1、第四节第四节 有理函数积分有理函数积分一、有理函数积分一、有理函数积分二、可化为有理函数积分举例二、可化为有理函数积分举例返回返回第1页第1页两个多项式商表示函数称为有理函数两个多项式商表示函数称为有理函数.一、有理函数积分一、有理函数积分其中其中 都是非负整数；都是非负整数；及及 都是实数，并且都是实数，并且 .假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；这有理函数是假分式；注注解解利用多项式除法利用多项式除法,假分式能够化成一个多项式和一个真假分式能够化成一个多项式和一个真分式之和分式之和.第2页第2页（1 1）分母中
2、若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为有理函数化为部分分式之和普通规律：有理函数化为部分分式之和普通规律：其中其中都是常数都是常数特殊地：特殊地：分解后为分解后为（2 2）分母中若有因式）分母中若有因式 ,其中其中则分解后为则分解后为其中其中都是常数都是常数特殊地：特殊地：分解后为分解后为（3 3）真分式化为部分分式之和真分式化为部分分式之和待定系数法待定系数法第3页第3页例例1解解第4页第4页代入特殊值来拟定系数代入特殊值来拟定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 2解解第5页第5页例例3 3整理得整理得解解第6页第6页例例4 4 求积分求积分 解解第7页第7页例例5 5
3、 求积分求积分 解解第8页第8页例例6 6 求积分求积分解解令令第9页第9页第10页第10页阐明阐明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：情况：多项式多项式；讨论积分讨论积分令令第11页第11页则则记记第12页第12页这三类积分均可积出这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数原函数都是初等函数有理函数原函数都是初等函数.返回返回第13页第13页由三角函数和常数通过有限次四则运算构成函数由三角函数和常数通过有限次四则运算构成函数二、可化为有理函数积分举例二、可化为有理函数积分举例称之普通记为称之普通记为第1
4、4页第14页令令（万能置换公式）（万能置换公式）第15页第15页例例7 7 求积分求积分解解由万能置换公式由万能置换公式第16页第16页第17页第17页例例8 8 求积分求积分解（一）解（一）第18页第18页解（二）解（二）修改万能置换公式修改万能置换公式,令令第19页第19页解（三）解（三）能够不用万能置换公式能够不用万能置换公式.结论结论比较以上三种解法比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最便知万能置换不一定是最佳办法佳办法,故三角有理式计算中先考虑其它手段故三角有理式计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换不得已才用万能置换.第20页第20页例例9 9 求积分求积分解解第21页第21页第22页第22页讨论类型讨论类型处理办法处理办法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例10 10 求积分求积分解解 令令简朴无理函数积分简朴无理函数积分第23页第23页第24页第24页例例11 11 求积分求积分解解 令令阐明阐明无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数取根指数最小公倍数最小公倍数.第25页第25页例例12 12 求求解解 为了能同时消去被积函数中出现两个根式，可令为了能同时消去被积函数中出现两个根式，可令 于是于是 ，从而所求积分为，从而所求积分为返回返回第26页第26页
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