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数学命题及其教学数学命题及其教学数学命题概述数学命题概述数学命题学习心理分析数学命题学习心理分析命题教学基本要求和教法探讨命题教学基本要求和教法探讨第1页第1页数学命题概述数学命题概述判断意义和种类判断意义和种类1.数学判断数学判断 对思维对象有所必定或否认思维形式叫做对思维对象有所必定或否认思维形式叫做“判判断断”。数学判断是关于数学对象及其属性判断。数学判断是关于数学对象及其属性判断。按照思维对象按照思维对象量量，判断可分为：全称判断、特，判断可分为：全称判断、特称判断、单称判断；称判断、单称判断；按判断按判断质质来分有：必定判断、否认判断；来分有：必定判断、否认判断；按判断按判断关系关系来分有：定言判断、选言判断和假来分有：定言判断、选言判断和假言判断。言判断。第2页第2页2.2.惯用判断形式及其之间关系惯用判断形式及其之间关系 假如用假如用S表示判断对象，表示判断对象，P表示性质表示性质（1）全称必定判断）全称必定判断 “所有所有S是是P”（2）全称否认判断）全称否认判断 “所有所有S都不是都不是P”（3）特称必定判断）特称必定判断 “有有S是是P”（4）特称否认判断）特称否认判断 “有有S不是不是P”S也叫做判断也叫做判断“主项主项”，P也叫做也叫做“谓项谓项”，“所有所有”或或“有有”表示主项数量，叫做表示主项数量，叫做“量词量词”，在，在全称判断中量词经常省略不写；全称判断中量词经常省略不写；“是是”或或“不是不是”称为称为联结词联结词，表示必定或否认。，表示必定或否认。第3页第3页SAPSIPSOPSEP反反 对对 关关 系系矛矛盾盾关关系系下下 反反 对对 关关 系系差等关系差等关系差等关系差等关系系系关关矛矛盾盾第4页第4页数学命题意义数学命题意义 在数学中，用来表示数学判断陈说句或符号组合叫做在数学中，用来表示数学判断陈说句或符号组合叫做“数学命题数学命题”。通惯用。通惯用“p,q,r,s,t”来表示，来表示，并且称为并且称为命题变量命题变量（变项）。（变项）。对于对于无法判断无法判断其真假语句，称为其真假语句，称为开（语）句开（语）句。注注：形式逻辑专门研究判断形式，而无论判断内容，：形式逻辑专门研究判断形式，而无论判断内容，只从真值角度研究命题形式及各种命题之间关系。只从真值角度研究命题形式及各种命题之间关系。但在数学中，但在数学中，既既研究命题内容，研究命题内容，又又研究命题形式，研究命题形式，把内容和形式统一起来研究数学命题。把内容和形式统一起来研究数学命题。如如在形式逻辑中，命题在形式逻辑中，命题“假如假如13,那么那么1+23+2.”但在数学中但在数学中第5页第5页请大家判断下列语句是否是数学命题：请大家判断下列语句是否是数学命题：（1）数学是一门科学；）数学是一门科学；（2）；（3）67;（6）你在干什么？）你在干什么？（7）严禁吸烟！）严禁吸烟！（8）2比比3大吗？大吗？（9）哎呀！那还得了！）哎呀！那还得了！第6页第6页复合命题与逻辑联结词复合命题与逻辑联结词 数学命题普通可分为数学命题普通可分为简朴命题简朴命题和和复合命题复合命题两大类。简两大类。简朴命题就是不包括其它命题命题，又可分为朴命题就是不包括其它命题命题，又可分为性质命性质命题题和和关系命题关系命题两种。两种。象象“一切矩形都是平行四边形一切矩形都是平行四边形”、“自然数不是无理自然数不是无理数数”、“有些奇数是素数有些奇数是素数”等都是等都是性质性质命题；命题；象象“一切正数都不小于零一切正数都不小于零”、“直线直线a平行于直线平行于直线b”等都是等都是关系关系命题。命题。复合命题是由两个或两个以上简朴命题通过复合命题是由两个或两个以上简朴命题通过逻辑联结逻辑联结词词结合起来而构成命题。结合起来而构成命题。惯用逻辑联结词有下列五种：惯用逻辑联结词有下列五种：否认、合取、析取、蕴涵、等价否认、合取、析取、蕴涵、等价第7页第7页1.否认（非）否认（非），其真值表下列：，其真值表下列：0 1 1 0第8页第8页2.合取（与，且）合取（与，且）1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0P:ABC是等腰三角形是等腰三角形q:ABC是直角三角形是直角三角形pq:ABC是等腰直是等腰直角三角形角三角形.p:ABCDq:AB=CDpq:AB CD第9页第9页3.析取（或）析取（或）1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0p:x2q:x=2pq:x 2P:ABC是等腰三角形是等腰三角形q:ABC是直角三角形是直角三角形Pq:ABC是等腰三角形或是等腰三角形或直角三角形直角三角形.第10页第10页4.蕴涵（假如蕴涵（假如，则，则）1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1P:a和和b都是偶数，都是偶数，Q:a+b也是偶数。也是偶数。当前件为假时，无论后当前件为假时，无论后当前件为假时，无论后当前件为假时，无论后件为真还是假，都不与件为真还是假，都不与件为真还是假，都不与件为真还是假，都不与本来命题矛盾。本来命题矛盾。本来命题矛盾。本来命题矛盾。第11页第11页5.等价（当且仅当）等价（当且仅当）1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0第12页第12页复合命题值复合命题值 求复合命题值，可先求复合命题值，可先穷尽穷尽地列出地列出p、q取取值也许，然后再依据联结词强弱顺序，逐值也许，然后再依据联结词强弱顺序，逐步得出各层复合命题值，直到最后求出整步得出各层复合命题值，直到最后求出整个复合命题值。个复合命题值。联结词联结词强弱顺序强弱顺序：第13页第13页 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0恒真命题恒真命题第14页第14页111100001010101011001100 用真值表验证用真值表验证是恒真命题是恒真命题1 10 01 11 11 10 01 11 11 11 11 11 10 01 10 01 11 11 11 11 11 10 00 01 11 10 01 11 10 00 00 01 11 11 11 11 11 11 11 11 1第15页第15页逻辑等价逻辑等价假如两个复合命题假如两个复合命题A、B真值表相同真值表相同，我们，我们就称就称A、B逻辑等价逻辑等价。记为记为“”0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0结果相同结果相同第16页第16页能够验证下列逻辑等价式：能够验证下列逻辑等价式：幂等律幂等律双重否认律双重否认律互换律互换律结合律结合律分派律分派律德德摩根律摩根律余补律余补律同一律同一律吸取律吸取律第17页第17页假言命题四种形式及其之间关系假言命题四种形式及其之间关系原命题原命题逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题互互 逆逆互互 逆逆互互 否否 互互 否否 逆否（等价）逆否（等价）第18页第18页例子：例子：1.原原命题：假如两个三角形全等，则这两个三角命题：假如两个三角形全等，则这两个三角形等积。形等积。逆逆命题：假如两个三角形等积，则这两个三角命题：假如两个三角形等积，则这两个三角形全等。形全等。否否命题：假如两个三角形不全等，则这两个三命题：假如两个三角形不全等，则这两个三角形不等积。角形不等积。逆否逆否命题：假如两个三角形不等积，则这两个命题：假如两个三角形不等积，则这两个三角形不全等。三角形不全等。真真假假假假真真第19页第19页2.原原命题：假如一个四边形是平行四边形，则它命题：假如一个四边形是平行四边形，则它对角线互相平分。对角线互相平分。逆逆命题：假如一个四边形对角线互相平分，则它是命题：假如一个四边形对角线互相平分，则它是平行四边形。平行四边形。否否命题：假如一个四边形不是平行四边形，则它对命题：假如一个四边形不是平行四边形，则它对角线不互相平分。角线不互相平分。逆否逆否命题：假如一个四边形对角线不互相平分，则命题：假如一个四边形对角线不互相平分，则它不是平行四边形。它不是平行四边形。真真真真第20页第20页3.原原命题：假如一个四边形是平行四边形，则命题：假如一个四边形是平行四边形，则它对角线互相垂直。它对角线互相垂直。逆否逆否命题：假如一个四边形对角线不互相命题：假如一个四边形对角线不互相垂直，则它不是平行四边形。垂直，则它不是平行四边形。逆逆命题：假如一个四边形对角线互相垂直，命题：假如一个四边形对角线互相垂直，则它是平行四边形。则它是平行四边形。否否命题：假如一个四边形不是平行四边形，命题：假如一个四边形不是平行四边形，则它对角线不互相垂直。则它对角线不互相垂直。假假假假第21页第21页它们之间关系能够用真值表来证实：它们之间关系能够用真值表来证实：1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 110101100结果相同结果相同第22页第22页偏逆命题及其否命题偏逆命题及其否命题把原命题中数目相同把原命题中数目相同部分部分前提和结论互换后得前提和结论互换后得到命题称为原命题到命题称为原命题偏逆命题偏逆命题。比如比如原原命题：假如命题：假如a和和b都是偶数，则都是偶数，则a+b也是也是偶数。偶数。真真(a是偶数是偶数)(b是偶数是偶数)(a+b是偶数是偶数)偏逆偏逆1：(a是偶数是偶数)(a+b是偶数是偶数)(b是偶数是偶数)偏逆偏逆2：(a+b是偶数是偶数)(b是偶数是偶数)(a是偶数是偶数)第23页第23页请大家作出下面这个命题偏逆命题：请大家作出下面这个命题偏逆命题：假如四边形假如四边形ABCD是平行四边形，则它对边是平行四边形，则它对边相等。相等。(ABCD)(BCAD)(AB=CD)(BC=AD)(ABCD)(AB=CD)(BCAD)(BC=AD)(AB=CD)(BCAD)(ABCD)(BC=AD)(ABCD)(BC=AD)(AB=CD)(BCAD)(BC=AD)(BCAD)(AB=CD)(ABCD)第24页第24页充足条件和必要条件充足条件和必要条件假如命题假如命题“pq”为真，那么，为真，那么，p就称为使就称为使q成成立立充足条件充足条件，q就称为使就称为使p成立成立必要条件必要条件。充足而非必要条件：充足而非必要条件：pq真但真但qp假假.必要而非充足条件：必要而非充足条件：pq假但假但qp真真.充足必要条件：充足必要条件：pq和和qp均真，简称充要均真，简称充要条件条件.第25页第25页公理和定理公理和定理公理：作为证实其它一切命题基础，而不加证实就认可其真实性一组命题。公理化方法：从尽也许少原始概念和公理出发，应用形式逻辑演绎推理，建立数学各分支理论体系一个方法。如：欧氏几何公理体系 公理选取必须满足：相容性、独立性、完 备性第26页第26页定理定理：依据已知概念和真命题，遵循逻辑规律，利：依据已知概念和真命题，遵循逻辑规律，利用正确逻辑办法来证实其真实性命题。用正确逻辑办法来证实其真实性命题。逆定理逆定理：一个定理逆命题若为真，则称其为该定理：一个定理逆命题若为真，则称其为该定理逆定理。逆定理。鉴定定理鉴定定理：用来拟定某个对象存在充足条件定理。：用来拟定某个对象存在充足条件定理。性质定理性质定理：拟定某个对象存在必要条件定理。：拟定某个对象存在必要条件定理。引理引理：为证实一个主要定理作准备，先证实一个或：为证实一个主要定理作准备，先证实一个或几种几种“小定理小定理”。推论推论（或系）：从公理或定理直接推出来定理。（或系）：从公理或定理直接推出来定理。证实题证实题：在教材中通常列入例题或习题，作为推理：在教材中通常列入例题或习题，作为推理 论证练习。论证练习。第27页第27页分断式命题和配套定理分断式命题和配套定理在在ABC中，中，假如假如ABAC，那么，那么CB；假如假如ABAC，那么，那么CB；假如假如ABAC，那么，那么CB.象上例，一个命题是由几种命题总合而成，而象上例，一个命题是由几种命题总合而成，而它们条件和结论有相同它们条件和结论有相同特点特点：所含事项互：所含事项互不相容，又包括了一切也许情形，则把这样不相容，又包括了一切也许情形，则把这样命题称为命题称为“分断式命题分断式命题”.分命题第28页第28页学生学习数学命题心理分析学生学习数学命题心理分析对公理、定理、公式学习很大程度上依对公理、定理、公式学习很大程度上依赖于直接感知赖于直接感知难以从条件与结论关系上把握条件命题难以从条件与结论关系上把握条件命题孤立地学习定理、公式孤立地学习定理、公式第29页第29页公理、定理、公式教法探讨公理、定理、公式教法探讨公理教法公理教法 采用学生熟知详细事例或生活经验出发采用学生熟知详细事例或生活经验出发定理、公式引入办法定理、公式引入办法 (1)通过对详细事物观测和试验与实践活通过对详细事物观测和试验与实践活动，做出猜想动，做出猜想（2）通过推理直接发觉结论）通过推理直接发觉结论（3）通过命题间关系，对一个命题做出变）通过命题间关系，对一个命题做出变形（逆命题、偏逆命题等）形（逆命题、偏逆命题等）第30页第30页注意问题注意问题使学生明确公理意义使学生明确公理意义由学生摸索定理、公式等由学生摸索定理、公式等先发觉、猜想，后教师归纳和逻辑证实先发觉、猜想，后教师归纳和逻辑证实注意命题间关系，渗入必要逻辑知识注意命题间关系，渗入必要逻辑知识第31页第31页