 加入 到 模 型 中 ： 在 压 杆 动 力 模 型的基础上考虑预应力钢铰线受拉后 的刚度 ， 即根 据受拉力的线弹性 杆件 的频率计算公式 ， 反推出其 刚度 E ， f ， 然后将此刚度值加入到预应力梁中 1 。 预应力筋在均匀拉 力作用下 的运动微分 方程 为 ： N +lD A 一0 ) 则由式( 1 6 ) 可解出在拉力作用下预应力筋的第 阶振动频 率 ： = = ( ) 假设存在一种梁等效于在拉力作用下预应力筋 的模态性能， 等效梁的 自振频率为 ： 一 ( 芒 ) 由此得到其等效弯曲刚度 ： = ( ) N 所 以预应力梁的总的弯曲刚度为 ： E l + ( ) 。 N ( 2 O ) 其中： E 是混凝土梁和普通钢筋的弯曲刚度 之和 ， L 是考虑预应力筋施加 给混凝土梁压力 ， 混 凝土梁被压缩后的长度。 将预应力钢铰线的等效弯 曲刚度加到预应力混 凝土梁的压杆模型 中， 计算其预应力与频率变化的 关系， 如表 2所示 ： 表 2 考虑受拉钢铰线的等效剐度后梁频率值 F k N计算 f l H 值 Z 试验 f l H 值 z 菱 0 2 8 3 6 3 2 8 3 6 0 01 1 1 l 3 5 2 1 1 0 0 7 1 1 2 7 2 1 2 0 2 8 4 4 8 2 8 3 6 0 3 1 0 1 1 3 4 4 0 1 0 2 6 7 1 0 4 9 0 4 0 2 8 5 3 2 2 8 8 3 1 0 3 2 1 1 3 3 5 9 1 0 3 0 9 9 9 6 l 6 0 2 8 6 1 7 2 9 3 2 2 3 9 8 l 1 3 27 8 1 0 4 0 7 8 8 4 8 8 0 2 8 7 0 1 2 9 4 8 2 6 4 3】 1 3 1 9 7 1 05 05 7 7 5 5 1 0 0 2 8 7 8 5 2 9 6 9 3 0 4 9 l 1 3 1 1 6 1 0 5 5 0 7 2 1 9 1 2 0 2 8 8 6 8 2 9 8 0 3 1 2 6 l 1 3 0 3 4 1 0 5 5 3 7 1 1 l 注： 计算一阶频率时采用 E ， ：( 生 ) z N ，计算二阶频率时采用 = ( ) 。 N 。 由表 2可以看出， 考虑受 拉钢铰线 的等效刚度 后频率计算值仍然小于试验值 ， 由此可知 ， 混凝土受 压 后其 刚度 也有 所 增 加 ， 从 而 导 致 预应 力 梁 频 率 的 增加 。 3 2 由于混 凝土 上施加 压应 力而增 加 的刚度 考虑了受拉钢绞线的等效刚度后频率试验值与 计算值的差别是由于混凝土受压后刚度的增加引起 的， 预应力梁的截面尺寸在施加预应力前后并没有 变化 ， 所以刚度的增加是 由于混凝土受压后弹性模 量增加 了， 由于混凝土上施加预应力而导致 的刚度 增加与截面上混凝 土中的压应力有关， 所以不 能单 纯的考虑张拉力 F对混凝土刚度的影响 ， 应根据截 面中的压应力与抗压强度标准值的比值对混凝土的 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 第1 期 李瑞鸽 ， 等 ： 预应力混凝土梁动力性能数值分析 弹性模量进行修正 。另外 ， 梁 截面中拉应力的存在 也影响着混凝土的弯曲刚度 ， 由于截面 中并没有 出 现裂缝 ， 其截面惯性矩 不发生变化 ， 所 以拉应力也 改变着预应力混凝土梁的弹性模量。因此预应力混 凝土梁 的弹性模量与其截面上的拉、 压应力有关。 令 z 1 一 O 一c， z 2 一 O t m a x， 贝 0 c k j t k E 一 E 厂( z ， z 2 ) ( 2 1 ) 其 中： 。一 为预应力梁截面的平均压应力 ： =： 一 一 F 为预应力梁跨 中截面上 一 一 一 ， 1 1 l I 、 、 ，J I 1 i 匠r H H V I 厂 2I 2 A 。 由偏心矩引起的最 大拉应力 ( 为负值 时不考虑 其对预应力混凝土梁刚度的影响， 即将其值取为 O ) 。 根据试验值与计算值 的对等效弹性模量 E 与 ， 。之 问的关系进行 回归分析， 同时考虑到剪切变 形及阻尼对高阶频率影响较大的因素 ， 在混凝土 的 等效弹性模量项 中加入模态阶数的影响， 得 出其 中 的函数关系式 。 E 一 f( x ， 2 )一 1阶频率计 算值与试验值 相 比误差较小 ， 最大 值为 0 6 9 ， 2阶频率 的计算值与试验值 的误差稍 大 ， 最大差 值有 1 5 3 ， 而且是在 预应力 为 0的时 候 ， 这说 明并不主要是预应力的影响造成 了 2阶频 率计算值的误差 。而且 2阶频率计算值 随预应力增 加的变化趋势与试验 值相 同， 表明本文 中的修正方 法对 2阶频率也是可行的。修正后的模型的振型计 算结果与图 3 、 4 、 5所示 的结果相 同， 表明对混凝 土 弹性模量 的修正与模态振型的计算结果无关。 Ec( 1+ 。 3 1 7 z +。 1 1 5 z 一。 1 l 5 z ； )( 2 2 ) 4 结束语 当 z 1 0 0 2 4 3 ， E。 一 E。 其 中： 为模态的阶数 。 回归分析的拟合度水平如表 3所示 ： 表 3方差分析 从上表可以看 出， 回归分析结果的拟合度达到 了较高的标准 ， 可以接受 。 将( 2 0 ) 式代入到有限元的模 型中， 且用式 ( 2 2 ) 中的等效弹性模量 E 代替 E ， 得到 ： j 。 口 ， d x j 。 ( ( 1 + O 3 1 7 x l + ， T 、 2 0 1 1 5 x z o 1 1 5 x ) I c + ( L r ) ) z d r ( 2 4 ) 将 ( 2 4 ) 式带人 ( 1 4 ) 式 对单元 刚度矩 阵进 行修 改 。利用修正后 的模型计算试验梁 的频率 ， 并将其 与试验值进行比较 ， 如表 4所示。 通过有限元分析可知 ： 传统 的轴压模 型计算 出 的 自振频率随预应力的变化趋势与试验结果得出的 频率变化趋势相反 ， 因此该模型不 能作为预应力梁 的动力计算模型。该文考虑了预应力筋受拉后刚度 的增加和混凝土受压后刚度的变化 ， 通过与试验结 果的对 比， 对有限元模型的刚度矩阵进行 了修正 ， 修 正后的有限元模型计算预应力混凝土梁的 自振频率 与试验值符合较好 。 参考文献 ： 1 吕志涛新世纪我国土木工程活动与预应力技术的展 望 J 东南 大学学 报 ( 自然科 学版 ) ， 2 0 0 2 ， 3 2 ( 3 ) ： 4 5 7 4 59 LU ZHI - TAOPr o s p e c t s o f c i v i l e n g i n e e r i n g c o n s t r u c t i o n a n d p r e s t r e s s i n g t e c h n i q u e i n Ch i n a i n t h e 2 1 t h c e n t u r y J J o u r n a l o f S o u t h e a s t Un i v e r s i t y ( Na t ur a l Sc i e n c e Edi t i on)，2 0 02， 32( 3 )：45 7 - 459 2S AI I D I M，D OUG L AS B，F E NG S P r e s t r e s s f o r e e e f f e c t o n v i b r a t i o n f r e q u e n c y o f c o n c r e t e b r i d g e s J J o u r n a l o f S t r u c t u r a l En g i n e e r i n g，1 9 9 4，1 2 0 ( 7 )： 2 2 3 3 2 24 】 一 值 一 订 娼 较一 验 一 c ； 文 竺 淞 I M 一一 一 一一 一 一 一 一 一 一 一 一。 踟 m 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 6 土 木 建 筑 与 环 境 工 程 第 3 2卷 3Z HANG Y AO T I NG，I I R UI GE N a t u r a l f r e q u e n c y o f f u l l P r e s t r e s s e d c o n c r e t e b e a m J Tr a n s a c t i o n s o f Ti a n j i n Un i v e r s i t y。2 0 0 7，1 3 ( 5 )：3 5 4 3 5 9 4 张耀庭 ， 汪霞利 ，李瑞鸽 预应力梁固有频率的试验研 究 J 华中科技大学学报( 自然科学版) ， 2 0 0 7 ， 3 5 ( 2 ) ： 12 15 Z H ANG YA( ) 一 TI NG ，W ANG XI A L 1 ， I I RUI GE Exp e r i m e nt a l r e s e a r c h on na t ur e f r e qu e nc y o f p r e s t r e s s e d c o n c r e t e b e a ms J J o u r n a l o f Hu a z h o n g Un i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d Te c h n o l o g y( Na t u r e S c i e n c e Ed i t i o n ) ，2 0 0 7 ，3 5 ( 2 ) ： 1 2 1 5 5张耀庭 ， 蔡利建基于摄 动法 的体 外预 应力 梁基频 分 析 J 华中科技 大学 学报( 自然科学版 ) ， 2 0 0 6 ，3 4 ( 6 ) ： 1 28 13 1 ZHANG YA0一 TI NG， CAI L I - J I AN S t u d y o n t h e b a s i c f r e q u e n c y a n a l y s i s o f e x t e r n a l p r e s t r e s s e d c o n c r e t e b e a ms b a s e d o n p e r t u r b a t i o n E J J o u r n a l o f Hu a z h o n g Un i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d Te c h n o l o g y ( Na t u r e S c i e n c e Ed i t i o n )，2 0 0 6，3 4 ( 6 ) ： 1 2 8 1 3 1 6 宁建 国， 商 霖，孙远翔混凝土材料动态性能 的经验公 式 、 强度 理论 与唯象本 构模 型 J 力学 进展 ， 2 0 0 6 ，3 6 ( 3 ) ：3 8 9 4 0 5 NI NG J I AN GUO， S HANG L I N， S UN YUAN XI ANG Th e d e v e l o p me n t s o f d y n a mi c c o n s t i t u t i v e b e h a v i o r o f c o n c r e t e J Ad v a n c e s i n Me c h a n i c s ， 2 0 0 6 ， 3 6 ( 3 ) ： 3 8 9 4 0 5 7李辉 ， 丁桦结构动力模型修正方法研究 进展 J 力学 进展 ， 2 0 0 5 ， 3 5 ( 2 ) ： 1 7 0 1 8 0 I I HUIDI NG HU A Pr e s t r e s s i n mo de l up da t i ng f o r s t r u c t u r a l d y n a mi c j 。Ad v a n c e s i n Me c h a n i c s ， 2 0 0 5 ， 3 5( 2)：l 7 0 1 8 0 r 8BE I YS CHKO T，L I U W K，MORAN B No n l i n e a r F i n i t e E 1 e me n t s f o r C o n t i n u a a n d S t r u e t u r e s M J o h n W i l e v S o n s L t d US A，2 0 0 0： c h a p t e r 6 r 9CI OUGH R W ，P ENZ I EN J Dy n a mi c o f S t r u c t u r e s ( 2 n d E d i t i o n ) M B e r k e l e y ， C a l i f o r n i a ， U S A， Co mput e r s a n d St r uc t u r e s，I nc，1 99 5 1 o 于开平 ， 邹经湘结构动力响应数值算法耗散和超调特 性设 计 J 力 学学 报 ， 2 0 0 5 ， 3 7 ( 4 ) ： 4 6 7 4 7 6 YU KAI - PI NG， Z OU J I NG- XI ANG Two t i me i n t e g r a l a l g o r i t h m s wi t h n u me r i c a l d i s s i p a t i o n a n d wi t h o u t o v e r s h o o t f o r s t r u c t u r a l d y n a mi c J C h i n e s e J o u r n a l o f Th e o r e t i c a l a n d Ap p l i e d Me c h a n i c s ，2 0 0 5， 3 7( 4)：46 7 - 4 76 E uK A T T AN P I( 德) MA TL A B有限元分析与应用 M 韩来彬 ， 译北京 ： 清华大学出版社 ， 2 0 0 4 ：1 8 6 2 3 5 1 2 李瑞鸽， 张耀庭预应力混凝土梁 自振频率试验研究 J 桥梁建设 ， 2 0 0 8 ( 1 ) ： 3 3 3 6 L I RUI GE， Z H ANG YA0一 TI NG Ex p e r i me n t a l o n n a t u r a l v i b r a t i o n f r e q u e n c y o f p r e s t r e s s e d c o n c r e t e b e a m J B r i d g e C o n s t r u c t i o n ， 2 0 0 8 ( 1 ) ： 3 3 3 6 1 3 楼梦麟， 洪婷婷预应力梁横向振动分析的模态摄动方 法 J 工程力学 ， 2 0 0 6 ， 2 3 ( 1 ) ：1 0 7 1 l 1 L 0U M ENG I I N， H 0NG T1 NG TI NG M o d e D e r t u r b a t i o n me t h o d f o r l a t e r a l v i b r a t io n a n a l y s i s o f p r e s t r e s s e d b e a ms J E n g i n e e r i n g Me c h a n i c s ，2 0 0 6 ， 2 3 ( 1 )：1 0 7 1 1 1 1 4 夏樟华，宗周红预应力对混凝土梁动力特性的影响 分析 J 振动与冲击 ， 2 0 0 7 ， 2 6( 7 ) ： 1 2 9 一 l 3 4 XI A ZHANG H UA ，Z 0NG Z H0U HONG An a l y s i s o f i n f l u e n c e o f p r e s t r e s s i n g o n d y n a mi c c h a r a c t e r i s t i c s o f a c o n c r e t e b e a mE J J o u r n a l o f Vi b r a t i o n a n d S h o c k ， 2 0 0 7。 2 6 ( 7 ) ：1 2 9 1 3 4 r 1 5 KI M T T， RYU Y S，YUN C B Vi b r a t i o n b a s e d me t h o d t o d e t e c t p r e s t r e s s l o s s i n b e a m- t y p e b r i d g e s c P r o c e e d i n g s o f t h e S P I E T h e I n t e r n a t i o n a l S o c i e t y f or Op t i c a l En gi ne e r i ng， 2 00 3，5 057：5 5 9 5 68 ( 编 辑王 秀玲 ) 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m