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第四章第四章 方程求解与代数符号化方程求解与代数符号化方程求解问题研究是代数学产生主要源泉。方程求解问题研究是代数学产生主要源泉。代数学基本办法：用符号表示研究对象以及代数学基本办法：用符号表示研究对象以及这些对象间关这些对象间关系。代数学发展历史，就是代数学符号化历系。代数学发展历史，就是代数学符号化历史：文字表示、缩记代数、符号代数学史：文字表示、缩记代数、符号代数学第1页第1页4.1早期方程求解办法早期方程求解办法4.1.1 4.1.1 4.1.1 4.1.1 配办法与数表法配办法与数表法配办法与数表法配办法与数表法 古巴比伦第古巴比伦第1390113901号泥版，记述了这样一号泥版，记述了这样一个问题：个问题：“把正方形面积加上正方形边长三分之二把正方形面积加上正方形边长三分之二得得35/6035/60，求该正方形边长。，求该正方形边长。”图图图图4.1 4.1 4.1 4.1 普林顿普林顿普林顿普林顿322322322322号泥版号泥版号泥版号泥版 这个问题相称于求解方程这个问题相称于求解方程 x x2+2+（2/32/3）x x=35/60=35/60。古巴比伦人解法则相称。古巴比伦人解法则相称于将方程于将方程 x x2+2+px px=q q系数代入公式系数代入公式第2页第2页古巴比伦人还讨论了一些三次方程和双二次方程古巴比伦人还讨论了一些三次方程和双二次方程古巴比伦人还讨论了一些三次方程和双二次方程古巴比伦人还讨论了一些三次方程和双二次方程解法，这些解法则统计在一些数表上。解法，这些解法则统计在一些数表上。解法，这些解法则统计在一些数表上。解法，这些解法则统计在一些数表上。图图4 4。1 1普林顿第普林顿第322322号泥版号泥版勾股数表勾股数表第3页第3页九章算术九章算术“方程术方程术”九章算术中九章算术中“方程章方程章”，是世界，是世界上最早系统研究代数方程专门论著。它上最早系统研究代数方程专门论著。它在世界数学历史上，最早创建了多元一在世界数学历史上，最早创建了多元一次方程组筹式表示办法，以及它各种求次方程组筹式表示办法，以及它各种求解办法。解办法。九章算术把这些线性方程组解法九章算术把这些线性方程组解法称为称为“方程术方程术”，其实质相称于现今矩，其实质相称于现今矩阵变形办法。方程术是通过对方程系数阵变形办法。方程术是通过对方程系数矩阵实行遍乘、直除变换（即连续相减）矩阵实行遍乘、直除变换（即连续相减）实现减元、获取方程解过程。实现减元、获取方程解过程。第4页第4页 在在“方程章方程章”问题解法中还能够发觉下述问题解法中还能够发觉下述方程变形性质：方程变形性质：假如方程两边都加上（或减去）同一数，那假如方程两边都加上（或减去）同一数，那么所得方程和原方程是同解方程。假如方程两么所得方程和原方程是同解方程。假如方程两边同乘以（或除以）一个不等于零数，那么所边同乘以（或除以）一个不等于零数，那么所得方程和原方程是同解方程。得方程和原方程是同解方程。刘徽：刘徽：“程，课程也。群物总杂，各列有程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。方程。”法。法。第5页第5页4.1.3 开办法解方程开办法解方程 中国古代把解二次方程中国古代把解二次方程x x2 2+bx=c+bx=c办法称作办法称作“带从开方带从开方”；把解三次方程；把解三次方程x x3 3+bx2+cx=dbx2+cx=d办法称作办法称作“带从开立带从开立方方”。北宋数学家刘益（公元北宋数学家刘益（公元11121112世纪人）世纪人）使用使用“增乘开办法增乘开办法”求解一元高次方程。求解一元高次方程。第6页第6页 如，使用如，使用“增乘开办法增乘开办法”解解 x x2+602+60 x x=864.=864.列三行横式列三行横式 1 60 8641 60 864补零（前移一位，补零（前移一位，100 600 864 100 600 864 （2 2阐明商为二位数），阐明商为二位数），首商得首商得2 2，增乘一次，增乘一次 200 200 800 800 100 400 64 100 400 64 200 200 再增乘一次，再增乘一次，100 200 64 100 200 64 去零（后移一位），去零（后移一位），1 20 64 1 20 64 （4 4次商得次商得4 4，增乘一次，增乘一次 4 _ 4 _64 64 1 16 01 16 0正好减尽。故得方程根正好减尽。故得方程根 x x=24=24。第7页第7页4.1.4 几何办法解方程几何办法解方程 开平方口诀（开平方口诀（“开平方不用慌，开平方不用慌，2020倍前商倍前商加后商加后商”）几）几何推导办法何推导办法 第8页第8页图图4.4 4.4 面积法开平方面积法开平方由于面积由于面积5522555225值是一个万位数，能够预计出它边長是个三位数，令其边值是一个万位数，能够预计出它边長是个三位数，令其边长是三位数。长是三位数。(100(100 a a+10+10 b b+c c)2=55225.)2=55225.为此，先预计为此，先预计a a=2=2，如图，如图4.44.4，于是在，于是在ABAB上截取上截取AE AE=200,=200,以以A A为一边做为一边做正放形正放形AEFGAEFG,从正方形从正方形ABCDABCD中减去它，得中减去它，得“曲尺形曲尺形”EBCDGF EBCDGF 面积：面积：55225 40000=15225 55225 40000=15225。为预计为预计b b，用，用EF EF 2 2倍（定法）去试除这个余数，得倍（定法）去试除这个余数，得b b=3=3。在在EBEB 上截取上截取EHEH =30=30，以，以AHAH为一边再作正方形为一边再作正方形AHIJAHIJ。从图上可知：。从图上可知：矩形矩形FHFH面积面积=矩形矩形FJFJ面积面积=30=30EF EF=300200.=300200.正方形正方形 FI FI面积面积=302=302。因此，从正方形因此，从正方形ABCDABCD减去正方形减去正方形AHIJAHIJ所余更所余更细细“曲尺形曲尺形”面积为面积为15225 15225（230200+302230200+302）=2325=2325。最后预计个位数，用最后预计个位数，用HIHI23022302倍去试除这个倍去试除这个余数，得余数，得c c5 5。在。在HBHB上截取上截取HKHK5,5,再以再以AKAK为一为一边做正方形边做正方形AKLM AKLM，从正方形，从正方形ABCDABCD减去它，得减去它，得2325 2325（25230+5225230+52）=0=0。即即K K与与B B重叠，重叠，ABAB之长正好为之长正好为235235，此即所求，此即所求平方根：平方根：2352 =552252352 =55225。第9页第9页古希腊尺规作图办法求解一次和二次方程古希腊尺规作图办法求解一次和二次方程一次方程一次方程ax=bax=b，x x是是a a、b b、1 1第四百分比项：第四百分比项：a ab b=1=1x x，因而能够用尺规作图办法求得因而能够用尺规作图办法求得x x图图4.54.5解方程解方程x x2 2pxpx+q q2=02=0几何办法几何办法假如假如r r和和s s表示二次方程表示二次方程x x2 2pxpx+q q2=02=0两个根，其中两个根，其中p p和和q q是是正整数，且正整数，且q qp p/2/2（这后一个条件，确保（这后一个条件，确保r r和和s s都为正数）。都为正数）。用几何办法求解这个方程根，就等价于由给定线段用几何办法求解这个方程根，就等价于由给定线段P P和和q q求求出线段出线段r r和和s s。用当代数学中韦达定理可知。用当代数学中韦达定理可知r r+s s=p p，rsrs=q q2 2。于是相应几何办法能够是：于是相应几何办法能够是：作一个正方形，使它面积等于给作一个正方形，使它面积等于给定正方形，而它相邻两边乘定正方形，而它相邻两边乘积等于给定一个线段长。为此，积等于给定一个线段长。为此，可由图可由图4.54.5得到上述方程几何求得到上述方程几何求解办法。解办法。第10页第10页 1 1世纪波斯数学家海牙姆（约世纪波斯数学家海牙姆（约10441044约约11231123）给出了三次方程几何解法。这）给出了三次方程几何解法。这种办法是在使用直尺和圆规作图前提下，种办法是在使用直尺和圆规作图前提下，再允许画某一特定圆锥曲线，便能够解再允许画某一特定圆锥曲线，便能够解得三次方程。得三次方程。第11页第11页4.2 4.2 代数符号化代数符号化4.2.1 4.2.1 4.2.1 4.2.1 丢番图缩记符号丢番图缩记符号丢番图缩记符号丢番图缩记符号第12页第12页丢番图将未知量称为丢番图将未知量称为“题中数题中数”，并用记号，并用记号表示，表示，相称于现在相称于现在x x。未知量平方记为。未知量平方记为，“”“”是希腊单字是希腊单字“YNAMIE”(“YNAMIE”(dynamidynami，幂，幂)第一个字母。未知量立方记第一个字母。未知量立方记为为K K，“K K”是单词希腊单字是单词希腊单字“KYBOE”(“KYBOE”(cubocubos,s,立方立方)第第一个字母。未知量四次方，丢番图用一个字母。未知量四次方，丢番图用来表示，他称来表示，他称之为之为“平方平方平方平方”；五次方用；五次方用K K表示，称为表示，称为“平方立平方立方方”；六次方用；六次方用KKKK表示，称为表示，称为“立方立方立方立方”，以这类推。，以这类推。他还用一些符号表示分数，比如，他用他还用一些符号表示分数，比如，他用s s表示，减号很表示，减号很像像V V倒置，再加上这个角平行线。在一个表示式中，倒置，再加上这个角平行线。在一个表示式中，L L表表示等号，加法他是用并列来表示，而乘法和除法则通过示等号，加法他是用并列来表示，而乘法和除法则通过累加累减去进行。在他符号系统中，没有加法、乘法和累加累减去进行。在他符号系统中，没有加法、乘法和除法运算记号。所有负项集中到一起，前面写一个减号。除法运算记号。所有负项集中到一起，前面写一个减号。任何未知数之幂数字系数用相应希腊字母来表示，写在任何未知数之幂数字系数用相应希腊字母来表示，写在表示这个幂符号之后。假如存在常数项，则用来表示，表示这个幂符号之后。假如存在常数项，则用来表示，“”“”是希腊文中是希腊文中“monadsmonads”（MONAEMONAE，意为，意为“单位单位”）一词缩写。）一词缩写。第13页第13页花拉子米“代数学”“代数学代数学”（algebraalgebra）这个词起）这个词起源于花拉子米所著一本书。原意是源于花拉子米所著一本书。原意是“还还原原”，专指把负项移到方程另一边使之，专指把负项移到方程另一边使之变成正项办法。变成正项办法。花拉子米还原和对消运算分别相花拉子米还原和对消运算分别相应于现在方程移项和合并同类相运算。应于现在方程移项和合并同类相运算。其中配办法，给出理解一元二次方程公其中配办法，给出理解一元二次方程公式，并得到了二次方程两个根。尽管这式，并得到了二次方程两个根。尽管这些办法在花拉子米著作中是用实际问题些办法在花拉子米著作中是用实际问题解法被纪录下来，但它们含有求解方程解法被纪录下来，但它们含有求解方程普通办法意义普通办法意义第14页第14页 在花拉子米系统地研究了六种类型一在花拉子米系统地研究了六种类型一次和二次方程及其解法，次和二次方程及其解法，ax ax2=2=bxbx，axax2 2=c c，ax=cax=c，axax2+2+cx=ccx=c，axax2+2+c c=bxbx，bx bx+c c=axax2 2 对于前三种类型方程，花拉子米把方对于前三种类型方程，花拉子米把方程程axax2=2=bxbx看作线性方程，抛弃了零根，看作线性方程，抛弃了零根，对于后三种类型方程，花拉子米解法相称对于后三种类型方程，花拉子米解法相称于现在配办法。花拉子米首先叙述了用根于现在配办法。花拉子米首先叙述了用根号表示方程根法则，然后给出它几何证实。号表示方程根法则，然后给出它几何证实。花拉子米事实上已经给出了首项系数花拉子米事实上已经给出了首项系数为为1 1一元二次方程求根公式。一元二次方程求根公式。第15页第15页4.2.3 印度代数学 从公元5世纪到12世纪，印度数学对世界数学影响较大有两个方面。最先制定了现在世界上通用数码及记数制度，并在这个基础上形成了整套计算技术。另一方面是建立了涉及分数、负数、无理数代数学，并给出了二次方程一般解法。他们结识到二次方程有两个根，并且可以涉及负根和无理根。第16页第16页4.2.4 天元术与四元术天元术天元术一元高次方程筹式布列办法一元高次方程筹式布列办法第17页第17页如方程：如方程：2 2x x2+6542+654x x=0 =0 与与 x x4+152454+15245x x2 26262506.25=0,6262506.25=0,图图4.7 4.7 用天元术在筹图中布列用天元术在筹图中布列方程方程在筹算中表示为：在筹算中表示为：用当代数字表示，这两个方程改写为：用当代数字表示，这两个方程改写为：6 5 46 5 4元元 6 2 6 2 5 0 6 2 6 2 6 2 5 0 6 2 5 5 2 2 和和 0 0 太太 1 5 2 1 5 2 4 54 5 0 0 1 1第18页第18页4.2.4 b 四元术四元术“四元术四元术”则要求了含有两个、三个或则要求了含有两个、三个或四个未知数方程布列办法。四个未知数方程布列办法。未知数设为未知数设为“天天”、“地地”、“人人”、“物物”，就相称于现在，就相称于现在x x、y y、z z、，用用“太太”表示常数项，放于筹式中心；表示常数项，放于筹式中心；表示未知数天、地、人、物系数分别放表示未知数天、地、人、物系数分别放在在“太太”下方、左方、右方和上方。下方、左方、右方和上方。比如，方程比如，方程 3 3x x+2+2y y+3+3z z+4+4w w+5=+5=0 0布列办法是：布列办法是：4 4 2 2 太太5 3 5 3 1 1 1 1第19页第19页对于更多复杂方程，其系对于更多复杂方程，其系数在算筹中放置办法，如数在算筹中放置办法，如图图4.104.10。图图 4.10 4.10 四元四元方程筹算布列办法方程筹算布列办法“四元术四元术”给出了给出了在筹图上求解多元方程办在筹图上求解多元方程办法法消元法消元法如，两个多项式相加减，如，两个多项式相加减，只须将表示多项式筹式中只须将表示多项式筹式中“太太”位置对齐，将相应位置对齐，将相应元素相加减；元素相加减；用某元幂乘方程时，只须用某元幂乘方程时，只须将原方程筹式做平移；将原方程筹式做平移；“互隐通分相消互隐通分相消”操作过操作过程较为复杂，是将二元方程较为复杂，是将二元方程化为一元方程关键办法，程化为一元方程关键办法，也是也是“四元术四元术”最为精彩最为精彩一部分。我们将通过实例一部分。我们将通过实例阐明它详细使用办法。阐明它详细使用办法。第20页第20页 0 0 0 0 0 0 0 0 6 6 6 6 太太太太 1 0 0 (1)1 1 0 0 (1)1 1 0 0 (1)1 1 0 0 (1)1 5 5 5 5 太太太太 (2)(2)(2)(2)0 1 0 1 10 1 0 1 10 1 0 1 10 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0（4 4 4 4）下移一位，得）下移一位，得）下移一位，得）下移一位，得 (4)(4)(4)(4)x x x x,得得得得 0 0 0 0 0 0 0 0 太太太太1 5 1 5 1 5 1 5 6 6 6 6 0 0 0 0 1 01 01 01 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 6 6 6 6太太太太 6 6 6 66 6 6 6x x x x+5+5+5+5xyxyxyxy+x x x x3 3 3 3y y y y=0=0=0=0 5 5 5 5 6 6 6 6 （6 6 6 6）(6)(6)(6)(6)0 0 0 0 0 0 0 0 即即即即(6 6 6 66 6 6 6x x x x)+(5)+(5)+(5)+(5x x x x+x x x x3)3)3)3)y y y y=0=0=0=00 00 00 00 0这样就化为只含天、地二元两行方程。这样就化为只含天、地二元两行方程。这样就化为只含天、地二元两行方程。这样就化为只含天、地二元两行方程。（2 2 2 2）与（）与（）与（）与（6 6 6 6）互隐通分相消：）互隐通分相消：）互隐通分相消：）互隐通分相消：由（由（由（由（2 2 2 2）（）（）（）（6 6 6 6）消去）消去）消去）消去y:y:y:y:由内二行相乘，得由内二行相乘，得由内二行相乘，得由内二行相乘，得 由（由（由（由（5+5+5+5+x x x x）(5(5(5(5x x x x+x x x x3)3)3)3)太太太太 =25252525x x x x+5+5+5+5x x x x2-52-52-52-5x x x x3+3+3+3+x x x x4 (7)4 (7)4 (7)4 (7)25 (25 (25 (25 (用用用用(2)(2)(2)(2)右列乘上右列乘上右列乘上右列乘上(6)(6)(6)(6)5 5 5 5 （7 7 7 7）左列，称为内二行相乘）左列，称为内二行相乘）左列，称为内二行相乘）左列，称为内二行相乘）5 5 5 5 1 1 1 1 由外二行相乘，得由外二行相乘，得由外二行相乘，得由外二行相乘，得 由（由（由（由（1+1+1+1+x x x x）(6 6 6 66 6 6 6x x x x)6 6 6 6太太太太 =6 6 6 612121212x x x x6 6 6 6x x x x2 (8)2 (8)2 (8)2 (8)12 12 12 12 （8 8 8 8）(用用用用(2)(2)(2)(2)左列乘上左列乘上左列乘上左列乘上(6)(6)(6)(6)6 6 6 6 右列，称为外二行相乘）右列，称为外二行相乘）右列，称为外二行相乘）右列，称为外二行相乘）令（令（令（令（7 7 7 7）（）（）（）（8 8 8 8）相等，）相等，）相等，）相等，合并相消，得合并相消，得合并相消，得合并相消，得 6 6 6 6太太太太 由由由由25252525x x x x+5+5+5+5x x x x2 2 2 25 5 5 5x x x x3+3+3+3+x x x x4 4 4 4 13 =13 =13 =13 =6 6 6 612121212x x x x6 6 6 6x x x x2 2 2 2 11 11 11 11 移项整理得移项整理得移项整理得移项整理得 5 65 65 65 613131313x x x x+11+11+11+11x x x x2 2 2 25 5 5 5x x x x3+3+3+3+x x x x4 4 4 4 1 =0 1 =0 1 =0 1 =0第21页第21页方程公式解方程公式解大术（卡当，大术（卡当，15451545年）中记载了缺二次项三次方程解法：年）中记载了缺二次项三次方程解法：求解方程求解方程 x x3+3+mxmx=n n，其中，其中m m与与n n是正数。是正数。卡当引入卡当引入t t与与u u两个参数量，并令两个参数量，并令 tutu=n n，（1 1）以及以及（tutu）=（）（）3.3.（2 2）然后他断言然后他断言 x x=.=.（3 3）他利用（他利用（1 1）及（）及（2 2）进行消元并解所得二次方程，得出）进行消元并解所得二次方程，得出t t=+=+，u u=.=.这里我们也像卡当那样取正根。求出了这里我们也像卡当那样取正根。求出了t t和和u u后后,并用（并用（3 3）给出）给出x x一一个值个值 第22页第22页 大术中解四次方程费拉利解法。设方程 x4+bx3+cx2+dx+e=0。移项后得x4+bx3=cx2dxe。在左边加上（bx）2配成平方。得 （x2+bx）2=（b2c2）x2dxe。两边再加上（x2+bx）y+y2，得 （x2+bx）2+（x2+bx）y+y2 =（b2c+y）x2+（byd）x+y2e。（1）若使右边这个x二次式判别式等于零，就能使这一边成为x一次式完全平方。于是设 （byd）24（b2c+y）（y2e）=0 （2）这是y一个三次方程。选取这个三次方程任一个根代入替（1）中y。依据左边也是个完全平方这一事实,取平方根，得到x一个二次式，它等于x两个互为正负线性函数之一。解出这两个二次方程便得到x4个根。若从（2）中选取另一个根就会从（1）引出一个不同方程，但会得到一样四个根。第23页第23页走出缩记法走出缩记法 法国数学家韦达寻找出一个求解各种类型代数方程通用办法法国数学家韦达寻找出一个求解各种类型代数方程通用办法过程中，第一个故意识地、系统地使用了字母。过程中，第一个故意识地、系统地使用了字母。通常他用辅音字母来表示已知量，用元音字母表示未知量。通常他用辅音字母来表示已知量，用元音字母表示未知量。韦用拉丁语表示各次方幂。比如，现在韦用拉丁语表示各次方幂。比如，现在a a,a a2,2,a a3 3，韦达记作，韦达记作A,A A,A quadratum,A cubum,quadratum,A cubum,，有时还缩写减化为，有时还缩写减化为A A，AQAQ，A AC C。韦达使用。韦达使用了了“+”“+”和和“”“”分别表示加法与减法，但没有使用固定符号来分别表示加法与减法，但没有使用固定符号来表示乘号和等号，仍然用文字来阐明。如恒等式表示乘号和等号，仍然用文字来阐明。如恒等式a3+3a2ba3+3a2b+3+3abab2+2+b b3=(3=(a+ba+b)3,)3,韦达写法是韦达写法是a cubuma cubum+b inb in a quadra quadr.3+.3+a in b quadra in b quadr.3.3+b b cubo equaliacubum.cubo equaliacubum.“类算术类算术”（Iogistica speciosaIogistica speciosa）,以区别于以区别于“数算术数算术”（Iogistica numerosaIogistica numerosa）,类算术是施行于事物类或形式运算，而数算术仅仅与详细数类算术是施行于事物类或形式运算，而数算术仅仅与详细数字相关。韦达这些叙述，第一次将代数与算术区别开来，使类算字相关。韦达这些叙述，第一次将代数与算术区别开来，使类算术（即代数）成为研究普通类型数学形式和办法学问。术（即代数）成为研究普通类型数学形式和办法学问。在引入字母符号之后在引入字母符号之后,韦达就发觉了三、四方程普通解办法。韦达就发觉了三、四方程普通解办法。第24页第24页4.3 数学符号化意义4.3.14.3.14.3.14.3.1增进数学理论形成增进数学理论形成增进数学理论形成增进数学理论形成 用符号代替数字和运算是数学发展瓶颈用符号代替数字和运算是数学发展瓶颈“中国代数学在中国代数学在1414世纪以后停滞不前事实，世纪以后停滞不前事实，主要由于它不完善、无适应符号。主要由于它不完善、无适应符号。”数学符号化，使数学理论体系更严密，并且数学符号化，使数学理论体系更严密，并且含有普遍性、适应性。含有普遍性、适应性。第25页第25页4.3.2简缩数学思维过程 怀特海所说：怀特海所说：“这些术语和符号引入，往往是为这些术语和符号引入，往往是为了理论易于表述和处理问题。尤其是在数学中，只要细了理论易于表述和处理问题。尤其是在数学中，只要细加分析即可发觉符号化给数学理论表述和论证带来极大加分析即可发觉符号化给数学理论表述和论证带来极大以便，甚至是必不可少。以便，甚至是必不可少。”有了符号体系，就能够引入简朴字母符号来表示有了符号体系，就能够引入简朴字母符号来表示数学对象数学对象,从整体上把握事物内在联系从整体上把握事物内在联系比如，要比较比如，要比较 下列下列A A与与B B大小：大小：A A=(1+2+3+100)(2+3+4+101)=(1+2+3+100)(2+3+4+101)B B=(1+2+3+101)(2+3+4+100)=(1+2+3+101)(2+3+4+100)。令令1+2+3+100=1+2+3+100=a a，用字母，用字母a a表示其它对表示其它对象，从而化简象，从而化简A A、B B，得出，得出，A A=a a(a a+100),+100),B B=（a a+101+101）（）（a a11），进而求解。），进而求解。第26页第26页4.4 学校代数教育 4.4.1 4.4.1 4.4.1 4.4.1 从算术到代数教育目的从算术到代数教育目的从算术到代数教育目的从算术到代数教育目的 教育原理：个体发育应再现系统发育。教育原理：个体发育应再现系统发育。意思是，教育中向学生讲授一门课程，应意思是，教育中向学生讲授一门课程，应按照这门学问本身发展顺序来进行。按照这门学问本身发展顺序来进行。当代学校代数教育主要目的之一让学生实当代学校代数教育主要目的之一让学生实现由现由“办法性办法性”认知到认知到“结构性结构性”认知发展。认知发展。第27页第27页4.4.2 代数学认知发展 做好从运算性知识到结构性知识发展：做好从运算性知识到结构性知识发展：在开始学习代数式和方程时，学生不应总在开始学习代数式和方程时，学生不应总是把这些实体理解为在一些数上运算，是把这些实体理解为在一些数上运算，让学生意识到运算对象是代数式而不是数，让学生意识到运算对象是代数式而不是数，所实行运算是化简、分解因式、分母有理所实行运算是化简、分解因式、分母有理化等等，而不是算术中加、减、乘、除。化等等，而不是算术中加、减、乘、除。在学生处理代数结构时，尤其是用符在学生处理代数结构时，尤其是用符号表示数值关系时，初学代数学生面临一号表示数值关系时，初学代数学生面临一个任务是如何把问题情景翻译成方程。个任务是如何把问题情景翻译成方程。第28页第28页
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