2014年武汉市中考数学试题及答案.doc

2014年武汉市初中毕业生学业考试
数学试卷
第I卷（选择题，共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
下列各题中均有四个备选答案中，其中有且只有一个是正确的
1．在实数－2、0、2、3中，最小的实数是（　　）
A．－2 B．0 C．2 D．3
2．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥－3 B．x＞3 C．x≥3 D．x≤3
3．光速约为300 000千米/秒，将数字300 000用科学记数法表示为（ ）
A．3×104 B．3×105 C．3×106 D．30×104
4．在一次中学生田径运动会上，参加调高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩（m）
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
1
2
4
3
3
2
那么这些运动员跳高成绩的众数是（ ）
A．4 B．1.75 C．1.70 D．1.65
5．下列代数运算正确的是（ ）
A．(x3)2＝x5 B．(2x)2＝2x2 C．x3·x2＝x5 D．(x＋1)2＝x2＋1
6．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A．(3，3) B．(4，3)
C．(3，1) D．(4，1)

7．如图，由4个大小相同的正方体组合而成的几何体：

其俯视图是（ ）

A B C D
8．为了解某一路口某一时刻的汽车流量，小明同学10天中在同一时段统计该路口的汽车数量（单位：辆），将统计结果绘制成如下折线统计图：

由此估计一个月（30天）该时段通过该路口的汽车数量超过200辆的天数为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
9．观察下列一组图形中的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……，按此规律第5个图中共有点的个数是（ ）
A．31 B．46 C．51 D．66

10．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E交PA、PB于C、D，若⊙O的半径为r，PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（ ）
A． B．
C． D．

第II卷（非选择题， 共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．计算：－2＋(－3)＝_______
12．分解因式：a3－a＝_______________
13．如图，一个转盘被分成7个相同的扇形，颜色分别为红黄绿三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向红色的概率为_______

第13题图 第14题图
14．一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程为______米
15．如图，若双曲线与边长为5的等边△AOB的边OA、AB分别相交于C、D两点，且OC＝3BD，则实数k的值为______[来

第15题图 第16题图
16．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为______
三、解答题（共9小题，共72分）
17．（本小题满分6分）
解方程：
18．（本小题满分6分）
已知直线y＝2x－b经过点(1，－1)，求关于x的不等式2x－b≥0的解集

19．（本小题满分6分）
如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，求证：AB∥CD

20．（本小题满分7分）
如图，在直角坐标系中，A(0，4)、C(3，0)
(1) ① 画出线段AC关于y轴对称线段AB
② 将线段CA绕点C顺时针旋转一个角，得到对应线段CD，使得AD∥x轴，
请画出线段CD
(2) 若直线y＝kx平分(1)中四边形ABCD的面积，请直接写出实数k的值

21．（本小题满分7分）
袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球
（1）先从袋中摸出1个绿球后放回，混合均匀后再摸出1个球
① 求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率
② 求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率

(2) 先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果

22．（本小题满分8分）
如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5
(1) 如图(1)，若点P是弧AB的中点，求PA的长
(2) 如图(2)，若点P是弧BC的中点，求PA的长[

第22题图（1） 第22题图（2）

23．（本小题满分10分）
九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x（天）
1≤x＜50
50≤x≤90
售价（元/件）
x＋40
90
每天销量（件）[来
200－2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元[来源:学科网]
(1) 求出y与x的函数关系式
(2) 问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
(3) 该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果

24．（本小题满分10分）
如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ
(1) 若△BPQ与△ABC相似，求t的值
(2) 连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值
(3) 试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上

第24题图

25．（本小题满分12分）
如图，已知直线AB：y＝kx＋2k＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点
(1) 直线AB总经过一个定点C，请直接写出点C坐标
(2) 当k＝－时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5
(3) 若在抛物线上存在定点D使∠ADB＝90°，求点D到直线AB的最大距离

2014年武汉中考数学试题参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
D
C
A
C
C
B
B
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. -5； 12.a(a+1)(a-1)； 13.； 14. 2200； 15. ； 16. .
三．解答题（共9小题，共72分）
17. （本小题满分6分）解：方程两边同乘以x(x-2)，得， 2x=3(x-2)，………………3分
解得x=6， …………………………………5分
检验：x=6时，x(x-2)0，
x=6是原分式方程的解. …………………………………6分
18. （本小题满分6分）解：直线y=2x-b经过点（1，-1），
-1=21-b， …………………………………2分
b=3， …………………………………4分
不等式2x-b0为2x-30， ……………………5分
解得x. …………………………………………………6分
19. （本小题满分6分）证明：在△AOB和△COD中，，
∴△AOB≌△COD. …………………………………4分
∴∠A=∠C，……5分 ∴AB∥CD. …………………6分
20. （本小题满分7分）（1）解：如图所示； …4分

（2）. ……………………………7分
21. （本小题满分7分）
解：(1）分别用R1，R2表示2个红球，G1，G2表示2个绿球，列表如下：
一 二
R1
R2
G1
G2

R1
R1 R1
R1 R2
R1 G1
R1 G2

R2
R2 R1
R2 R2
R2 G1
R2 G2

G1
G1 R1
G1 R2
G1 G1
G1 G2

G2
G2 R1
G2 R2
G2 G1
G2 G2

……………3分
由上表可知，有放回地摸2个球共有16个等可能结果.
① 其中第一次摸到绿球，第二次摸到红球的结果有4个，
∴第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率 P==； …………………………4分
②其中两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的结果有8个，
∴两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率 P==. ………………………5分
画树形图法按步骤给分（略）.
(2) …………………………………………………7分
第22题图（1）
22．（本小题满分8分）解：（1）如图（1），连接PB，
∵AB是⊙O的直径，P是的中点，
∴PA=PB，∠APB=90°. ………… 1分
∵AB=13，∴PA=AB=； ……………………3分
（2）方法1: 如图（2），连接OP交BC于D点，连接PB，
∵P是的中点，∴OP⊥BC于D，BD=CD，………4分
第22题图（2）
∵OA=OB，∴OD=AC=，
∵OP=AB=，∴PD=OP-OD=-=4， ………5分
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵AB=13，AC=5，∴BC=12，∴BD=BC=6， ………6分
∴PB==，
∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°，∴PA==. ………………8分
方法2：如图（3），作PH⊥AB于H，交⊙O于Q，
则PH=QH，OB⊥PQ，∴，∴，∴PQ=BC，………4分
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
第22题图（3）
∵AB=13，AC=5，∴BC=12，∴PH =PQ=BC=6， ………5分
∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°，
∵AB⊥PH，∴∠PAH=∠BPH，∴△PAH∽△BPH，∴，
设AH=x，则BH=13-x，∴，∵AH>BH，∴x=9，………7分
∴PA==. …………………………………8分
第22题图（4）
方法3：如图（4），同方法2，PH =6，………5分
∵AB=13，∴OP=，∴OH==，
∴AH=AO+OH=+=9， ………7分
∴PA==. …………………8分
23. （本小题满分10分）解：(1) y= ………3分
(2)当1≤x＜50时，y==-2+6050，………………………4分
∵a=-2＜0，∴当x=45时，y有最大值，最大值为6050元. ………………………5分
当50≤x≤90，y=-120x+12000， ∵k=-120＜0，∴y随x的增大而减小，
当x=50时，y有最大值，最大值为6000元. ………………………6分
∴当x=45时，当天的销售利润最大，最大利润为6050元. ………………………7分
(3)41. ……………………………………………………… 10分
24．（本小题满分10分）（1）解：由题知，BP=5t,CQ=4t,∴BQ=8-4t
当△ABC～△PBQ时，有，∴，解得 t=1. ……2分
第24题图（1）
当△ABC～△QBP时，有,,解得 t=.
∴△ABC与△PBQ相似时，t=1秒或秒. ………………3分
（2）解：如图（1），过点P作PD⊥BC于D.
依题意，得BP=5t，CQ=4t，则PD=PBsinB=3t.
∴BD=4t，CD=8-4t， ……………………4分.
∵AQ⊥CP，∠ACB=90°，∴tan∠CAQ=tan∠DCP，
∴，……5分∴，∴. ………7分
（3）证明:方法1：如图（2），过点P作PD⊥AC于D,连接DQ，BD，BD交PQ于M.
第24题图（2）
则PD=APcos∠APD=APcos∠ABC=(10-5t)=8-4t，………………8分
而BQ=8-4t. ∴PD=BQ且PD∥BQ,∴四边形PDQB是平行四边形，
∴点M是PQ和BD的中点. ………………………………………9分
过点M作EF∥AC交BC，BA于E，F两点.,
则，即E为BC的中点. 同理F为BA中点.
第24题图（3）
∴PQ中点M在△ABC的中位线EF上. ………………………10分
方法2：如图（3），作△ABC的中位线EF，交PQ于点M.过点P作PD⊥BC于D. 由（2）得BD=CQ=4t， ……………………8分
∴点E为DQ中点. ……………………9分
∵EM∥DP，∴.∴.
∴PQ中点M在△ABC的中位线EF上. …………………10分
25. （本小题满分12分）
(1). 解：C(-2，4)； …………………………………2分
(2). 解：方法1：如图（1），联立 ，解得A(-3，)，B(2，2). ……3分
第25题图(（1）
设P(t，)，过点P作PQ∥y轴交AB于点Q,则Q(t，-t+3)，∴PQ=--t+3， …4分
∴S△ABP=S△PQA+S△PQB=PQ（xB-xA）=·(--t+3)·5，
∴·(--t+3)·5=5， ………………5分
解得t1=-2，t1=1.∴点P的坐标为P1(-2，2)，P2(1，). ……7分
第25题图（2）
方法2：解：如图（2），直线与y轴交于点N（0，3），
在y轴上取点Q（0,1）则S△ABQ=5. ……………………4分.
过点Q作PQ∥AB交抛物线于点P，
则PQ的解析式为， …………………5分
由解得，
第25题图（3）
.∴P点坐标为 …………………7分
（3）解：如图（3），设A(x1，)，B(x2，x22)，D(m，m2)，
联立，消去y得：x2-2kx-4k-8=0，
∴x1+x2=2k， x1·x2=-4k-8； …………………8分
过点D作EF∥x轴，过点A作y轴的平行线交EF于点E, 过点B作y轴的平行线交EF于点F,由△ADE∽△DBF得：, ……………………9分
∴，化简，得x1·x2+m（x1+x2）+m2=-4.
∴2k（m-2）+m2-4=0. ………………………10分
当m-2=0，即m=2时，点D的坐标与k无关.∴点D的坐标为（2，2）. …………11分
又∵C(-2，4)，所以CD=.过点D作DM⊥AB，垂足为M, 则DM≤CD,
当CD⊥AB时，点D到直线AB的距离最大，最大距离为. ……12分