立体几何经典大题(各个类型的典型题目).doc

立体几何大题训练(1)
1．如图，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中点．
（1）FD∥平面ABC；（2）AF⊥平面EDB．

2．已知线段PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点。
（1）求证：MN//平面PAD； （2）当∠PDA＝45°时，求证：MN⊥平面PCD；

立体几何大题训练(2)
3．如图，在四面体ABCD中，CB=CD,，点E，F分别是AB,BD的中点．求证：
（1）直线EF// 面ACD； （2）平面面BCD．

A
B
C
D
E
F

4．在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC
（1）若D是BC的中点，求证 AD⊥CC1；
（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，
求证 截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
（3）AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由

]

立体几何大题训练(3)
5. 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、G分别是A1A，D1C，AD的中点．
_
G
_
M
_
D
_
1
_
C
_
1
_
B
_
1
_
A
_
1
_
N
_
D
_
C
_
B
_
A
求证：（1）MN//平面ABCD； （2）MN⊥平面B1BG．

6. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．
（1）求证：EF∥平面CB1D1；

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

立体几何大题训练(4)
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
7、如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1分别是棱AD、AA1的中点
(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥面FCC1；
(2)证明：平面D1AC⊥面BB1C1C。

8．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E，F分别在PD，BC上，且PE：ED=BF：FC。
（1）求证：PA⊥平面ABCD； （2）求证：EF//平面PAB。

立体几何大题训练(5)
9．如图，在三棱锥P-ABC中， PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F为PC上的一点，且PF:FC=3:1．
A
P
B
C
D
E
F
（1）求证：PA⊥BC；
（2）试在PC上确定一点G，使平面ABG∥平面DEF；
（3）求三棱锥P-ABC的体积．

10、直三棱柱中，，．
A
B
C
C1
A1
B1
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积．

立体几何大题训练(6)
11、如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都是2，D、E分别为CC1、A1B1的中点．
（1）求证C1E∥平面A1BD；
（2）求证AB1⊥平面A1BD；

E
D
C
B
1
C
1
A
1
A
B

12.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=
（I）求证：PA1⊥BC；（II）求证：PB1//平面AC1D；

立体几何大题训练(7)
13.如图，平行四边形中，，将沿折起到的位置，使平面平面
（I）求证： （Ⅱ）求三棱锥的侧面积。

第14题
14. 如图,在四棱锥中,侧面底面,侧棱,底面是直角梯形,其中,,,是上一点.
(Ⅰ)若,试指出点的位置；
(Ⅱ)求证:.

立体几何大题训练(8)
15 、如图所示：四棱锥P-ABCD底面一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，
A
B
C
D
E
Q
P
E为PC的中点.
（1）证明：EB∥平面PAD；
（2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC；

16．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。

（I）求证：CD⊥平面A1ABB1；
（II）求证：AC1//平面CDB1。

立体几何大题训练(9)
17．如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，BE＝BC，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE．
B
A
D
C
F
E
（第17题）
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求证：AE∥平面BFD．

18．如图所示，在直三棱柱中，，平面为的中点．
（1）求证：平面； （2）求证：平面；
（3）设是上一点，试确定的位置使平面平面，并说明理由．
A1
B1
C1
A
B
C
D

立体几何大题训练(10)
19．如图，在直三棱柱中，，、分别为、的中点，

（1）求证：；
（2）求证：

20．如图，、分别为直角三角形的直角边和斜边的中点，沿将折起到的位置，连结、，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；

立体几何大题训练(11)
21．如图，四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，且E、O分别为PC、BD的中点．
求证：（1）EO∥平面PAD；P

E
C

B

A

D

O

（2）平面PDC⊥平面PAD．

22．在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．
（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；
（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．

立体几何大题训练(12)
23.在四棱锥中，底面为菱形，,E为OA的中点，F为BC的中点，连接EF，求证：
（1） (2)

A
B
E
D
C
24、已知：等边的边长为，分别是的中点，沿将折起，使，连,得如图所示的四棱锥
(Ⅰ)求证：平面
(Ⅱ)求四棱锥的体积

A
B
C
E
D

立体几何大题训练(13)
25、如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，E是PD的中点
（1）求证：PB∥平面AEC
（2）求证：平面PDC⊥平面AEC

26．如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。
求证：（1）EF∥平面ABC；w.（2）平面平面.

立体几何大题训练(14)
27、如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．
（1）求证：//平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积．

28.正三棱柱的底面边长与侧棱长都是2，分别是的中点.
C
1
B
1
A
1
E
D
C
B
A
（Ⅰ）求三棱柱的全面积；
（Ⅱ）求证：∥平面;
（Ⅲ）求证：平面⊥平面.

立体几何大题训练(15)
29. 已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，分别为的中点，
（1）求证：//平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥E-ABF的体积。

30．已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E为 CD的中点，沿AE将AED折起，使DB＝2，O、H分别为AE、AB的中点．
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
O
H
（1）求证：直线OH//面BDE；
（2）求证：面ADE面ABCE.

立体几何大题训练(16)
31．（本小题满分14分）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，ABAD，CD=DD1 =4，AD=AB=2，E、F分别为BC、CD1中点．
(I)求证：EF∥平面BB1D1D；
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
F
D1
第31题图
(Ⅱ)求证：BC平面BB1D1D；
(Ⅲ)求四棱锥F-BB1D1D的体积.

32、如图，已知平面是正三角形，，且是的中点。
（I）求证：平面；
（II）求证：平面平面；[来源:学.科.网]

立体几何大题训练(17)
33.如图已知平面，且是垂足．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．

34．如图，四棱柱的底面边长和侧棱长均为1，为中点．
A1
D1
C1
B1
B
A
C
D
O1
（I）求证：；
（II）求证：；
（III）求四棱柱的体积．ks5u

立体几何大题训练(18)
35. 如图，正三棱柱中，已知，为的中点．
A
B
C
A1
1
C
1
B
1
M
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）试在棱上确定一点，使得平面．

36． 正三棱柱中，点是的中点，．设．
（Ⅰ）求证:∥平面;（Ⅱ）求证:⊥平面．

答案与评分标准
1.证明（1）取AB的中点M，连FM，MC，
∵ F、M分别是BE、BA的中点，
∴ FM∥EA，FM=EA．
∵ EA、CD都垂直于平面ABC，
∴ CD∥EA，∴ CD∥FM． ………………3分
又 DC=a，∴FM=DC．
∴四边形FMCD是平行四边形，
∴ FD∥MC．即FD∥平面ABC．……………7分
（2）∵M是AB的中点，△ABC是正三角形，
∴CM⊥AB，又CM⊥AE，
∴CM⊥面EAB，CM⊥AF，FD⊥AF， ………………………………11分
又F是BE的中点，EA=AB，∴AF⊥EB．
即由AF⊥FD，AF⊥EB，FD∩EB＝F，
可得AF⊥平面EDB． ……………………………………………………14分
2. （1）取PD的中点E，连接AE、EN
∵EN平行且等于DC，而DC平行且等于AM
∴AMNE为平行四边形MN∥AE
∴MN∥平面PAD
（2）∵PA⊥平面ABCD∴CD⊥PA又
∵ABCD为矩形 ∴CD⊥AD, ∴CD⊥AE，AE∥MN，MN⊥CD
∵AD⊥DC，PD⊥DC ∴∠ADP=45°, 又E是斜边的PD的中点∴AE⊥PD，
∴MN⊥PD∴MN⊥CD，∴MH⊥平面PCD.
3、证明：（1）∵E,F分别是的中点．
∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，
∵EF∥面ACD，AD面ACD，∴直线EF∥面ACD；
（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，
∵CB=CD，F是ＢＤ的中点，∴CF⊥BD
又EF∩CF=F, ∴BD⊥面EFC，
∵BD面BCD，∴面面
4、(1)证明 ∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC
∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C
∴AD⊥CC1
(2)证明 延长B1A1与BM交于N，连结C1N
∵AM=MA1，∴NA1=A1B1
∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1
∴C1N⊥C1B1
∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C
∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C
∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C
(3)解 结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性
过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C
∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C
∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面
∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE
∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1
∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点
∴AM=DE=AA1，∴AM=MA1
5. 证明：（1）取CD的中点记为E，连NE，AE．
由N，E分别为CD1与CD的中点可得
NE∥D1D且NE=D1D， ………………………………2分
又AM∥D1D且AM=D1D………………………………4分
所以AM∥EN且AM=EN，即四边形AMNE为平行四边形
所以MN∥AE， ……………………… ………6分
又AE面ABCD,所以MN∥面ABCD ……8分
（２）由AG＝DE　，，DA＝AB
可得与全等 ……………………………10分
所以， ……………………………………………………………11分
又，所以
所以， ………………………………………………12分
又,所以， ……………………………………………………13分
又MN∥AE，所以MN⊥平面B1BG ………………………………………… …15分
6.（1）证明:连结BD.
在长方体中，对角线.
又 E、F为棱AD、AB的中点， . .
又B1D1平面，平面， EF∥平面CB1D1.
（2） 在长方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1， AA1⊥B1D1.
又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1， B1D1⊥平面CAA1C1.
又 B1D1平面CB1D1，平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
7、证明:（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
F1
连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD，
所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，
又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D，
所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，
所以直线EE//平面FCC.
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
（2）连接AC,在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,
所以CC1⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4, BC=2,
F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，
,△ACF为等腰三角形，且
所以AC⊥BC, 又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C,
所以AC⊥平面BB1C1C,而平面D1AC,
所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.
8．（1）证明：∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=AD=AC=a.在△PAB中，
∵PA2+AB2=2a2=PB2,
∴PA⊥AB，同时PA⊥AD，又ABAD=A，

∴PA⊥平面ABCD.……………………4分
（2）作EG//PA交AD于G，连接GF.
………………6分
则
∴GF//AB.……………………8分
又PAAB=A，EGGF=G，
∴平面EFG//平面PAB，……………………9分
又EF平面EFG，
∴EF//平面PAB.……………………10分
9．(1) 在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5，
∴，∴；又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，
同理可得
∵，∴
∵平面ABC，∴PA⊥BC.
(2) 如图所示取PC的中点G，
连结AG，BG，∵PF:FC=3:1,∴F为GC的中点
又D、E分别为BC、AC的中点，
∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F
∴面ABG∥面DEF
即PC上的中点G为所求的点。
（3）
10、（1）直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，
则BB1⊥AB，BB1⊥BC，
又由于AC=BC=BB1=1，AB1=，则AB=，
则由AC2+BC2=AB2可知，AC⊥BC，
又由上BB1⊥底面ABC可知BB1⊥AC，则AC⊥平面B1CB，
所以有平面AB1C⊥平面B1CB； ----------------------------------- 8分
（2）三棱锥A1—AB1C的体积．----------14分
11、（1）设AB1与A1B相交于F，连EF，DF．则EF为△AA1B1的中位线，∴EFA1A．……2分
∵C1DA1A，∴EFC1D，则四边形EFDC1为平行四边形，∴DF∥C1E． ……4分
∵C1E平面A1BD，DF平面A1BD，∴C1E∥平面A1BD． ……6分
（2）取BC的中点H，连结AH，B1H，
由正三棱柱ABC－A1B1C1，知AH⊥BC， ……8分
∵B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AH．∵B1B∩BC＝B，∴AH⊥平面B1BCC1．∴AH⊥BD． ……10分
在正方形B1BCC1中，∵tan∠BB1H＝tan∠CBD＝，∴∠BB1H＝∠CBD．则B1H ⊥BD．……12分
∵AH⊥∩B1H＝H，∴BD⊥平面AHB1．∴BD⊥AB1．
在正方形A1ABB1中，∵A1B⊥AB1．而A1B∩BD＝B，∴AB1⊥平面A1BD． ……14分
12.解：（I）证明：取B1C1的中点Q，连结A1Q，PQ，
∴△PB1C1和△A1B1C1是等腰三角形，
∴B1C1⊥A1Q，B1C1⊥PQ， …………2分
∴B1C1⊥平面AP1Q， …………4分
∴B1C1⊥PA1， …………6分

∵BC∥B1C1，∴BC⊥PA1. …………7分
（II）连结BQ，在△PB1C1中，PB1=PC1=，B1C1=2，Q为中点，
∴PQ=1，∴BB1=PQ，…………9分
∴BB1∥PQ，∴四边形BB1PQ为平行四边形，
∴PB1∥BQ. …………11分
∴BQ∥DC1，
∴PB1∥DC1，…………12分
又∵PB1面AC1D，
∴PB1∥平面AC1D. …………14分

13.证：（I）证明：在中，

又平面平面
平面平面平面
平面
平面
（Ⅱ）解：由（I）知从而
在中，

又平面平面

平面平面，平面
而平面
综上，三棱锥的侧面积，

14. (Ⅰ)解:因为,,且,
所以……………………………………………………………………………………………(4分)
又,所以四边形为平行四边形,则……………………………………(6分)
而,故点的位置满足………………………………………………………(8分)
(Ⅱ)证: 因为侧面底面,,且,
所以,则…………………………………………………………………(10分)
又,且,所以 …………(14分)
而,所以…………………………………………………(16分)
15、（1）取PD中点Q，连EQ、AQ，则∵QE∥CD，CD∥AB，∴QE∥AB，
又∥AQ
又∥平面PAD
（2）PA⊥底面ABCD ∴CD⊥PA，又CD⊥AD∴CD⊥平面PAD ∴AQ⊥CD若PA=AD，∴Q为PD中点，
∴AQ⊥PD ∴AQ⊥平面PCD∵BE∥AQ，∴BE⊥平面PCD
16．证明：（I）证明：∵ABC—A1B1C1是三直棱柱，
∴平面ABC⊥平面A1ABB1，∵AC=BC，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，平面ABC∩平面A1ABB1=AB，∴CD⊥平面A1ABB1。
（II）证明：连结BC1，设BC1与B1C的交点为E，连结DE。
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE//AC1。
∵DE平面CDB1，AC平面CDB1，
∴AC1//平面CDB1。
17．（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD⊥AB，
G
B
A
D
C
F
E
∴AD⊥平面ABE，AD⊥AE．
∵AD∥BC，则BC⊥AE．
又BF⊥平面ACE，则BF⊥AE．
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE．
（2）设AC∩BD=G，连接FG，易知G是AC的中点，
∵BF⊥平面ACE，则BF⊥CE．
而BC=BE，∴F是EC中点． …………………10分
在△ACE中，FG∥AE，
∵AE平面BFD，FG平面BFD，
∴ AE∥平面BFD． ………………………14分
18、解：（1）证明：连接与相交于，则为的中点，连结，又为的中点，∴，又平面，∴平面．…………4分
（2）∵，∴四边形为正方形，∴，又∵面，∴，∴面，∴，
又在直棱柱中，∴平面．………………8分
（3）当点为的中点时，平面平面，
、分别为、的中点，∴，平面，
∴平面，又平面，∴平面平面．…………14分
19、证明：（1）在中，
∵、分别为、的中点，
∴ 4分
又
∴ ………………7分
（2）∵三棱柱是直三棱柱
∴，
∵平面，
∴ ………………9分
∵在中，，为的中点，
∴ ………………11分
∵、平面
∴平面
又平面
∴ ………………14分
20．(1)证明：E、P分别为AC、A′C的中点，
EP∥A′A，又A′A平面AA′B，EP平面AA′B
∴即EP∥平面A′FB …………………………………………7分
(2) 证明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC
∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC
BC平面A′BC
∴平面A′BC⊥平面A′EC …………………………………………14分
21．（1）证法一：连接AC．
因为四边形ABCD为矩形，所以AC过点O，且O为AC的中点．
又因为点E为PC的中点，所以EO//PA．…………………………………………………………4分
因为PAÌ平面PAD，EO平面PAD，所以EO∥面PAD．……………………………………7分
证法二：取DC中点F，连接EF、OF．
因为点E、O分别为PC和BD的中点，所以EF//PD，OF//BC．
在矩形ABCD中，AD//BC，所以OF//AD．
因为OF平面PAD，ADÌ平面PAD，所以OF//平面PAD．
同理，EF//平面PAD．
因为OF∩EF＝F，OF、EFÌ平面EOF，
所以平面EOF//平面PAD． …………………………………………………………………………4分
因为EOÌ平面OEF，所以EO∥平面PAD．……………………………………………………7分
证法三：分别取PD、AD中点M、N，连接EM、ON、MN．
因为点E、O分别为PC和BD的中点，所以EMCD，ONAB．
在矩形ABCD中，ABCD，所以EMON．
所以四边形EMNO是平行四边形．所以EO//MN．………………………………………………4分
因为MNÌ平面PAD，EO平面PAD，所以EO∥面PAD． …………………………………7分
（2）证法一：因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD．…………………………………………9分
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CDÌ平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD．………………………………………………………………………………12分
又因为CDÌ平面PDC，
所以平面PDC⊥平面PAD． ………………………………………………………………………14分
证法二：在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为F．
因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PF⊥平面ABCD．
因为CDÌ平面ABCD，所以PF⊥CD． ………………………………………………………9分
因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD．……………………………………………………11分
因为PF∩AD＝F，所以CD⊥平面PAD．………………………………………………………12分
又因为CDÌ平面PDC，
所以平面PDC⊥平面PAD．………………………………………………………………………14分
22. 解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，
∴CD＝2，AD＝4．
∴SABCD＝．
则V＝．
（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，
∴AF⊥PC． ……………… 7分
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，
∴EF∥CD．则EF⊥PC． ……… 9分
∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 10分
（Ⅲ）证法一：
取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．
∵EM 平面PAB，PA平面PAB，
∴EM∥平面PAB． ……… 12分
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，
∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．
∵MC 平面PAB，AB平面PAB，
∴MC∥平面PAB． ……… 14分
∵EM∩MC＝M，
∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC平面EMC，
∴EC∥平面PAB． ……… 15分
23.
24、证明 ：(Ⅰ)连，在等边中有，而，
----3分
A
B
C
E
D
在中，，则，由对称性知，
在中，则
又，----7分
(Ⅱ)在梯形中，易知
----10
又
-------14分
25．（1）连结交于点，连结，
因为为中点，为中点，所以， …………………2分
，，所以，………………6分
（2）因为，所以，
又因为，且，所以 ．…………8分
因为，所以 ．………………………………………………………………10分
因为，所以．
因为，所以．……………………………………………………………12分
又因为，所以．………………………………………………14分
26．

27、证明：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则

（2）

（3）
且
，

∴ 即
=
=
28．解:（1）解由三棱柱是正三棱柱，且棱长均为2，
可知底面是正三角形，侧面均为正方形，

C
1
B
1
A
1
E
D
C
B
A
故三棱柱的全面积.
(2) 在正三棱柱中，因为分别是的中点，
可知,又∥,
所以四边形是平行四边形，故∥,
又平面,平面,
所以∥平面.
(3) 连,设与相交于，
则由侧面为正方形，可知与互相平分.
在△中，,
同理可得,故,
连,可得.
连,同理可证,
又与相交于，故平面.
因为平面, 故平面平面.
29. 解：（1）取BB1 中点G，连DG,EG
∵B1D=AD， B1G=GB，∴DG//AB，同理GE//BC,
∵DGGE=G，ABBC=B，∴平面DGE//平面ABC ,
∵DE平面DGE，∴DE//平面ABC . ………………5分
（2） ∵AB=AC=2 BAC= , ∴BC=2
在中EC=1 ∴=3 = ∴
又∵ , ∴平面,∴
∵， , ∴平面 ………………10分
（3）EF=. ，=1 …14分
30.解：(1)证明∵O、H分别为AE、AB的中点
∴OH//BE，又OH不在面BDE内
∴直线OH//面BDE
(2) O为AE的中点AD＝DE，∴DOAE
∵DO=，DB=2，BO2＝10
∴
∴又因为AE和BO是相交直线
所以，DO面ABCE， 又OD在面ADE内
∴面ADE面ABCE.
31．证明：
(I)连结BD1，∵E、F分别为BC、CD1中点；
∴EF∥BD1， ………………2分
又∵BD1平面BB1D1D ，EF平面BB1D1D
∴EF∥平面BB1D1D； ………………4分(少一条件扣1分)
(Ⅱ)取CD中点M，连结BM，则DM=CM=2，
∵AB∥CD，ABAD，
∴四边形ABMD是正方形，则DM=CM=BM=2，
∴BCBD， ………………7分（或由计算证明）
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，有BCBB1，且BD∩BB1=B，
∴BC平面BB1D1D； ………………9分
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
F
D1
第31题图
M
N
(Ⅲ)取BD1中点N，连结FN，则FN∥BC， ………………10分
由(Ⅱ)知BC平面BB1D1D，∴FN平面BB1D1D，
则FN是四棱锥F-BB1D1D的高，且
∵S四边形BB1D1D=
∴ ………………14分

32.
33、解：（Ⅰ）因为，所以．同理．
又，故平面． 5分
（Ⅱ）设与平面的交点为，连结、．因为平面，
所以，所以是二面角的平面角．
又，所以，即．
在平面四边形中，，
所以．故平面平面． 14分
35. 解：（Ⅰ）证明：取的中点，连接
B
A1
1
B
1
A
C
C
1
M
N
E
因为是正三角形，
所以
又是正三棱柱，
所以面，所以
所以有面
因为面
所以；
（Ⅱ）为的三等分点，．
连结，，
∵ ，∴ ．
∴ ， ∴
又∵面，面
∴ 平面
36．证明:（Ⅰ）连结，设交于,连结．
∵点是的中点,点是的中点，
∴DE∥． …………3分
∵平面, DE 平面,
∴∥平面． …………6分
（Ⅱ）∵是正三角形, 点是的中点,
∴.
∵平面平面,平面平面,平面,
∴平面.
∵平面,
∴. ………………………………9分
（第17题）
∵点是中点, ，
∴．
∵,
∴Rt△∽Rt△．
∴．
∴
＝．
∴ …………………………………13分
∵,
∴⊥平面．