2019年广东省广州市中考数学试卷及答案.doc

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广东省广州市2019年中考试卷
数 学
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．＝ （　　）
A． B．6 C． D．
2．广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处．到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为（单位：千米）：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是 （　　）
A．5 B．5.2 C．6 D．6.4
3．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若，则此斜坡的水平距离AC为 （　　）

A．75 m B．50 m C．30 m D．12 m
4．下列运算正确的是 （　　）
A． B．
C． D．
5．平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为 （　　）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
6．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，□ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是 （　　）

A．
B．四边形EFGH是平行四边形
C．
D．的面积是的面积的2倍
8．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 （　　）
A． B． C． D．
9．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若，则AC的长为 （　　）

A． B． C．10 D．8
10．关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则k的值 （　　）
A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如图，点A，B，C在直线l上，，，则点P到直线l的距离是　　　　cm．

12．代数式有意义时，x应满足的条件是　　　　．
13．分解因式：　　　　．
14．一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转（），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则的度数为　　　　．

15．如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为　　　　．（结果保留π）

16．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），，点F在射线AM上，且，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：
①
②的周长为
③
④的面积的最大值．
其中正确的结论是　　　　．（填写所有正确结论的序号）

三、解答题（共9小题，满分102分）
17．解方程组：．
18．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，，
求证：．

19．已知．
（1）化简P；
（2）若点在一次函数的图象上，求P的值．
20．某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表：
组别
时间/小时
频数/人数
A组

2
B组

m
C组

10
D组

12
E组

7
F组

4
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）求频数分布表中m的值；
（2）求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；
（3）已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生．

21．随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点，轴于点E，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，P两点．
（1）求m，n的值与点A的坐标；
（2）求证：；
（3）求的值．

23．如图，⊙O的直径，弦，连接BC．
（1）尺规作图：作弦CD，使（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．

24．如图，等边中，，点D在BC上，，点E为边AC上一动点（不与点C重合），关于DE的轴对称图形为．
（1）当点F在AC上时，求证：；
（2）设的面积为，△ABF的面积为，记，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．

25．已知抛物线有最低点．
（1）求二次函数的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线．经过探究发现，随着m的变化，抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．

广东省广州市2019年中考试卷
数学答案解析
一、选择题
1．【答案】B
【解析】的绝对值是．故选：B．
【提示】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【考点】绝对值
2．【答案】A
【解析】5出现的次数最多，是5次，所以这组数据的众数为5故选：A．
【提示】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【考点】众数的概念
3．【答案】A
【解析】∵，，，
∴，
解得，，故选：A．
【提示】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．
4．【答案】D
【解析】A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．故选：D．
【提示】直接利用有理数混合运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
【考点】有理数的运算，同底数幂的乘法，算术平方根的积
5．【答案】C
【解析】∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，
∴，
∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O外，
∵过圆外一点可以作圆的2条切线，故选：C．
【提示】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案．
【考点】圆的切线
6．【答案】D
【解析】设甲每小时做x个零件，可得：，故选：D．
【提示】设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可．
【考点】列分式方程解决实际问题
7．【答案】B
【解析】∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在□ABCD中，，
∴，
∴，故选项A错误；
∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
∴，
∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；
由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；
∵点E、F分别为OA和OB的中点，
∴，
∴，
∴，
即的面积是的面积的4倍，故选项D错误，故选：B．
【提示】根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决．
【考点】平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质
8．【答案】C
【解析】∵点，，在反比例函数的图象上，
∴，，，
又∵，
∴，故选：C．
【提示】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出的值，比较后即可得出结论．
【考点】反比例函数的图像与性质
9．【答案】A
【解析】连接AE，如图：
∵EF是AC的垂直平分线，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故选：A．

【提示】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出，证明得出，得出，由勾股定理求出，再由勾股定理求出AC即可．
【考点】矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理
10．【答案】D
【解析】∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，
∴．
∵，即，
∴，
解得：．
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：或，
∴．故选：D
【提示】由根与系数的关系可得出，结合可求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．
【考点】一元二次方程根与系数的关系，根的判别式
二、填空题
11．【答案】5
【解析】∵，
∴P到l的距离是垂线段PB的长度5 cm，故答案为：5
【提示】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案．
【考点】点到直线的距离
12．【答案】
【解析】代数式有意义时，
，
解得：．
故答案为：．
【提示】直接利用分式、二次根式的定义求出x的取值范围．
【考点】代数式有意义的条件
13．【答案】
【解析】原式，
故答案为：．
【提示】首先提取公因式y，再利用完全平方进行二次分解即可．
【考点】公式法因式分解
14．【答案】
【解析】分情况讨论：
①当时，，∴；
②当时，．
故答案为：15°或60°
【提示】分情况讨论：①；②．
【考点】图形的旋转，垂直的判定
15．【答案】
【解析】∵某圆锥的主视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，
∴斜边长为，
则底面圆的周长为，
∴该圆锥侧面展开扇形的弧长为，
故答案为．
【提示】根据圆锥侧面展开扇形的弧长＝底面圆的周长即可解决问题．
【考点】圆锥的有关计算
16．【答案】①④
【解析】如图1中，在BC上截取，连接EH．
∵，
∴，∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故③错误，
∴的周长，故②错误，设，则，，
∴，
∵，
∴时，的面积的最大值为．故④正确，
故答案为①④．

【提示】①正确．如图1中，在BC上截取，连接EH．证明，即可解决问题．②③错误．如图2中，延长AD到H，使得，则，再证明，即可解决问题．④正确．设，则，，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．
【考点】正方形的性质；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理
三、解答题
17．【答案】
【解析】，
②﹣①得，，解得，
把代入①得，，解得，
故原方程组的解为
【提示】运用加减消元解答即可．
【考点】二元一次方程组
18．【答案】见解析
【解析】证明：∵，
∴，
在与中：
∵，
∴
【提示】利用证明：．
【考点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质
19．【答案】（1）
（2）
【解析】（1）；
（2）∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴，
∴
【提示】（1）；
（2）将点代入得到，再将代入化简后的，即可求解；
【考点】分式的化简求值和一次函数的性质
20．【答案】（1）
（2），，补全扇形统计图如图1所示
（3）恰好都是女生的概率为
【解析】（1）；
（2），
．
补全扇形统计图如图1所示：

（3）画树状图如图2：

共有12个等可能的结果，
恰好都是女生的结果有6个，
∴恰好都是女生的概率为
【提示】（1）用抽取的40人减去其他5个组的人数即可得出m的值；
（2）分别用360°乘以B组，C组的人数所占的比例即可；补全扇形统计图；
（3）画出树状图，即可得出结果．
【考点】频数分布表，扇形统计图，概率的计算
21．【答案】（1）6万座
（2）
【解析】（1）（万座）．
答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
依题意，得：，
解得：（舍去）
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%
【提示】（1），即可求出结论；
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【考点】一元二次方程的应用
22．【答案】（1），，点A的坐标为
（2）证明见解析
（3）
【解析】（1）解：将点代入，得：，
解得：，
∴正比例函数解析式为；
将点代入，得：，
解得：，
∴反比例函数解析式为．
联立正、反比例函数解析式成方程组，得：，
解得：，，
∴点A的坐标为．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，即．
∵轴，
∴，
∴．
（3）解：∵点A的坐标为，
∴，．
∵，
∴，
∴．

【提示】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标亦可）；
（2）由菱形的性质可得出，利用平行线的性质可得出，结合轴可得出，进而即可证出；
（3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出，再利用正弦的定义即可求出的值．
【考点】菱形的性质，反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质，三角函数
23．【答案】（1）
（2）四边形的周长
【解析】（1）如图，线段即为所求．

（2）连接，交于点，设．
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴于．
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∴四边形的周长．
【提示】（1）以为圆心，为半径画弧，交于，线段即为所求．
（2）连接，交于点，设，构建方程求出x即可解决问题．
【考点】基本尺规作图，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理
24．【答案】（1）证明见解析
（2）存在，理由见解析
（3）
【解析】（1）∵是等边三角形
∴
由折叠可知：，且点在上
∴
∴
∴；
（2）存在，
过点作交于点，
∵，
∴
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∴当点上时，最小，
∵
∴
∴的最小值
∴
（3）如图，过点作于点，过点作于点，

∵关于的轴对称图形为
∴
∵
∴
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
【提示】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得，可证；
（2）过点，由题意可得点F在以为圆心，为半径的圆上，由的面积为的值是定值，则当点在上时，最小时，S最大；
（3）过点作于点，过点作于点，由勾股定理可求的长，通过证明，可求的长，即可求的长．
【考点】等边三角形的性质，平行线的判定，勾股定理
25．【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）∵，抛物线有最低点
∴二次函数的最小值为
（2）∵抛物线：
∴平移后的抛物线：
∴抛物线顶点坐标为
∴，
∴
即，变形得
∵
∴
∴
∴与的函数关系式为
（3）法一：如图，函数：图象为射线
时，；时，
∴函数的图象恒过点
∵抛物线：
时，；时，
∴抛物线恒过点
由图象可知，若抛物线与函数的图象有交点，则
∴点纵坐标的取值范围为
法二：
整理的：
∵，且时，方程为不成立
∴，即
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴

【提示】（1）抛物线有最低点即开口向上，，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．
（2）写出抛物线的顶点式，根据平移规律即得到抛物线的顶点式，进而得到抛物线顶点坐标，即，，即消去，得到与的函数关系式．再由，即求得的取值范围．
（3）法一：求出抛物线恒过点，函数图象恒过点，由图象可知两图象交点应在点、之间，即点纵坐标在、纵坐标之间．
法二：联立函数解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用表示m的式子．由与的范围讨论的具体范围，即求得函数对应的交点纵坐标的范围．
【考点】二次函数的最值问题，图形的平移，一次函数解析式的确定
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