2009年湖南省娄底市中考数学试卷（教师版）.doc

2009年湖南省娄底市中考数学试卷（教师版）

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）（﹣3）2的相反数是（　　）
A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9
【考点】14：相反数；1E：有理数的乘方．菁优网版权所有
【分析】根据相反数，平方的概念求值．
【解答】解：（﹣3）2的相反数是﹣9．
故选：D．
【点评】主要考查相反数，平方的概念．
相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．a2•a3＝a5
C．2a+3b＝5ab D．3﹣2＝1
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；4C：完全平方公式．菁优网版权所有
【分析】根据完全平方公式、同底数幂的乘法、合并同类项法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项错误；
B、a2•a3＝a2+3＝a5，正确；
C、2a与3b不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D、3与2不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握法则和性质是解题的关键，完全平方公式学生出错率比较高．
3．（3分）如图，已知AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数是（　　）

A．63° B．83° C．73° D．53°
【考点】JA：平行线的性质；K8：三角形的外角性质．菁优网版权所有
【分析】因为AC∥ED，所以∠BED＝∠EAC，而∠EAC是△ABC的外角，所以∠BED＝∠EAC＝∠CBE+∠C．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝26°，∠CBE＝37°，
∴∠CAE＝∠C+∠CBE＝26°+37°＝63°，
∵AC∥ED，
∴∠BED＝∠CAE＝63°．
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形外角与内角的关系及两直线平行的性质．
4．（3分）下列哪个不等式组的解集在数轴上表示如图所示（　　）

A． B． C． D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【分析】数轴上的两个折线表示两个不等式的解集，两个不等式的解集本身就是两个不等式．这两个不等式组成的不等式组就满足条件．
【解答】解：由图示可看出，从﹣1出发向右画出的线且﹣1处是空心圆，表示x＞﹣1；
从2出发向左画出的线且2处是实心圆，表示x≤2．
所以这个不等式组为．
故选：C．
【点评】不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．（3分）我市统计局发布的统计公报显示，2004年到2008年，我市GDP增长率分别为：9.6%，10.2%，10.4%，10.6%，10.3%．经济学家评论说，这5年的年度GDP增长率相当平稳，从统计学的角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据的（　　）比较小．
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
【考点】W7：方差．菁优网版权所有
【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故从统计角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据方差比较小．
【解答】解：由于方差反映的是数据的波动大小，故增长率相当平衡是指明方差比较小．
故选：D．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6．（3分）下列命题，正确的是（　　）
A．如果|a|＝|b|，那么a＝b
B．等腰梯形的对角线互相垂直
C．顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形
D．相等的圆周角所对的弧相等
【考点】O1：命题与定理．菁优网版权所有
【分析】根据绝对值，等腰梯形，平行四边形，圆周角定理的相关知识即可作出判断．
【解答】解：A、错误，如果|a|＝|b|，那么a＝±b；
B、错误，等腰梯形的对角线不一定互相垂直；
C、正确；
D、错误，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
故选：C．
【点评】本题考查绝对值，等腰梯形，平行四边形，圆周角定理的判定与命题的真假区别．
7．（3分）市一小数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示．设矩形的宽为xcm，长为ycm，那么这些同学所制作的矩形长y（cm）与宽x（cm）之间的函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】GA：反比例函数的应用．菁优网版权所有
【分析】根据题意有：xy＝200；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y的实际意义有x、y应大于0；故答案为A．
【解答】解：∵xy＝200
∴y＝（x＞0，y＞0）
故选：A．
【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
8．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误的是（　　）

A．AD＝BD B．∠ACB＝∠AOE C． D．OD＝DE
【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理．菁优网版权所有
【分析】由垂径定理和圆周角定理可证，AD＝BD，AD＝BD，，而点D不一定是OE的中点，故D错误．
【解答】解：∵OD⊥AB
∴由垂径定理知，点D是AB的中点，有AD＝BD，，
∴△AOB是等腰三角形，OD是∠AOB的平分线，
有∠AOE＝∠AOB，
由圆周角定理知，∠C＝∠AOB，
∴∠ACB＝∠AOE，
故A、B、C正确，
D中点D不一定是OE的中点，故错误．
故选：D．
【点评】本题利用了垂径定理，等腰三角形的性质和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
9．（3分）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O，准星A，目标B在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA＝0.2米，OB＝40米，AA′＝0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为（　　）

A．3米 B．0.3米 C．0.03米 D．0.2米
【考点】SA：相似三角形的应用．菁优网版权所有
【分析】由题意可知，准星和靶是平行的，根据两三角形相似，对应边成比例列方程即可解答．
【解答】解：∵AA′∥BB′
∴OA：OB＝AA′：BB′
∴
解得：BB′＝0.3米．
故选：B．
【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程可求出偏离的距离．
10．（3分）一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．它们的函数值y随着x的增大而增大
B．它们的函数值y随着x的增大而减小
C．k＜0
D．它们的自变量x的取值为全体实数
【考点】F3：一次函数的图象；G2：反比例函数的图象．菁优网版权所有
【分析】根据反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质可知．反比例函数值增减性必须强调在每个象限或在每一支上，反比例函数自变量x不等于0．
【解答】解：A、反比例函数的增减性必须强调在每个象限内，故错误；
B、反比例函数的增减性必须强调在每个象限内，故错误；
C、都位于二四象限，所以k＜0，故正确；
D、反比例函数自变量x≠0，所以它们的自变量x的取值为x≠0的全体实数，错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）计算：2﹣1+（1﹣）0﹣cos60°＝　1　．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【分析】根据特殊角的三角函数值、非0实数的负整数次幂及非0数的0次幂计算．
【解答】解：原式＝2﹣1+（1﹣）0﹣cos60°＝+1﹣＝1．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算及零指数和负整数指数次幂的计算，属基础题．
12．（3分）下面有A、B、C、D、E五张质地均匀、大小形状完全相同的卡片，有运算式的一面朝下，洗匀后，从中随机抽取1张卡片，卡片上运算正确的概率是　　．

【考点】X4：概率公式．菁优网版权所有
【分析】卡片上运算正确的情况数除以总卡片数即为所求的概率．
【解答】解：∵共5张卡片，有3张运算正确，
∴从中随机抽取1张卡片，卡片上运算正确的概率是．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
13．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于C，AB＝3cm，PB＝4cm，则BC＝　　cm．

【考点】KQ：勾股定理；M5：圆周角定理；MC：切线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据切线的性质可知∠ABP＝90°，又AB是⊙O的直径，可知∠ACB＝90°，故根据勾股定理可将斜边AP求出；再根据三角形面积的求法，从而将斜边的高求出．
【解答】解：∵PB是⊙O的切线，
∴∠ABP＝90°，
∵AB＝3cm，PB＝4cm，
∴AP＝＝＝5；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即BC为△ABP的高；
∵×AB×BP＝×AP×BC，
即×3×4＝×5×BC，
∴BC＝．
【点评】本题综合考查了切线和圆周角的求法及性质．
14．（3分）为应对金融危机，拉动内需，湖南省人民政府定今年为“湖南旅游年”．青年旅行社3月底组织赴凤凰古城、张家界风景区旅游的价格为每人1000元，为了吸引更多的人赴凤凰、张家界旅游，在4月底、5月底进行了两次降价，两次降价后的价格为每人810元，那么这两次降价的平均降低率为　10　%．
【考点】AD：一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【分析】降低后的价格＝降低前的价格×（1﹣降低率），如果设平均每次降价的百分率是x，则第一次降低后的价格是1000（1﹣x），那么第二次后的价格是1000（1﹣x）2，即可列出方程求解．
【解答】解：设这两次降价的平均降低率为x，则1000×（1﹣x）2＝810，
解得x1＝0.1＝10%；x2＝﹣1.9（舍去）．
故这两次降价的平均降低率为10%．
【点评】本题考查数量平均变化率问题，若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．
15．（3分）如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝﹣x2的图象，则阴影部分的面积是　2π　．

【考点】H2：二次函数的图象．菁优网版权所有
【分析】不规则图形面积通过对称转化为可求的图形面积．
【解答】解：由图形观察可知，把x轴上边的阴影部分的面积对称到下边就得到一个半圆阴影面积，则阴影部分的面积s＝＝2π．
故答案为：2π．
【点评】此题主要考查了学生的观察图形与拼图的能力．
16．（3分）王婧同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案，依此规律，第n个“中”字形图案需　6n+3@9+6（n﹣1）　根火柴棒．

【考点】38：规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
【分析】通过观察发现后边的图形总比前边的图形多的根数，即可解决．
【解答】解：观察图形发现：第一个图形中有9根，后边是多一个图形，多6根．根据这一规律，则第n个图形中，需要9+6（n﹣1）＝6n+3．
【点评】首先正确数出第一个图形中的根数，然后观察分析可得到答案．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．（7分）先化简，再求值：+÷，其中x＝．
【考点】6D：分式的化简求值．菁优网版权所有
【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式化简，然后再代入求值．
【解答】解：原式＝+×，
＝+，
＝+，
＝，
＝；
当x＝时，原式＝＝1﹣．
【点评】这是个分式除法与加法混合运算题，运算顺序是先做除法，做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分；然后再做加法．化简后代数求值．
18．（7分）娄底至新化高速公路的路基工程分段招标，市路桥公司中标承包了一段路基工程，进入施工场地后，所挖筑路基的长度y（m）与挖筑时间x（天）之间的函数关系如图所示，
请根据提供的信息解答下列问题：
（1）请你求出：
①在0≤x＜2的时间段内，y与x的函数关系式；
②在x≥2时间段内，y与x的函数关系式．
（2）用所求的函数解析式预测完成1620m的路基工程，需要挖筑多少天？

【考点】E9：分段函数；FH：一次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）本题图形分为两段（2，80）为转折点，①前段为正比例函数，②后段为一次函数；
（2）把完成1620 m的路基工程代入（1）的函数关系式即可求出要挖筑的天数．
【解答】解：（1）①当0≤x＜2时，设y与x的函数关系式为y＝kx（k≠0），
∵（1，40）在图象上，
∴40＝k，
∴y与x的函数式为y＝40x（0≤x＜2）；
②当x≥2时，设y与x的函数式为y＝kx+b（k≠0），
依题意得
，
解之得，
∴y与x的函数式为y＝35x+10（x≥2）；

（2）预测完成1620m的路基工程时，即y＝1620，代入（1）中所求函数关系式，求出x的值即可．
当y＝1620时，35x+10＝1620，
∴x＝46．
答：完成1620m的路基工程，需要挖筑46天．
【点评】分段函数是函数问题的难点，但只要弄清所给数据属于哪一段函数，应该用哪一个解析式求解就行了．
19．（8分）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE，张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端A的仰角为50°，测得条幅底端E的仰角为30度．问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有
【分析】首先分析图形，根据题意过D点作DF⊥AB于F点构造直角三角形．利用其公共边构造方程求解．
【解答】解：作DF⊥AB于F点，依题意，得∠FDA＝50°，∠FDE＝30°，
在Rt△DEF中，设EF＝x，则DF＝x．
在Rt△ADF中，tan50°＝≈1.20，
∴30+x＝x×1.20，
x≈27.8，
∴DF＝x≈48．
答：张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的．

【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
20．（6分）如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系．
（1）画出四边形OABC关于y轴对称的四边形OA1B1C1，并写出点B1的坐标是　（﹣6，2）　；
（2）画出四边形OABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的四边形OA2B2C2，并求出点C旋转到点C2经过的路径的长度．

【考点】P7：作图﹣轴对称变换；R8：作图﹣旋转变换．菁优网版权所有
【分析】（1）对四边形关于y轴轴对称，对称前后对应点的坐标特点是：横坐标互为相反数，纵坐标相等；
（2）对四边形OABC绕点O顺时针方向旋转90°，可以充分运用坐标轴的垂直关系，寻找各点的对应点，确定其坐标；求路径实质上就是求弧长了．
【解答】解：（1）如图：B1的坐标是（﹣6，2）；（作图（2分），填空（1分），共3分）

（2）如图：
L＝＝π．
（作图（2分），计算（1分），共3分）
【点评】本题考查了坐标系里的轴对称，旋转问题，要运用形数结合的方法，画图，确定点的坐标．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE，CE．
（1）求证：△ABE≌△ACE；
（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．

【考点】KB：全等三角形的判定；L9：菱形的判定．菁优网版权所有
【分析】由题意可知三角形三线合一，结合SAS可得△ABE≌△ACE．四边形ABEC相邻两边AB＝AC，只需要证明四边形ABEC是平行四边形的条件，当AE＝2AD（或AD＝DE或DE＝AE）时，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵点D为BC的中点，
∴∠BAE＝∠CAE（三线合一），
在△ABE和△ACE中，
∵，
∴△ABE≌△ACE（SAS）．

（2）解：当AE＝2AD（或AD＝DE或DE＝AE）时，四边形ABEC是菱形
理由如下：
∵AE＝2AD，∴AD＝DE，
又∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∵AB＝AC，
∴四边形ABEC为菱形．
【点评】本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质和菱形的判定定理，比较容易．
22．（8分）为了加快社会主义新农村建设，让农民享受改革开放30年取得的成果，党中央、国务院决定：凡农民购买家电和摩托车享受政府13%的补贴（凭购物发票到乡镇财政所按13%领取补贴）．星星村李伯伯家今年购买了一台彩电和一辆摩托车共花去6000元，且该辆摩托车的单价比所买彩电的单价的2倍还多600元．
（1）李伯伯可以到乡财政所领到的补贴是多少元？
（2）求李伯伯家所买的摩托车与彩电的单价各是多少元？
【考点】9A：二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）根据农民购买家电和摩托享受政府13%的补贴及一共花去6000元，可以求出补贴钱数；
（2）用二元一次方程解应用题的关键是找到两个合适的等量关系．本题中两个等量关系是：彩电单价+摩托车单价＝6000，摩托车单价＝2×彩电单价+600，根据这两个等量关系可以列出方程组．
【解答】解：（1）6000×13%＝780（1分）
答：李伯伯可以从政府领到补贴780元；（2分）

（2）方法一：设彩电的单价为x元/台．（3分）
x+2x+600＝6000（5分）
3x＝5400
x＝1800（6分）
2x+600＝2×1800+600＝4200．（7分）
答：彩电与摩托车的单价分别为1800元/台、4200元/辆．（8分）

方法二：设买摩托车的单价为x元/辆，彩电单价为y元/台．（3分）
（5分）
解得：（7分）
答：彩电与摩托车的单价分别为1800元/台、4200元/辆．（8分）
【点评】本题关键是弄清题意，找到等量关系：彩电单价+摩托车单价＝6000，摩托车单价＝2×彩电单价+600．
23．（8分）“勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做些力所能及的家务．王刚同学在本学期开学初对部分同学寒假在家做家务的时间进行了抽样调查（时间取整数小时），所得数据统计如下表：
时间分组
0.5～20.5
20.5～40.5
40.5～60.5
60.5～80.5
80.5～100.5
频 数
20
25
30
15
10
（1）抽取样本的容量是　100　；
（2）根据表中数据补全图中的频数分布直方图；
（3）样本的中位数所在时间段的范围是　40.5～60.5　；
（4）若该学校有学生1260人，那么大约有多少学生在寒假做家务的时间在40.5～100.5小时之间？

【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体；V8：频数（率）分布直方图；W4：中位数．菁优网版权所有
【分析】（1）注意样本容量是数据的个数，但是不带单位；
（2）根据绘制直方图的步骤画图；
（3）根据中位数的概念计算；
（4）用样本估计总体可知，×1260＝693．
【解答】解：
（1）样本容量＝20+30+15+25+10＝100；

（2）如图：

（3）数据共有100个，中位数是第50，51个数的平均数，中位数落在40.5～60.5内；

（4）×1260＝693．
答：大约有693名学生在寒假做家务的时间在40.5～100.5小时之间．
【点评】主要考查了统计中的基本概念以及用样本估计总体的能力．求样本容量时注意不带单位，中位数是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
24．（8分）已知关于x的二次函数y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2+3m+4．
（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数；
（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22＝5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【分析】（1）由△＝b2﹣4ac可写出用m表示的△关系式，分别讨论m在取不同的值时二次函数y的图象与x轴的交点的个数；
（2）由根与系数的关系可把x12+x22转换为m的表达式，由此可得方程2m2﹣10m﹣7＝5，求出m的值可得二次函数解析式；则根据函数表达式可求出顶点M及与y轴交点C的坐标，使用代入法可求得直线CM的解析式．
【解答】解：（1）令y＝0，得：x2﹣（2m﹣1）x+m2+3m+4＝0，
∴△＝（2m﹣1）2﹣4（m2+3m+4）＝﹣16m﹣15，
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即﹣16m﹣15＞0，
∴m＜﹣，
此时y的图象与x轴有两个交点；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根，即﹣16m﹣15＝0，
∴m＝﹣，
此时，y的图象与x轴只有一个交点；
当△＜0时，方程没有实数根，即﹣16m﹣15＜0，
∴m＞﹣，
此时y的图象与x轴没有交点．
∴当m＜﹣时，y的图象与x轴有两个交点；
当m＝﹣时，y的图象与x轴只有一个交点；
当m＞﹣时，y的图象与x轴没有交点．

（2）由根与系数的关系得x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2+3m+4，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2m﹣1）2﹣2（m2+3m+4）＝2m2﹣10m﹣7，
∵x12+x22＝5，
∴2m2﹣10m﹣7＝5，
∴m2﹣5m﹣6＝0，
解得：m1＝6，m2＝﹣1，
∵m＜﹣，
∴m＝﹣1，
∴y＝x2+3x+2，
令x＝0，得y＝2，
∴二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为（0，2），
又y＝x2+3x+2＝（x+）2﹣，
∴顶点M的坐标为（﹣，﹣），
设过C（0，2）与M（﹣，﹣）的直线解析式为y＝kx+b，
解得k＝，b＝2，
∴所求的解析式为y＝x+2．
【点评】本题考查了一元二次方程中△的应用，考查了学生分类讨论问题的能力；需注意灵活运用一元二次方程中根与系数的关系的求函数解析式；求函数解析式一般要用待定系数法．
25．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE＝90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE＝4，∠DEF＝∠CBA，AH：AC＝2：3
（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积．
（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如图）．
探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由．
探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系．

【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）由于三角形AHG和ACB相似，可通过相似比求出HG的值，然后根据三角形的面积计算公式即可求出三角形AHG的面积．
（2）①首先四边形CDH′H是个矩形，如果使四边形CDH′H成为正方形，那么需满足的条件是CD＝DH′，可先根据AH：AC的值，求出HC的长即H′D的长，然后除以梯形的速度即可求出t的值．
②要分三种情况进行讨论：
（Ⅰ）当E在三角形ABC内部时，即当0≤t≤4时，重合部分是整个直角梯形，因此可通过计算直角梯形的面积得出重合部分的面积．
（Ⅱ）当E在三角形ABC外部，且H′在G点左侧或G点上时，即当4＜t≤5时，重合部分是直角梯形，其面积可用：四边形CBGH的面积一矩形CDH′H的面积来求得．
（Ⅲ）当H′在G点右侧一直到D与B重合的过程中，即当5＜t≤8时，重合部分是个直角三角形．可通过计算这个直角三角形的面积来得出关于S，t的函数关系式．
【解答】解：（1）∵AH：AC＝2：3，AC＝6
∴AH＝AC＝×6＝4
又∵HF∥DE，
∴HG∥CB，
∴△AHG∽△ACB
∴＝，
即＝，
∴HG＝
∴S△AHG＝AH•HG＝×4×＝．

（2）①能为正方形
∵HH′∥CD，HC∥H′D，
∴四边形CDH′H为平行四边形，
又∠C＝90°，
∴四边形CDH′H为矩形，
又CH＝AC﹣AH＝6﹣4＝2
∴当CD＝CH＝2时，四边形CDH′H为正方形
此时可得t＝2秒时，四边形CDH′H为正方形．
②（Ⅰ）∵∠DEF＝∠ABC，
∴EF∥AB
∴当t＝4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合．
当0≤t≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积．
过F作FM⊥DE于M，
＝tan∠DEF＝tan∠ABC＝＝＝，
∴ME＝FM＝×2＝，
HF＝DM＝DE﹣ME＝4﹣＝，
∴直角梯形DEFH′的面积为（4+）×2＝，
∴y＝．
（Ⅱ）∵当4＜t≤5时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积一矩形CDH′H的面积．
而S边形CBGH＝S△ABC﹣S△AHG＝×8×6﹣＝，
S矩形CDH′H＝2t，
∴y＝﹣2t．
（Ⅲ）当5＜t≤8时，如图，设H′D交AB于P，
BD＝8﹣t，
又＝tan∠ABC＝，
∴PD＝DB＝（8﹣t），
∴重叠部分的面积y＝S，
△PDB＝PD•DB
＝•（8﹣t）（8﹣t）
＝（8﹣t）2＝t2﹣6t+24．
∴重叠部分面积y与t的函数关系式：
y＝．

【点评】本题着重考查了图形平移变换、三角形相似以及二次函数的综合应用等重要知识点，
要注意的是（2）中不确定直角梯形的位置时，要根据不同的情况进行分类讨论，不要漏解．
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日期：2019/12/12 20:58:22；用户：初中数学；邮箱：sx0123@；学号：30177373
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