圆锥曲线小题练习汇编.doc

8、你是如何得志DIY手工艺制品的？
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1、DIY手工艺市场状况分析
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1、购买“女性化”
400-500元 13 26%圆锥曲线小题练习02

1．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为
（A） （B） （C） （D）1
2．椭圆的一个焦点为，该椭圆上有一点，满足是等边三角形（为坐标原点），则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．若抛物线上有一条长为6的动弦，则的中点到轴的最短距离为（ ）
A． B．
C．1 D．2
4．过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于，则为（ ）
A、4 B、-4 C、 D、
5．如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则的离心率是（ ）．
x
O
A
y
F1

F2

A． B． C. D．
6．若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则实数等于（ ）
A. B. C. D.
7．过抛物线焦点的直线交抛物线于，为坐标原点，则的值
A． B． C． D．
8．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于、两点，为坐标原点，的面积为，则双曲线的离心率（ ）
A. B. C. D.
9．设抛物线的焦点为F，过点M（-1，0）的直线在第一象限交抛物线于A、B，使，则直线AB的斜率（ ）
A B C D
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线轴交双曲线的渐近线于点．若以为直径的圆恰过点，则该双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
11．已知椭圆方程，椭圆上点M到该椭圆一个焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，O是椭圆的中心，那么线段ON的长是（　　）
A.2 B.4 C.8 D.
12．已知双曲线与抛物线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
13．已知双曲线C：﹣=1，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B 两点且=3，则双曲线离心率的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．2
14．过椭圆左焦点 作x轴的垂线交椭圆于点P，为右焦点，若 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
15．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离（ ）
A． B． C． D．
16．已知Ｐ是抛物线上的一个动点，则点Ｐ到直线和的距离之和的最小值是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
17．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m＜0)的半径为2，椭圆C：1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
18．设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为
A． B． C． D．
19．椭圆上存在个不同的点，椭圆的右焦点为。数列是公差大于的等差数列，则的最大值是（ ）
A.16 B.15 C.14 D.13
20．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：， 点是它的两个焦点，当静止的小球放在点处，从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点时，小球经过的最长路程是（ ）
A.20 B.18 C.16 D.14
21．已知点，椭圆与直线交于点，则的周长为( )
A．4 B．8 C．12 D．16
22．我们把离心率的椭圆叫做“优美椭圆”。设椭圆为优美椭圆，F、A分别是它的右焦点和左顶点，B是它短轴的一个端点，则等于（ ）
A.600 B.750 C.900 D.1200
23．在椭圆上有一点，是椭圆的左、右焦点，为直角三角形，则这样的点有（ ）
A.3个 B.4个 C.6个 D.8个
24．若点在上，点在上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
25．已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点，且。若的面积为9，则（ ）.
A．3 B．6 C．3 D．2
26．设P是椭圆上一动点，F1,F2分别是左、右两个焦点则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.

28．椭圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A、3 B、 C、 D、
29．已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且，为三角形的内心，若， 则的值为（ ）

A． B． C． D．
30．设M为椭圆上的一个点，,为焦点,，则的周长和面积分别为 （ ）
A.16， B.18， C.16， D.18，
31．已知点分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则（ ）
A．4 B．8 C．16 D．20
32．点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．
33．若直线与双曲线的左支交于不同的两点，则取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
34．曲线与直线交于两点，为中点，则（ ）
A B C D
35．椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
36．过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于两点，则的值等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
37．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
38．若椭圆和双曲线有相同的左右焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则的值是（ ）
A. B.
C. D.
39．点是双曲线在第一象限的某点，、为双曲线的焦点.若在以为直径的圆上且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
40．已知点是以为焦点的椭圆上一点，若，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B. C． D．

41．已知双曲线E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是________．
42．设抛物线 （t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，则p的值为_________.
43．双曲线3x2-y2=3的顶点到渐近线的距离是________.
44．已知双曲线的两条渐近线方程为，则双曲线方程为 ▲ ．
45．F1，F2是椭圆＋y2＝1的左右焦点，点P在椭圆上运动．则的最大值是________．
46．已知椭圆，左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若的最大值为，则的值是 .
47．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为
48．已知直线l：与交于A、B两点，F为抛物线的焦点，则___________．
49．已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数 ．
50．已知直线l1：4x﹣3y+16=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1的距离为d1，动点P到直线l2的距离为d2，则d1+d2的最小值为
51．已知是椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，若
52．过点作直线交椭圆于两点，若点恰为线段的中点，则直线的方程为 ．
53．过椭圆的左顶点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点，为中点，定点满足：对于任意的都有，则点的坐标为 ．

54．已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，且为坐标原点）为正三角形，若射线与椭圆相交于点，则与的面积的比值为______．
55．设椭圆的两个焦点F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰Rt△，则椭圆的离心率_____________.
56．已知椭圆C：，斜率为1的直线与椭圆C交于两点，且，则直线的方程为 .
57．抛物线上两点、关于直线对称，且，则等于 .
58．直线与椭圆相交于两点，则
59．已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____________.
60．直线与椭圆相交于A,B两点，且恰好为AB中点，则椭圆的离心率为

参考答案
1．C
【解析】
试题分析：设（不妨设），则
，故选C.
【考点】抛物线的简单几何性质，平面向量的线性运算
【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点的坐标，利用向量法求出点的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把斜率用参数表示出后，可根据表达式形式选用函数或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．
2．A
【解析】
试题分析：不妨设为椭圆的右焦点，点在第一象限内，则由题意，得，代入椭圆方程，得，结合，化简整理，得，即，解得，故选A．
考点：椭圆的几何性质．
【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
3．D
【解析】
试题分析：设，的中点到轴的距离为，如下图所示，根据抛物线的定义，有，，故，最短距离为.

考点：抛物线的概念.
4．B.

【解析】解： 特例法：当直线垂直于轴时，
5．
【解析】
试题分析：由题意知，
的离心率是，故选
考点：椭圆、双曲线的几何性质.
6．C
【解析】双曲线的焦点坐标是，，
抛物线的焦点坐标是
所以，或
得
故选
【考点】抛物线和双曲线的焦点.
7．B
【解析】
若直线l垂直于x轴，则 ，.=．…（2分）
若直线l不垂直于轴，设其方程为 ，A（x1，y1）B（x2，y2）．
由 ．…（4分）
∴=x1x2+y1y2===．
综上，=为定值．…（6分）
故选B．
8．C
【解析】
试题分析：双曲线的性质.双曲线的渐近线方程为，准线方程为，又，即，，解得.
考点：双曲线、抛物线的性质.
9．B
【解析】本题考查直线和抛物线的综合应用。设直线AB方程为，A，B，由借助根与系数关系得：=1，，又所以=0，得斜率
10．D
【解析】
试题分析：双曲线的左焦点，得，当，得由于以为直径的圆恰过点，因此是等腰直角三角形，因此，即，，，
，故答案为D.
考点：双曲线的简单几何性质.
11．B
【解析】
试题分析：根据椭圆的方程算出a=5，再由椭圆的定义，可以算出|MF2|=10﹣|MF1|=8．因此，在△MF1F2中利用中位线定理，得到|ON|=|MF2|=4．
解：∵椭圆方程为，
∴a2=25，可得a=5
∵△MF1F2中，N、O分别为MF1和MF1F2的中点
∴|ON|=|MF2|
∵点M在椭圆上，可得|MF1|+|MF2|=2a=10
∴|MF2|=10﹣|MF1|=8，
由此可得|ON|=|MF2|==4
故选：B

点评：本题给出椭圆一条焦半径长为2，求它的中点到原点的距离，着重考查了三角形中位线定理、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
12．C
【解析】
试题分析：设，根据抛物线的焦半径公式：，所以，，代入双曲线的方程，，解得：，所以，双曲线方程是，渐近线方程是
考点：1．双曲线方程和性质；2．抛物线的定义．
名师点睛：对应抛物线和两个圆锥曲线相交的问题，多数从交点所满足的抛物线的定义入手，得到交点的坐标，然后代入另一个圆锥曲线，解决参数的问题．
13．C
【解析】
试题分析：由题意，A在双曲线的左支上，B在右支上，根据=3，可得3x2﹣x1=2c，结合坐标的范围，即可求出双曲线离心率的最小值．
解：由题意，A在双曲线的左支上，B在右支上，
设A（x1，y1），B（x2，y2），右焦点F（c，0），则
∵=3，
∴c﹣x1=3（c﹣x2），
∴3x2﹣x1=2c
∵x1≤﹣a，x2≥a，
∴3x2﹣x1≥4a，
∴2c≥4a，
∴e=≥2，
∴双曲线离心率的最小值为2，
故选：C．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
14．B
【解析】
试题分析：由题意，得，在中，，，所以，即，即，解得；故选B．
考点：椭圆的几何性质．
【技巧点睛】本题考查椭圆的定义和几何性质，属于中档题；在处理圆锥曲线的几何性质的有关问题时，熟记一些常见结论，可减少运算量，提高解题速度，如本题中应用“椭圆通径的长度为”可直接写出点的坐标，通径是过圆锥曲线的交点且与焦点所在坐标轴垂直的弦，其长度为（椭圆或双曲线的通径）或（抛物线的通径）.
15．D
【解析】
试题分析：本题考查椭圆的定义：到两定点距离之和为定值的点的轨迹，两定点为焦点，距离之和为椭圆的长轴长．由题意可知长轴等于，所以点到另一焦点的距离为，所以正确选项为D．
考点：椭圆概念．
16．D
【解析】
试题分析：：∵x=-1是抛物线的准线，∴P到x+2=0的距离等于|PF|+1，∵抛物线的焦点F（1，0），∴过P作3x-4y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P，∴点P到直线：3x-4y+6=0的距离和到直线：x=-1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线3x-4y+6=0距离，∴P到直线：3x-4y+6=0和：x+2=0的距离之和的最小值是
考点：抛物线的简单性质
17．C
【解析】
试题分析：圆的方程可化为，则由题意得，即，∴ ，则圆心的坐标为，由题意知直线的方程为，又∵ 直线与圆相切，∴，∴，∴．
考点：椭圆的标准方程及直线与圆的位置关系．
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用、之间与圆的位置关系的应用，属于基础题题，同时着重考查了学生的运算能力和分析、解答问题的能力，本题的解答中，把圆的方程化为圆的标准方程，可求解，即圆心的坐标为，再由直线的方程为，利用直线与圆相切，∴，从而求解．
18．A
【解析】
试题分析：由题意可知
考点：椭圆离心率
19．B
【解析】
试题分析：由题意，设Pn的横坐标为xn
则由椭圆定义有
∴
∴n的最大值为15
考点：数列与解析几何的综合
20．C
【解析】
试题分析：依题意可知小球经两次椭圆壁后反弹后回到A点，
根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×4=16
考点：椭圆的应用
21．B
【解析】
试题分析：由椭圆方程可知，点为又交点，直线过左焦点，由椭圆定义可知的周长为
考点：椭圆定义及方程性质
22．C
【解析】
试题分析：
在椭圆中有，|FA|=a+c，|FB|=a，|AB|= ，
∴|FA|2=（a+c）2=a2+c2+2ac，|FB|2+|AB|2=2a2+b2=3a2-c2，
∴|FA|2=|FB|2+|AB|2= ，
所以∠FBA等于 90°
考点：椭圆的简单性质
23．C
【解析】
试题分析：当P在椭圆短轴顶点时,所以为直角三角形，当与x轴垂直时为直角三角形，所以这样的点有6个
考点：椭圆方程及性质
24．B
【解析】
试题分析：设，圆的圆心，半径 ，由二次函数性质可知的最小值为，所以的最小值为
考点：圆的对称性及两点间距离
25．A
【解析】
试题分析：由椭圆性质可知焦点三角形的面积公式为

考点：椭圆性质
26．C
【解析】
试题分析：由椭圆的对称性可知当点P为短轴顶点时最大，此时取得最小值，此时
考点：椭圆的简单性质
27．A
【解析】
试题分析：设，，，则根据中点坐标公式有，，将，代入曲线方程得，两式作差得，整理得，即，所以，即．
考点：点差法．
28．D
【解析】
试题分析：由，可得参数方程为； ，直线方程为；，
可运用点到直线的距离公式为；有最大值．
考点：椭圆参数方程及三角函数的性质.
29．D
【解析】
试题分析：由题：设的内切圆半径为，因为，
所以，又因为P为双曲线右支上一点，所以，
又因为
考点：双曲线的定义和性质的应用、三角形内切圆的性质及运算求解能力.
30．D
【解析】
试题分析：，，所以的周长为,根据余弦定理：,
即,所以，故选D.
考点：椭圆的几何性质
31．D
【解析】
试题分析：因为双曲线：的标准方程为，所以，，，由双曲线的定义和余弦定理得，，解得，，选D．
考点：余弦定理及双曲线定义.
32．A
【解析】
试题分析：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，
∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|，则，设PA的倾斜角为α，则sinα= ，
当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为y=kx-1，代入x2=4y，可得x2=4（kx-1），即x2-4kx+4=0，
∴△=16k2-16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为PA-PB=2（-1），
∴双曲线的离心率为
考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
33．C
【解析】
试题分析：联立方程得…①
若直线y=kx+2与双曲线的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负根
∴解得：k∈
考点：双曲线的简单性质
34．D
【解析】
试题分析：联立，得，
设P ，Q ，则，，
∴M坐标为，则
考点：椭圆的简单性质及直线与椭圆位置关系的应用
35．B
【解析】
试题分析：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，|AF1|=a-c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，
∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，∴（2c）2=（a-c）（a+c），∴，即，
∴，即此椭圆的离心率为
考点：椭圆的简单性质；等比关系的确定
36．C
【解析】
试题分析：设A ，B ，则

又 ，可得 ，
则
考点：抛物线的简单性质
37．C
【解析】
试题分析：设P（x，y），
则，
又点P在椭圆上，故，
所以，
又-2≤x≤2，
所以当x=2时，取得最大值为6，即的最大值为6
考点：平面向量数量积的运算；椭圆的简单性质
38．A
【解析】
试题分析：PF1+PF2=2m，|PF1- PF2|=，
所以+ +2 PF1•PF2=4m，-2 PF1•PF2+ =4a，两式相减得：
4 PF1•PF2=4m-4a，∴PF1•PF2=m-a
考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
39．D
【解析】
试题分析：根据题画图，可知P为圆与双曲线的交点，根据双曲线定义可知：，所以，又，即，所以，，双曲线离心率，所以。
考点：双曲线的综合应用。
40．D
【解析】
试题分析：由题得为直角三角形，设，则
∴，
∴
考点：抛物线的简单性质
41．
【解析】
试题分析：依题意，不妨设，作出图象如下图所示

则故离心率.
【考点】双曲线的几何性质
【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.解答本题，可利用特殊化思想，通过对特殊情况求解，得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好地考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等.
42．
【解析】
试题分析：抛物线的普通方程为，，，
又，则，由抛物线的定义得，所以，则，
由得，即，
所以，，
所以，解得．
【考点】抛物线定义
【名师点睛】1．凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离进行处理．
2．若P（x0，y0）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
43．
【解析】由已知得x2-=1,∴渐近线方程为y=±x.顶点(±1,0),∴顶点到渐近线距离d=.
44．
【解析】
45．1
【解析】设P(x，y)，依题意得F1(－，0)，F2(，0)，＝(－－x)(－x)＋y2＝x2＋y2－3＝x2－2.∵0≤x2≤4，∴－2≤x2－2≤1.∴的最大值是1.
46．
【解析】
试题分析：由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，
∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，∴|BF2|+| AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8
∴| BF2|+| AF2|=8-|AB|.
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此时|AB|=b2，∴6=8-b2，
解得b＝.
考点：椭圆的简单性质
47．4
【解析】
试题分析：由椭圆方程可知右焦点为，所以抛物线焦点为，所以
考点：抛物线椭圆方程及性质
48．1
【解析】
试题分析：的焦点为，代入直线方程成立，所以直线过焦点，所以由抛物线性质可知

考点：直线与抛物线相交的综合问题
49．
【解析】
试题分析：根据抛物线的焦半径公式得，p=8．
取M（1，4），则AM的斜率为2，由已知得- ×2=-1，故a= ．
考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质
50．4
【解析】
试题分析：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），
由抛物线的定义可得：|PF|=d2，
∴d1+d2的最小值为点F到直线l1的距离．
∴d1+d2的最小值=
考点：点到直线的距离公式
51．
【解析】
试题分析：由椭圆方程可知，焦点三角形的面积为
考点：椭圆方程及性质
52．
【解析】
试题分析：设，，代入方程，两式相减得到：
，
当时，整理为：，而，所以直线方程为
，整理为：，故填：.
考点：点差法
53．
【解析】
试题分析：设直线方程，与椭圆方程联立，，消元得到：，化简得：，所以，，所以，又点P为AC的中点，所以，则，
令，得，假设存在点，使,则
即， 所以恒成立，所以，解得，
因此定点Q的坐标为.
考点：直线与椭圆的位置关系
54．
【解析】
试题分析：由题设条件，不妨设，连结，则由知为直角三角形．由椭圆定义可得，即，，则椭圆方程为．直线的方程为，联立椭圆方程，消得 ，解得或，所以点的纵坐标为，所以，又面积为，所以与的面积的比值为．
考点：1、椭圆的定义及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．
55．
【解析】
试题分析：由等腰三角形可知
考点：椭圆方程及性质
56．
【解析】
试题分析：设直线方程为，联立可得

，所以直线方程为
考点：直线与椭圆相交的位置关系
57．
【解析】
试题分析：由条件得A 、B 两点连线的斜率，
而 ①，得 ②，且在直线上，
即，即 ③
又因为A、B两点在抛物线上，
所以有，：即 ④，
把①②代入④整理得2m=3，解得
考点：直线与圆锥曲线的关系
58．
【解析】
试题分析：把代入椭圆化简可得，
∴，
由弦长公式可得
考点：直线与椭圆方程相交的弦长问题
59．3
【解析】
试题分析：在椭圆中，点P在椭圆上，为椭圆的焦点三角形，由.可知
由焦点三角形面积公式可知
考点：椭圆性质
60．
【解析】
试题分析：由，消去x，得，
，
设A ，B ，则，
∵线段AB的中点为（-1，1），∴，于是得，
又，∴，∴
考点：椭圆的简单性质