2018年辽宁省朝阳市中考数学试卷（解析）.doc

2018年辽宁省朝阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．【分析】根据倒数的定义求解即可．
【解答】解：﹣的倒数是﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面可看到第二层有2个正方形，第一层右下角有一个正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3．【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方和完全平方公式以及合并同类项解答即可．
【解答】解：A、a2与a3不能合并，错误；
B、（﹣2a）3＝﹣8a3，错误；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，错误；
D、a6÷a2＝a4，正确；
故选：D．
【点评】此题考查同底数幂的除法，关键是根据同底数幂的除法、积的乘方和完全平方公式以及合并同类项的法则解答．
4．【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．根据定义即可解决．
【解答】解：A．掷一枚硬币，正面朝上是随机事件；
B．购买一张彩票，一定中奖是随机事件；
C．任意画一个三角形，它的内角和等于180°是必然事件；
D．掷两枚质地均匀的正方体骰子，点数之和一定大于7是随机事件；
故选：C．
【点评】该题考查的是对必然事件的概念的理解；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．【分析】先根据余角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠1＝55°，
∴∠3＝90°﹣55°＝35°．
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠3＝35°．
故选：B．

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
6．【分析】设鸡有x只，兔有y只，根据鸡和兔共有20个头60条腿，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，
依题意，得：．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：∵15岁出现了7次，出现的次数最多，
∴众数是15岁；
把这些数从小到大排列，第11名队员与第12名队员的年龄分别是15岁和16岁，
所以，中位数是＝15.5岁；
故选：A．
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，众数是出现次数最多的数据，一组数据的众数可能有不止一个，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数不一定是这组数据中的数．
8．【分析】根据折叠的性质设AE＝x，则EF＝x，DE＝8﹣x，在Rt△DEF中利用勾股定理求出EF长度，在在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE长．
【解答】解：在Rt△BCD中，利用勾股定理得BD＝10，
设AE＝x，则EF＝x，DE＝8﹣x，
在Rt△DEF中，∵BF＝AB＝6，∴DF＝10﹣6＝4．
则（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，
在Rt△ABE中，BE＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了翻折变换对称性、勾股定理，同时考查了用方程思想解决问题的能力．
9．【分析】已知函数的三点，代入y＝ax2+bx+c分别求出a，b，c对应的值，解出解析式即可以判断
【解答】解：
依题意，
已知点（﹣1，﹣1），（0，2）（2，2）在y＝ax2+bx+c上，则有，解得
故，二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+2
选项A，∵a＜0，∴该函数有最大值，选项正确
选项B，对称轴x＝＝＝1，选项正确
选项C，∵a＜0，函数先增大后减小，对称轴x＝1，
∴当x＞2时，函数值y随x增大而减小．选项正确
选项D，﹣x2+2x+2＝0可解得方程两根x1，2＝1±，两根均不大于3，选项错误
故选：D．
【点评】此题考查的是二次函数与一元二次方程的应用，二次函数中由a的情况即可判断是否存在最大（小）值．要熟记一元二次方程的求根公式．
10．【分析】将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，根据正方形的性质和且∠MAN＝45°可证明MN＝BM+DN；根据三角形的内角和得到∠M′+∠AFD＝180°，得到∠AFE＝∠M′，推出∠AMB＝∠AFE，于是得到△AEF∽△BEM，故②正确；根据相似三角形的判定定理得到△AEB∽△FEM，根据相似三角形的性质得到∠EMF＝∠ABE＝45°，推出△AFM是等腰直角三角形，于是得到；故③正确；根据全等三角形的性质得到AF＝CF，等量代换得到△FMC是等腰三角形，故④正确．
【解答】解：将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，
∵∠M′AN＝∠DAN+∠MAB＝45°，AM′＝AM，BM＝DM′，
∵∠M′AN＝∠MAN＝45°，AN＝AN，
∴△AMN≌△AM′N′（SAS），
∴MN＝NM′，
∴M′N＝M′D+DN＝BM+DN，
∴MN＝BM+DN；故①正确；
∵∠FDM′＝135°，∠M′AN＝45°，
∴∠M′+∠AFD＝180°，
∵∠AFE+∠AFD＝180°，
∴∠AFE＝∠M′，
∵∠AMB＝∠M′，
∴∠AMB＝∠AFE，
∵∠EAF＝∠EBM＝45°，
∴△AEF∽△BEM，故②正确；
∴，即＝，
∵∠AEB＝∠MEF，
∴△AEB∽△FEM，
∴∠EMF＝∠ABE＝45°，
∴△AFM是等腰直角三角形，
∴；故③正确；
在△ADF与△CDF中，，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴AF＝CF，
∵AF＝MF，
∴FM＝FC，
∴△FMC是等腰三角形，故④正确；
故选：D．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共6小题，18分）
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将6370km用科学记数法表示为6.37×106m．
故答案为：6.37×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．【分析】由AC∥OB，推出∠BOC＝∠C，想办法求出即可解决问题．
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠B＝20°，
∵AC∥OB，
∴∠CAB＝∠B＝20°，
∴∠OAC＝40°，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC＝40°，
∴∠BOC＝∠C＝40°，
故答案为40°．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．【分析】设BE＝a，根据三角形的中位线的性质得到EF∥BD，EF＝BD，推出点P在AC上，得到PE＝EF，得到四边形BMPES 平行四边形，过M作MH⊥BC于H，于是得到结论．
【解答】解：设BE＝a，
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD，BC＝2a，
∴BD＝2a，
∵AP⊥EF，
∴AP⊥BD，
∴BO＝OD，
∴点P在AC上，
∴PE＝EF，
∴PE＝BM，
∴四边形BMPE是平行四边形，
∴BO＝BD，
∵M为BO的中点，
∴BM＝BD，
∵E为BC的中点，
∴BC＝2a，
∴BD＝2a，
∴BM＝a，
过M作MH⊥BC于H，
∴MH＝BM＝a，
∴S正方形ABCD＝4a2，S四边形BMPE＝a2，
∴米粒落在四边形BMPE内的概率为＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了几何概率，七巧板，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
14．【分析】由题意可得右边三角形的数字规律为：12，22，…，n2，下边三角形的数字规律为：1+1，2+22，…，n+n2，继而求得答案．
【解答】解：由规律可知：m＝n+n2＝90，
解得：n＝9或﹣10（舍去）
故答案为：9．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，观察出右下角的数与另外两个数的关系是解题的关键．
15．【分析】利用相似三角形的判定与性质得出A点坐标，进而代入一次反比例函数解析式得出答案．
【解答】解：过点A作AD⊥x轴，
由题意可得：MO∥AD，
则△NOM∽△NDA，
∵AM：MN＝1：2，
∴＝＝，
∵一次函数y＝x+2，与y轴交点为；（0，2），
∴MO＝2，
∴AD＝3，
∴y＝3时，3＝x+2，
解得：x＝，
∴A（，3），将A点代入y＝（k＞0）得：
3＝，
解得：k＝4．
故答案为：4．

【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及相似三角形的判定与性质等知识，得出A点坐标是解题关键．
16．【分析】根据S与x之间的函数关系式可以得到当位于C点时，两人之间的距离增加变缓，此时快车到站，此时a＝3，故①正确；根据相遇可知y1＝y2，列方程求解可得x的值为，故②正确；分两种情况考虑，相遇前和相遇后两车相距60km，是相遇前的时间，故③正确；先确定b的值，根据函数的图象可以得到C的点的坐标，故④正确；分两车相遇前和两车相遇后两种情况讨论，即可求得x的值，当x＝h时不合题意，故⑤不正确．
【解答】解：∵由S与x之间的函数的图象可知：当位于C点时，两车之间的距离增加变缓，
∴由此可以得到a＝3，故①正确；
设y1＝kx+b，将（0，300）、（3，0）代入，
得：，解得：，
∴y1＝﹣100x+300，
设y2＝mx，
将点（5，300）代入，得：5m＝300，
解得：m＝60，
∴慢车离乙地的距离y2解析式为：y2＝60x；
∴当y1＝y2时，两车相遇，
可得：﹣100x+300＝60x，
解得：x＝h，故②正确；
分两种情况考虑，相遇前两车相距60km，
﹣100x+300﹣60x＝60，解得，h，
相遇后两车相距60km，
60x﹣（﹣100x+300）＝60，解得，h，
∴当x＝h时，两车相距60km，故③正确；
快车每小时行驶＝100千米，慢车每小时行驶60千米，两地之间的距离为300千米，
∴b＝300÷（100+60）＝，
由函数的图象可以得到C的点的横坐标为3，即快车到达乙地，此时慢车所走的路程为3×60＝180千米，
∴C点坐标为（3，180），故④正确；
分两种情况考虑，相遇前两车相距200km，
﹣100x+300﹣60x＝200，解得，h，
相遇后两车相距200km，
∵C（3，180），
∴相遇后两车相距200km，快车已到达，
∴x＝＝h
故⑤不正确．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的解法、一次函数解析式的求法；主要根据待定系数法求一次函数解析式，根据图象准确获取信息是解题的关键，要注意要分情况讨论．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣+2﹣+1
＝3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求得其整数解，代入计算可得．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝，
解不等式组得1＜x≤2，
∴不等式组的整数解为x＝2，
则原式＝＝﹣．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及解一元一次不等式组．
19．【分析】（1）用后三个项目的总人数乘以其对应百分比可得总人数，再用总人数乘以篮球对应的百分比可得答案；
（2）用360°乘以乒乓球人数所占比例即可得；
（3）用总人数乘以样本中羽毛球人数所占比例即可得．
【解答】解：（1）此次调查的总人数为（12+10+12）÷（1﹣32%）＝50（人），
选择篮球项目的学生有50×32%＝16，
故答案为：50，16．
（2）在扇形统计图中，选择乒乓球项目对应的扇形圆心角为360°×＝72°，
故答案为：72．
（3）该校学生中选择羽毛球项目的大约有1000×＝240（人）．
故答案为：240．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20．【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；
（2）过C作CF⊥AB于F，则四边形CFBD是矩形，得到BD＝CF，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△CDE中，∵CE＝60，∠DCE＝30°，
∴DE＝CE＝30，CD＝CD＝30；
答：当我国海监船到达C处时，离可疑船只的距离CD为30nmile；
（2）过C作CF⊥AB于F，
则四边形CFBD是矩形，
∴BD＝CF，
在Rt△AFC中，∵AC＝60，∠CAF＝45°，
∴CF＝AF＝AC＝30，
∴BE＝BD+DE＝30+30，
∴可疑船只的航行速度为＝（15+15）nmile/h．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21．【分析】（1）根据题意画出树状图，即可求出（m，n）所有的可能情况；
（2）求出所选的m，n能使一次函数y＝mx+n的图象经过第一、三、四象限的情况数，再根据概率公式列式计算即可．
【解答】解：（1）画树状图如下：

则（m，n）所有的可能情况是（1，2）（1，﹣3）（1，﹣4）（2，1）（2，﹣3）（2，﹣4）（﹣3，1）（﹣3，2）（﹣3，﹣4）（﹣4，1）（﹣4，2）；（﹣4，﹣3）．
（2）所选的m，n能使一次函数y＝mx+n的图象经过第一、三、四象限的情况有：
（1，﹣3）（1，﹣4）（2，﹣3）（2，﹣4）共4种情况，
则能使一次函数y＝mx+n的图象经过第一、三、四象限的概率是＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率和一次函数的性质．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，∠ECD＝∠D，根据平角的定义得到∠OCE＝90°，于是得到结论；
（2）连接BC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OD⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
∴∠D+∠A＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵CE＝DE，
∴∠ECD＝∠D，
∵∠ACO+∠DCE＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∴OC⊥CE，
∴直线CE是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AOD＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADO，
∴，
∴＝，
∴AD＝8，
∴CD＝AD﹣AC＝5．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．【分析】（1）由“每增加1元，销量减少5件”可知，单价为x元时增加5（x﹣60）件，用增加的件数加上原销量即可表示出销售量y；
（2）根据“每天利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出函数解析式，再对二次函数进行配方即可求出利润的最大值；
（3）令W＝400求出x的值，再根据抛物线图象写出W≤4000时x的取值范围；再根据总成本不超过5250列出不等式，联立两个不等式即可求出x的取值范围，从而确定x的最小值．
【解答】解：（1）y＝250﹣5（x﹣60），即y＝﹣5x+550．（60≤x≤100）；
（2）W＝（x﹣50）（﹣5x+550），即y＝﹣5x2+800x﹣27500．
配方得，W＝﹣5（x﹣80）2+4500．
∵a＝﹣5，
∴抛物线开口向下，
∴当x＝80时，W有最大值为4500元；
（3）令W＝4000时，﹣5（x﹣80）2+4500＝4000，
解得，x1＝70，x2＝90．
由抛物线图象可知，当W≥4000元时，x的取值范围为70≤x≤90．
又∵50（﹣5x+550）≤6250，
解得，x≥85．
∴x取值范围为85≤x≤90，
∴单价x最低可定为85元．
【点评】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．
24．【分析】（1）根据黄金四边形的定义，构建方程组即可解决问题．
（2）根据黄金四边形的定义，证明AC2＝AB•AD，AD＝AB+AC即可解决问题．
（3）①转化为方程求出AA1与AC的关系，探究规律后利用规律即可解决问题；
②利用数形结合得到首先解决问题即可．
【解答】（1）解：由题意：，
∴AC2+AC﹣1＝0，
解得AC＝或（舍弃），
故答案为．

（2）证明：如图2中，在AD上截取一点H，使得AH＝AB，连接CH．

∵BC∥AD，
∴∠BCA＝∠CAD，
∵∠CAD＝∠D，
∴∠BCA＝∠D，
∵∠BAC＝∠CAD，
∴△BAC∽△CAD，
∴＝，
∴AC2＝AB•AD，
∵AC＝AC，AB＝AH，∠CAB＝∠CAH，
∴△CAB≌△CAH（SAS），
∴∠ABC＝∠AHC，∠ACB＝∠ACH，
∵∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠ACH＝∠D＝36°，
∴∠ABC＝∠AHC＝∠ACD＝108°，∠ACH＝∠ACB＝36°，
∴∠DHC＝∠DCH＝72°，
∴DC＝DH＝AC，
∴AD＝AB+AC，
∴四边形ABCD是黄金四边形．

（3）①∵AC2＝AB•AA1，且AA1＝AB+AC，
∴AC2＝（AA1﹣AC）•AA1，
∴AA12﹣AC•AA1﹣AC2＝0，
∴AA1＝AC或AC（舍弃），
同法可得：AA2＝AA1＝（）2AC，
∴AAn＝（）nAC，
∵AC＝1，
∴AAn＝（）n．

②由题意：∠BAC＝∠CAA1＝40°，
∵360°÷40＝9，
∴n＝8时，A，B，A8三点第一次在同一条直线上，
故答案为（）n，8．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了黄金四边形的定义，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．
（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．
（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
解得：
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3
设直线AC解析式为y＝kx+3
∴﹣k+3＝0 得：k＝3
∴直线AC解析式为：y＝3x+3

（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
∴G（1，4），GH＝4
∴S△CGO＝OC•xG＝×3×1＝
∴S△CGE＝S△CGO＝＝2，
①若点E在x轴正半轴上
设直线CG：y＝k1x+3
∴k1+3＝4 得：k1＝1
∴直线CG解析式：y＝x+3
∴F（﹣3，0）
∵E（m，0）
∴EF＝m﹣（﹣3）＝m+3
∴S△CGE＝S△FGE﹣S△FCE＝EF•GH﹣EF•OC＝EF•（GH﹣OC）＝（m+3）•（4﹣3）＝
∴＝2 解得：m＝1
∴E的坐标为（1，0）

②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等
即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离
∴EF＝﹣3﹣m＝1﹣（﹣3）＝4
解得：m＝﹣7 即E（﹣7，0）
综上所述，点E坐标为（1，0）或（﹣7，0）

（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形
设M（e，3e+3），则yN＝yM＝3e+3
①若∠MPN＝90°，PM＝PN，如图2
过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R
∵MN∥x轴
∴MQ＝NR＝3e+3
∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL）
∴PQ＝PR，∠MPQ＝∠NPR＝45°
∴MQ＝PQ＝PR＝NR＝3e+3
∴xN＝xM+3e+3+3e+3＝7e+6，即N（7e+6，3e+3）
∵N在抛物线上
∴﹣（7e+6）2+2（7e+6）+3＝3e+3
解得：e1＝﹣1（舍去），e2＝
∵AP＝t，OP＝t﹣1，OP+OQ＝PQ
∴t﹣1﹣e＝3e+3
∴t＝4e+4＝
②若∠PMN＝90°，PM＝MN，如图3
∴MN＝PM＝3e+3
∴xN＝xM+3e+3＝4e+3，即N（4e+3，3e+3）
∴﹣（4e+3）2+2（4e+3）+3＝3e+3
解得：e1＝﹣1（舍去），e2＝
∴t＝AP＝e﹣（﹣1）＝
③若∠PNM＝90°，PN＝MN，如图4
∴MN＝PN＝3e+3，N（4e+3，3e+3）
解得：e＝
∴t＝AP＝OA+OP＝1+4e+3＝
综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．
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