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第七章第七章 数学中公理化办法数学中公理化办法第1页第1页1 公理化办法概述公理化办法概述数学公理化办法，是数学发展到一定阶段产物它在近代数学发展中曾起过巨大作用，并且对于当代数学发展也有着极其深刻影响即使在数学教学中，公理化办法也是一个十分主要办法第2页第2页一、公理化办法含义一、公理化办法含义公理化方法是从尽也许少基本概念和基本公理出发，应用严格逻辑推理，使一门数学建成为演绎系统一个方法在理论形式上，这些基本概念和基本公理，是逻辑推理前提，是数学需要作为自己出发点少数思想上要求第3页第3页由公理化办法把一个数学分支建成为演绎体由公理化办法把一个数学分支建成为演绎体系，关键是引进基本概念，设置基本公理系，关键是引进基本概念，设置基本公理基本概念是一些不需定义或隐约地受到公理制约基本概念是一些不需定义或隐约地受到公理制约原始概念，它们必须是真正基本，无法用更原始、原始概念，它们必须是真正基本，无法用更原始、更简朴概念去定义概念，必须是对数学实体高度更简朴概念去定义概念，必须是对数学实体高度纯化抽象。纯化抽象。基本公理是无条件、互相制约要求，是作为对各基本公理是无条件、互相制约要求，是作为对各个基本概念互相关系和基本性质阐述和要求，是个基本概念互相关系和基本性质阐述和要求，是一些不证自明命题。基本公理不是能够随意选定，一些不证自明命题。基本公理不是能够随意选定，一个良好公理系统，所设置公理应当满足下列三一个良好公理系统，所设置公理应当满足下列三项基本要求：项基本要求：第4页第4页1相容性相容性公理相容性也称无矛盾性或友好性，是指公理相容性也称无矛盾性或友好性，是指同一公理系统中公理，不能自相矛盾；由同一公理系统中公理，不能自相矛盾；由这些公理推出一切结果，也不能有丝毫矛这些公理推出一切结果，也不能有丝毫矛盾。即不允许既能证实某定理成立，又能盾。即不允许既能证实某定理成立，又能证实它反面也成立情况存在。证实它反面也成立情况存在。第5页第5页2独立性独立性公理独立性，是指一个公理系统中所有公公理独立性，是指一个公理系统中所有公理，不能互相推出。这就是要求该系统中理，不能互相推出。这就是要求该系统中公理数目减少到最低程度，不允许公理集公理数目减少到最低程度，不允许公理集合中出现多出公理，这也是对数学合中出现多出公理，这也是对数学“简朴简朴美美”一个追求。一个追求。第6页第6页3完备性完备性公理完备性，是要求对一个公理系统中所公理完备性，是要求对一个公理系统中所有基本概念性质，都作出明确要求，使得有基本概念性质，都作出明确要求，使得这个系统中所有命题都能毫无例外地在本这个系统中所有命题都能毫无例外地在本系统中被证实，而在推理证实过程中，无系统中被证实，而在推理证实过程中，无需再用到直觉，因此，必要公理不能省略。需再用到直觉，因此，必要公理不能省略。不然，将有一些真实命题得不到理论证实不然，将有一些真实命题得不到理论证实或在证实过程中理由不充足。或在证实过程中理由不充足。第7页第7页上述三项基本要求中，最主要是相容性。上述三项基本要求中，最主要是相容性。由于一个公理系统假如违反了相容性要求，那么由于一个公理系统假如违反了相容性要求，那么以这个系统中公理作为逻辑推理大前提，所推出以这个系统中公理作为逻辑推理大前提，所推出结果必定矛盾百出，造成逻辑上混乱，因而这样结果必定矛盾百出，造成逻辑上混乱，因而这样公理系统难以帮助人们结识现实世界空间形式和公理系统难以帮助人们结识现实世界空间形式和数量关系，是毫无实际价值。独立性和完备性是数量关系，是毫无实际价值。独立性和完备性是第二位要求，对于一个严谨公理系统，这两个要第二位要求，对于一个严谨公理系统，这两个要求也应得到满足，但是许多比较复杂数学分支，求也应得到满足，但是许多比较复杂数学分支，要它公理系统都能满足上述三项基本要求，则往要它公理系统都能满足上述三项基本要求，则往往比较困难。往比较困难。公理化办法意义和作用，与其本身不断发展密切公理化办法意义和作用，与其本身不断发展密切相关。相关。第8页第8页二、公理化办法产生和发展二、公理化办法产生和发展综观公理化办法发展历史，大体能够分为综观公理化办法发展历史，大体能够分为三个阶段：三个阶段：第9页第9页1产生阶段产生阶段由亚里士多德完全三段论到由亚里士多德完全三段论到欧几里得几何原本问世。欧几里得几何原本问世。公元前三世纪，希腊哲学家亚里士多德在公元前三世纪，希腊哲学家亚里士多德在其逻辑著作工具论一书中，总结了古其逻辑著作工具论一书中，总结了古代积累起来逻辑知识，以数学及其它演绎代积累起来逻辑知识，以数学及其它演绎学科为例，把完全三段论作为公理，由此学科为例，把完全三段论作为公理，由此推出其它三段论。因此，亚里士多德是历推出其它三段论。因此，亚里士多德是历史上第一个正式给出公理系统作者。史上第一个正式给出公理系统作者。第10页第10页希腊著名数学家欧几里得在泰勒斯、毕达哥拉斯、希腊著名数学家欧几里得在泰勒斯、毕达哥拉斯、柏拉图等学派工作基础上，利用亚里士多德提供柏拉图等学派工作基础上，利用亚里士多德提供逻辑办法，写出了数学史上主要著作几何原本逻辑办法，写出了数学史上主要著作几何原本。这是古代数学公理化办法一个光辉成就。这是古代数学公理化办法一个光辉成就。几何原本问世，标志着公理化办法诞生，几何原本问世，标志着公理化办法诞生，几何原本奉献倒不在于发觉了几条新定理，几何原本奉献倒不在于发觉了几条新定理，而主要在于它把原先零乱、互不相关几何知识，而主要在于它把原先零乱、互不相关几何知识，按公理系统方式进行妥切安排，使得反应几何事按公理系统方式进行妥切安排，使得反应几何事实公理和定理都能与论证联系起来，构成一个有实公理和定理都能与论证联系起来，构成一个有条不紊有机整体。条不紊有机整体。第11页第11页2完整阶段完整阶段由罗巴切夫斯基非欧几何到由罗巴切夫斯基非欧几何到希尔伯特几何基础问世。希尔伯特几何基础问世。欧几里得几何公理系统意义十分巨大，影欧几里得几何公理系统意义十分巨大，影响极为深远，但它是不完善，尤其是第五响极为深远，但它是不完善，尤其是第五公设问题，当初大多数人认为它很像一条公设问题，当初大多数人认为它很像一条定理，企图用几何原本中其余公设和定理，企图用几何原本中其余公设和公理加以证实，但在证实中所用论据，要公理加以证实，但在证实中所用论据，要么是不知不觉地利用始终观明显性，要么么是不知不觉地利用始终观明显性，要么是利用了一个与第五公设等价命题。因此，是利用了一个与第五公设等价命题。因此，所有这些证实实质是无效。所有这些证实实质是无效。第12页第12页直到直到19世纪，俄国数学家罗巴切夫斯基吸世纪，俄国数学家罗巴切夫斯基吸取了前人两千多年来在证实第五公设中失取了前人两千多年来在证实第五公设中失败教训，结识到第五公设与其它几何公理败教训，结识到第五公设与其它几何公理是互相独立，除掉第五公设成立欧氏几何是互相独立，除掉第五公设成立欧氏几何外，还能够有第五公设不成立新几何系统外，还能够有第五公设不成立新几何系统存在。于是他在剔除第五公设而保留欧氏存在。于是他在剔除第五公设而保留欧氏几何其余公理前提下，引进了一个与第五几何其余公理前提下，引进了一个与第五公设相反公理：公设相反公理：“过平面上一已知直线外过平面上一已知直线外一点至少可引两条直线与该已知直线平行一点至少可引两条直线与该已知直线平行”，由此构成了一个新几何系统与欧氏几，由此构成了一个新几何系统与欧氏几何系统相并列。何系统相并列。第13页第13页非欧几何创建，大大提升了公理化办法信非欧几何创建，大大提升了公理化办法信誉，接着便有许多数学家致力于公理化办誉，接着便有许多数学家致力于公理化办法研究。如德国数学家康托尔与戴德金不法研究。如德国数学家康托尔与戴德金不约而同地拟成了连续性公理、德国数学家约而同地拟成了连续性公理、德国数学家巴许拟成了顺序公理。在这个基础上，希巴许拟成了顺序公理。在这个基础上，希尔伯特于尔伯特于1899年发表了几何学基础一年发表了几何学基础一书，改造了欧氏几何系统，完善了几何学书，改造了欧氏几何系统，完善了几何学公理化办法。公理化办法。第14页第14页3形式化阶段形式化阶段集合悖论出现后，希尔伯特在其集合悖论出现后，希尔伯特在其形式化研究办法，尤其是元数学（证实论）中，将形式化研究办法，尤其是元数学（证实论）中，将公理化办法推向一个新阶段。公理化办法推向一个新阶段。在欧氏几何原本公理系统中，概念直在欧氏几何原本公理系统中，概念直接反应着数学实体性质，并且那些概念、接反应着数学实体性质，并且那些概念、定义、公理表述以及定理论证往往受到直定义、公理表述以及定理论证往往受到直觉观束缚。因而，欧氏公理系统公理化可觉观束缚。因而，欧氏公理系统公理化可称为称为“实体公理化实体公理化”。第15页第15页然而在希氏几何学基础中，然而在希氏几何学基础中，不但在公理表述或定理论证上已挣脱了空不但在公理表述或定理论证上已挣脱了空间观念直觉成份，并且还为几何对象及其间观念直觉成份，并且还为几何对象及其关系进行更高一级抽象提供了基础。关系进行更高一级抽象提供了基础。第16页第16页于是，于是，只要满足公理系统中各个公理要求，那么只要满足公理系统中各个公理要求，那么所涉及对象就能够是任何事物，并且在公所涉及对象就能够是任何事物，并且在公理中表述事物或对象间关系时，其详细意理中表述事物或对象间关系时，其详细意义也能够是任意。因此，在几何学基础义也能够是任意。因此，在几何学基础问世以后，公理化办法不但进入了数学问世以后，公理化办法不但进入了数学其它各个分支，并且它本身也被推向了形其它各个分支，并且它本身也被推向了形式化阶段。式化阶段。第17页第17页以后希尔伯特将将某种数学理论（如自然以后希尔伯特将将某种数学理论（如自然数理论、几何理论等）作为一个整体加以数理论、几何理论等）作为一个整体加以研究，提出了希尔伯特规则，即：证实古研究，提出了希尔伯特规则，即：证实古典数学每个分支都能够公理化；证实每个典数学每个分支都能够公理化；证实每个这样系统都是完备；这样系统都是完备；证实每个这样系统都证实每个这样系统都是相容；证实每个这样系统所相应模型都是相容；证实每个这样系统所相应模型都是同构；寻找一个能够在有限环节内鉴定是同构；寻找一个能够在有限环节内鉴定任一命题可证实性办法。希尔伯特为详细任一命题可证实性办法。希尔伯特为详细实行这个规划而创建了证实论即元数学理实行这个规划而创建了证实论即元数学理论。论。第18页第18页希尔伯特对元数学研究，使公理化希尔伯特对元数学研究，使公理化办法进一步准确化：办法进一步准确化：把数学理论中定理及数学中使用逻辑规则把数学理论中定理及数学中使用逻辑规则排成演绎体系，并使用数学符号和逻辑符排成演绎体系，并使用数学符号和逻辑符号把数学命题变成公式，这样，所有数学号把数学命题变成公式，这样，所有数学命题便变成了公式集合，公理化数学理论命题便变成了公式集合，公理化数学理论便变成了演绎形式系统。元数学思想提出，便变成了演绎形式系统。元数学思想提出，标志着数学研究达到了新、更高水平，数标志着数学研究达到了新、更高水平，数学研究对象已不是详细、特殊对象，而是学研究对象已不是详细、特殊对象，而是抽象数学结构。从而，公理化被推向一个抽象数学结构。从而，公理化被推向一个新阶段即纯形式化阶段。新阶段即纯形式化阶段。第19页第19页三、公理化办法作用三、公理化办法作用数学公理化办法在整理数学知识，促使新数学公理化办法在整理数学知识，促使新理论创建，以及对整个科学理论表述都有理论创建，以及对整个科学理论表述都有着主要作用。着主要作用。第20页第20页1公理化办法是整理分析、加工总结数学经公理化办法是整理分析、加工总结数学经验资料，建立科学理论体系基本工具。验资料，建立科学理论体系基本工具。利用公理化办法，能够把零碎数学知识，利用公理化办法，能够把零碎数学知识，用逻辑链条串连起来，使之形成完整有机用逻辑链条串连起来，使之形成完整有机整体。这样，不但能使人们容易掌握，并整体。这样，不但能使人们容易掌握，并且也便于应用。且也便于应用。第21页第21页2公理化办法有助于比较数学各个分支实质公理化办法有助于比较数学各个分支实质性异同，增进数学摸索与基础研究，推动数性异同，增进数学摸索与基础研究，推动数学新理论产生。学新理论产生。从前面所述，能够看出，非欧几何就是在从前面所述，能够看出，非欧几何就是在研究和使用公理化办法过程中产生。研究和使用公理化办法过程中产生。第22页第22页3数学公理化办法在科学办法论上，对数学公理化办法在科学办法论上，对各门自然科学起着示范作用。各门自然科学起着示范作用。由于数学公理化办法表述数学理论简练性、由于数学公理化办法表述数学理论简练性、条理性和结构友好性，为其它科学理论表条理性和结构友好性，为其它科学理论表述起到了示范作用。于是其它科学纷纷效述起到了示范作用。于是其它科学纷纷效仿数学公理化模式，出现了各种理论公理仿数学公理化模式，出现了各种理论公理化系统，如理论力学公理化、相对论公理化系统，如理论力学公理化、相对论公理化及伦理学公理化等等。化及伦理学公理化等等。第23页第23页诚然，公理化办法含有重大作用，但也不能将它绝诚然，公理化办法含有重大作用，但也不能将它绝对化，必须辩证地看到它不足之处。对化，必须辩证地看到它不足之处。公理化办法假如不与试验办法相结合，则公理化办法假如不与试验办法相结合，则也许陷入错误；假如不与结识论科学办法也许陷入错误；假如不与结识论科学办法相结合，则也不会更加好地发觉问题；公相结合，则也不会更加好地发觉问题；公理系统相容性、独立性和完备性要求，不理系统相容性、独立性和完备性要求，不但在理论上难以所有满足，并且对于一些但在理论上难以所有满足，并且对于一些新兴数学分支或与生产实际关系密切科学新兴数学分支或与生产实际关系密切科学发展，反而是一个障碍。并且，用公理化发展，反而是一个障碍。并且，用公理化办法建立起来理论体系，最后还需受实践办法建立起来理论体系，最后还需受实践检查，以鉴定其真伪。检查，以鉴定其真伪。第24页第24页2 欧几里得几何公理系统简介欧几里得几何公理系统简介欧几里得几何原本是公理化办法雏形。欧几里得几何原本是公理化办法雏形。它主要内容包括下列几种方面。它主要内容包括下列几种方面。第25页第25页一、一、23条定义条定义（1）点是没有部分。）点是没有部分。（2）线是有长度而没有宽度。）线是有长度而没有宽度。（3）线界是点。）线界是点。（4）直线是这样线，它对于它任何点）直线是这样线，它对于它任何点 来来说，都是同样放置着。说，都是同样放置着。（5）面是只有长度和宽度。）面是只有长度和宽度。第26页第26页（6）面界是线。）面界是线。（7）平面是这样面，它对于它任何直线来）平面是这样面，它对于它任何直线来说，都是同样放置着。说，都是同样放置着。接着接着15条是关于角、平角、直角和垂线、条是关于角、平角、直角和垂线、钝角、锐角；圆、圆周和中心、直径、半钝角、锐角；圆、圆周和中心、直径、半圆、直线形、三角形、四边形、多边形、圆、直线形、三角形、四边形、多边形、等边三角形、等腰三角形、不等边三角形、等边三角形、等腰三角形、不等边三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、正方形、菱形、梯形定义。正方形、菱形、梯形定义。（23）平行线是在同一平面上并且向两侧）平行线是在同一平面上并且向两侧延长总不相交直线。延长总不相交直线。第27页第27页二、二、5条公设条公设（1）从一点到另一点必可引直线。）从一点到另一点必可引直线。（2）任始终线均可无限地延长。）任始终线均可无限地延长。（3）以任一点为中心，均能够任意长半径）以任一点为中心，均能够任意长半径画圆周。画圆周。（4）所有直角都是相等。）所有直角都是相等。（5）若两直线与第三条直线相交，其一侧）若两直线与第三条直线相交，其一侧两个内角之和小于两直角时，则把这两条两个内角之和小于两直角时，则把这两条直线向该侧充足地延长后一定相交。直线向该侧充足地延长后一定相交。第28页第28页三、三、9条公理条公理（1）各与同一个第三个量相等量必相等。）各与同一个第三个量相等量必相等。（2）相等量加上相等量仍为相等量。）相等量加上相等量仍为相等量。（3）相等量减去相等量仍为相等量。）相等量减去相等量仍为相等量。（4）不等量加上相等量获不相等量。）不等量加上相等量获不相等量。（5）相等量两倍仍为相等量。）相等量两倍仍为相等量。（6）相等量二分之一仍为相等量。）相等量二分之一仍为相等量。（7）能互相重叠是一定是相等量。）能互相重叠是一定是相等量。（8）整体不小于部分。）整体不小于部分。（9）过任意两点只能引一条直线。）过任意两点只能引一条直线。第29页第29页四、四、467条定理条定理欧几里得从上述公设和定理出发，利用演欧几里得从上述公设和定理出发，利用演绎办法，将当初所知几何知识所有推导出绎办法，将当初所知几何知识所有推导出来，共有来，共有467条几何命题。条几何命题。第30页第30页但是，欧几里得几何公理系统是不够完但是，欧几里得几何公理系统是不够完善，比如：善，比如：（1）有些定义是不自足。）有些定义是不自足。在给一些概念下定义时，使用了一些未加在给一些概念下定义时，使用了一些未加定义概念。定义概念。（2）有些定义是多出。）有些定义是多出。缺乏它们，并不影响后面论证。缺乏它们，并不影响后面论证。（3）有些定理证实是不严格。）有些定理证实是不严格。第31页第31页在证实过程中，经常依赖于图形直观。在证实过程中，经常依赖于图形直观。比如几何原本中一个命题证实：比如几何原本中一个命题证实：命题命题 三角形外角不小于每一个不相邻内角。三角形外角不小于每一个不相邻内角。第32页第32页第33页第33页第34页第34页第35页第35页
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