2015年浙江省丽水市中考数学试卷（含解析版）.doc

2015年浙江省丽水市中考数学试卷
（本试卷满分120分，考试时间120分钟）
参考公式：抛物线的顶点坐标为.
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 在数-3，-2，0，3中，大小在-1和2之间的数是（ ）
A. -3 B. -2 C. 0 D. 3
2. 计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 由4个相同小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 分式可变形为（ ）
A. B. C. D.
5. 一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（ ）
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形
6. 如图，数轴上所表示关于的不等式组的解集是（ ）

A. ≥2 B. >2 C. >-1 D. -1<≤2
7. 某小组7位同学的中考体育测试成绩（满分30分）依次为27，30，29，27，30，28，30，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）
A. 30，27 B. 30，29 C. 29，30 D. 30，28
8. 如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（ ）

A. B. C. D.
9. 平面直角坐标系中，过点（-2，3）的直线经过一、二、三象限，若点（0，），（-1，），（，-1）都在直线上，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在方格纸中，线段，，，的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有（ ）

A. 3种 B. 6种 C. 8种 D. 12种

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 分解因式： ▲ .
12. 有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是 ▲ .
13. 如图，圆心角∠AOB=20°，将旋转得到，则的度数是
▲ 度

14. 解一元二次方程时，可转化为两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程 ▲ .
15. 如图，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E，F在BD上，已知∠BAD=120°，∠EAF=30°，则= ▲ .

16. 如图，反比例函数的图象经过点（-1，），点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与轴交于点P，连结BP.
（1）的值为 ▲ .
（2）在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是 ▲ .

三、解答题（本题有8小题，共66分，每个小题都必须写出解答过程）
17. （2015年浙江丽水6分）计算：

18. （2015年浙江丽水6分）先化简，再求值：，其中.

19. （2015年浙江丽水6分）如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等.
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数.

20. （2015年浙江丽水8分）某运动品牌对第一季度A、B两款运动鞋的销售情况进行统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示：
（1）一月份B款运动鞋的销售量是A款的，则一月份B款运动鞋销售了多少双？
（2）第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求三月份的总销售额（销售额=销售单价×销售量）；
（3）结合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出一条建议。

21. （2015年浙江丽水8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O 的切线DF，交AC于点F.
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积.

22. （2015年浙江丽水10分）甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走. 设甲乙两人相距（米），甲行走的时间为（分），关于的函数函数图像的一部分如图所示.
（1）求甲行走的速度；
（2）在坐标系中，补画关于函数图象的其余部分；
（3）问甲、乙两人何时相距360米？

23. （2015年浙江丽水10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N.
（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；
（2）若，求的值；
（3）若，当为何值时，MN∥BE？

24. （2015年浙江丽水12分）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为（米），与桌面的高度为（米），运行时间为（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
（秒）
0
0.16
0.2
0.4
0.6
0.64
0.8
…
（米）
0
0.4
0.5
1
1.5
1.6
2
…
（米）
0.25
0.378
0.4
0.45
0.4
0.378
0.25
…
（1）当为何值时，乒乓球达到最大高度？
（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
（3）乒乓球落在桌面上弹起后，与满足
①用含的代数式表示；
②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米，若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求的值.

2015年浙江省丽水市中考数学试卷
参考答案与试题解析
（本试卷满分120分，考试时间120分钟）
参考公式：抛物线的顶点坐标为.
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 在数-3，-2，0，3中，大小在-1和2之间的数是（ ）
A. -3 B. -2 C. 0 D. 3
【答案】C.
【考点】有理数大小比较.
【分析】在－1和2之间的数必然大于－1，小于2，四个答案中只有0符合条件. 故选C.
2. 计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B.
【考点】幂的乘方.
【分析】根据幂的乘方运算法则计算作出判断：
.
故选B.
3. 由4个相同小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A.
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，从正面看易得有两层，下层有2个正方形，上层左边有一个正方形．故选A．
4. 分式可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D.
【考点】分式的基本性质．
【分析】根据分式的性质，分子分母都乘以﹣1，分式的值不变，可得答案：
分式的分子分母都乘以﹣1，得.
故选D．
5. 一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（ ）
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形
【答案】C.
【考点】多边形的外角性质．
【分析】∵多边形的每个内角均为120°，∴外角的度数是：180°﹣120°=60°．
∵多边形的外角和是360°，∴这个多边形的边数是：360÷60=6．
故选C．
6. 如图，数轴上所表示关于的不等式组的解集是（ ）

A. ≥2 B. >2 C. >-1 D. -1<≤2
【答案】A.
【考点】在数轴上表示不等式的解。
【分析】根据不等式的解集在数轴上表示方法，不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个.在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示. 因此，
数轴上所表示关于不等式的解集是≥2.
故选A.
7. 某小组7位同学的中考体育测试成绩（满分30分）依次为27，30，29，27，30，28，30，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）
A. 30，27 B. 30，29 C. 29，30 D. 30，28
【答案】B.
【考点】众数；中位数.
【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中30出现3次，出现的次数最多，故这组数据的众数为30.
中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）.由此将这组数据重新排序为27，27，28，29，30，30，30，∴中位数是按从小到大排列后第4个数为：29.
故选B．
8. 如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C.
【考点】锐角三角函数定义.
【分析】根据余弦函数定义：对各选项逐一作出判断：
A. 在中，，正确；
B. 在中， ，正确；
C、D.在中，∵，∴ .故C错误；D正确.
故选C．
9. 平面直角坐标系中，过点（-2，3）的直线经过一、二、三象限，若点（0，），（-1，），（，-1）都在直线上，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D.
【考点】一次函数的图象和性质；数形结合思想的应用.
【分析】如答图，可知，，故选D．

10. 如图，在方格纸中，线段，，，的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有（ ）
A. 3种 B. 6种 C. 8种 D. 12种
【答案】B．
【考点】网格问题；勾股定理；三角形构成条件；无理数的大小比较；平移的性质；分类思想的应用.
【分析】由图示，根据勾股定理可得：.
∵，
∴根据三角形构成条件，只有三条线段首尾相接能组成三角形.
如答图所示，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，能组成三角形的不同平移方法有6种.
故选B．

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 分解因式： ▲ .
【答案】 .
【考点】应用公式法因式分解.
【分析】因为，所以直接应用平方差公式即可：.
12. 有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是 ▲ .
【答案】 .
【考点】概率.
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 所以，
求从标有1到6序号的6张卡片中任意抽取一张，抽到序号是3的倍数的概率即看是3的倍数的情况数占总情况数的多少即可：共有6张牌，是3的倍数的有3，6共2张，∴抽到序号是3的倍数的概率是.
13. 如图，圆心角∠AOB=20°，将旋转得到，则的度数是
▲ 度

【答案】20.
【考点】旋转的性质；圆周角定理.
【分析】如答图，
∵将旋转得到，∴根据旋转的性质，得.
∵∠AOB=20°，∴∠COD=20°.
∴的度数是20°.
14. 解一元二次方程时，可转化为两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程 ▲ .
【答案】（答案不唯一）.
【考点】开放型；解一元二次方程.
【分析】∵由得，
∴或.
15. 如图，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E，F在BD上，已知∠BAD=120°，∠EAF=30°，则= ▲ .

【答案】.
【考点】菱形的性质；等腰直角三角形和含30度角直角三角形的性质；特殊元素法的应用.
【分析】如答图，过点E作EH⊥AB于点H，
∵四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，∠BAD=120°，∠EAF=30°，
∴∠ABE=30°，∠BAE=45°.
不妨设，
∴在等腰中，；在中，.
∴. ∴.
16. 如图，反比例函数的图象经过点（-1，），点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与轴交于点P，连结BP.
（1）的值为 ▲ .
（2）在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是 ▲ .

【答案】（1） ；（2）（2，）.
【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；等腰直角三角形的性质；角平分线的性质；相似、全等三角形的判定和性质；方程思想的应用.
【分析】（1）∵反比例函数的图象经过点（-1，），
∴.
（2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，过B点作BN⊥轴于点N，
设，则.
∴.
∵△ABC是等腰直角三角形，∴，∠BAC=45°.
∵BP平分∠ABC，∴.∴.
∴.∴.
又∵，
∴.
易证，∴.
由得，，
解得.
∴，.
如答图2，过点C作EF⊥轴，过点A作AF⊥EF于点F，过B点作BE⊥EF于点E，
易知，，∴设.
又∵，
∴根据勾股定理，得，即.
∴，解得或（舍去）.
∴由，可得.

三、解答题（本题有8小题，共66分，每个小题都必须写出解答过程）
17. （2015年浙江丽水6分）计算：
【答案】解：原式=.
【考点】实数的运算；绝对值；零指数幂；负整数指数幂.
【分析】针对绝对值，零指数幂，负整数指数幂3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.
18. （2015年浙江丽水6分）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：.
当时，原式=.
【考点】整式的混合运算—化简求值.
【分析】根据去括号、平方差公式和合并同类项的法则，化简代数式，将代入化简后的代数式求值，可得答案．
19. （2015年浙江丽水6分）如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等.
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数.

【答案】解：（1）作图如下：

（2）∵△ABC中，∠C=Rt∠，∠B=37°，∴∠BAC=53°.
∵AD=BD，∴，∠B=∠BAD=37°
∴∠CAD=∠BAC∠BAD=16°.
【考点】尺规作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形两锐角的关系；等腰三角形的性质.
【分析】（1）因为到A，B两点的距离相等在线段AB的垂直平分线上，因此，点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，据此作图即可.
（2）根据直角三角形两锐角互余，求出∠BAC，根据等腰三角形等边对等角的性质，求出∠BAD，从而作差求得∠CAD的度数.
20. （2015年浙江丽水8分）某运动品牌对第一季度A、B两款运动鞋的销售情况进行统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示：
（1）一月份B款运动鞋的销售量是A款的，则一月份B款运动鞋销售了多少双？
（2）第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求三月份的总销售额（销售额=销售单价×销售量）；
（3）结合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出一条建议。

【答案】解：（1）∵，
∴一月份B款运动鞋销售了40双.
（2）设A、B两款运动鞋的销售单价分别为元，
则根据题意，得，解得.
∴三月份的总销售额为（元）.
（3）答案不唯一，如：
从销售量来看，A款运动鞋销售量逐月上升，比B款运动鞋销售量大，建议多进A款运动鞋，少进或不进B款运动鞋.
从总销售额来看，由于B款运动鞋销售量逐月减少，导致总销售额减少，建议采取一些促销手段，增加B款运动鞋的销售量.
【考点】开放型；代数和统计的综合题；条形统计图和折线统计图； 二元一次方程组的应用.
【分析】（1）根据条形统计图A款运动鞋的销售量和B款运动鞋的销售量是A款的即可列式求解.
（2）方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程（组）求解.本题设A、B两款运动鞋的销售单价分别为元，等量关系为：“一月份A、B两款运动鞋的总销售额40000元”和“二月份A、B两款运动鞋的总销售额50000元”.
（3）答案不唯一，合理即可.
21. （2015年浙江丽水8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O 的切线DF，交AC于点F.
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积.

【答案】解：（1）证明：如答图，连接OD，
∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB.
∴AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
∴∠ODB=∠ACB.∴OD∥AC.
∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD
∴DF⊥AC.
（2）如答图，连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°. ∴∠BAC=45°.
∵OA=OB，∴∠AOE=90°.
∵⊙O的半径为4，∴.
【考点】等腰三角形的性质；平行的判定；切线的性质；三角形内角和定理；扇形和三角形面积的计算；转换思想的应用.
【分析】（1）要证DF⊥AC，由于DF是⊙O的切线，有DF⊥OD，从而只要OD∥AC即可，根据平行的判定，要证OD∥AC即要构成同位角或内错角相等，从而需作辅助线连接OD，根据等腰三角形等边对等角的性质由∠ABC=∠ODB和∠ABC=∠ACB即可得.
（2）连接OE，则，证明△AOE是等腰直角三角形即可求得和.
22. （2015年浙江丽水10分）甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走. 设甲乙两人相距（米），甲行走的时间为（分），关于的函数函数图像的一部分如图所示.
（1）求甲行走的速度；
（2）在坐标系中，补画关于函数图象的其余部分；
（3）问甲、乙两人何时相距360米？

【答案】解：（1）甲行走的速度为：（米/分）.
（2）补画关于函数图象如图所示（横轴上对应的时间为50）：

（3）由函数图象可知，当和时，；当时，，
当时，由待定系数法可求：，
令，即，解得.
当时，由待定系数法可求：，
令，即，解得.
∴甲行走30.5分钟或38分钟时，甲、乙两人相距360米.
【考点】一次函数的应用；待定系数法、分类思想和方程思想的应用.
【分析】（1）根据图象，知甲出发5分钟行走了150米，据此求出甲行走的速度.
（2）因为乙走完全程要分钟，甲走完全程要分钟，所以两人最后相遇在50分钟处，据此补画关于函数图象.
（3）分和两种情况求出函数式，再列方程求解即可.
23. （2015年浙江丽水10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N.
（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；
（2）若，求的值；
（3）若，当为何值时，MN∥BE？

【答案】解：（1）证明：∵F为BE中点，∴BF=EF.
∵AB∥CD，∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF.
∴△BMF≌△ECF（AAS）.∴MB=CE.
∵AB=CD，CE=DE，∴MB=AM. ∴AM=CE.
（2）设MB=，
∵AB∥CD，∴△BMF∽△ECF. ∴.
∵，∴.∴.
∴.
∵，∴.
∵MN⊥MC，∠A=∠ABC=90°，∴△AMN∽△BCM.
∴，即.∴.
∴.
（3）设MB=，
∵，∴由（2）可得.
当MN∥BE时，CM⊥BE.
可证△MBC∽△BCE. ∴，即.
∴.
∴当时，MN∥BE.
【考点】探究型问题；矩形的性质；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质.
【分析】（1）应用AAS证明△BMF≌△ECF即可易得结论.
（2）证明△BMF∽△ECF和△AMN∽△BCM，应用相似三角形对应边成比例的性质即可得出结果.
（3）应用（2）的一结结果，证明△MBC∽△BCE即可求得结果.
24. （2015年浙江丽水12分）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为（米），与桌面的高度为（米），运行时间为（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
（秒）
0
0.16
0.2
0.4
0.6
0.64
0.8
…
（米）
0
0.4
0.5
1
1.5
1.6
2
…
（米）
0.25
0.378
0.4
0.45
0.4
0.378
0.25
…
（1）当为何值时，乒乓球达到最大高度？
（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
（3）乒乓球落在桌面上弹起后，与满足
①用含的代数式表示；
②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米，若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求的值.

【答案】解：如答图，以点 为原点，桌面中线为轴，乒乓球水平运动方向为正方向建立平面直角坐标系.
（1）由表格中数据可知，当秒时，乒乓球达到最大高度.
（2）由表格中数据可判断，是的二次函数，且顶点为（1，0.45），所以可设.
将（0，0.25）代入，得，
∴.
当时，，解得或（舍去）.
∴乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是2.5米.
（3）①由（2）得，乒乓球落在桌面时的坐标为（2.5，0）.
∴将（2.5，0）代入，得，
化简整理，得.
②由题意可知，扣杀路线在直线上，
由①得，
令，整理，得.
当时，符合题意，
解方程，得.
当时，求得，不合题意，舍去；
当时，求得，符合题意.
答：当时，可以将球沿直线扣杀到点A.
【考点】二次函数的应用（实际应用）；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；一元二次方程根的判别式的应用.
【分析】（1）由表格中数据直接得出.
（2）判断出是的二次函数，设顶点式，求出待定系数得出关于的解析式，求得时的值即为所求.
（3）①求出乒乓球落在桌面时的坐标代入即可得结果.
②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米，所以扣杀路线在直线上，将代入，得，由于球弹起后，恰好有唯一的击球点，所以方程根的判别式等于0，求出此时的，符合题意的即为所求.